Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis Fur lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung Als lineare Funktion wird oft insbesondere in der Schulmathematik eine Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R der Form f x m x n m n R displaystyle f x m cdot x n quad m n in mathbb R also eine Polynomfunktion hochstens ersten Grades bezeichnet Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra sondern um eine affine Abbildung da die Linearitatsbedingung im Allgemeinen nicht erfullt ist Man spricht deswegen auch von einer affin linearen Funktion Um eine lineare Abbildung bzw lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall n 0 displaystyle n 0 also f x m x displaystyle f x mx Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalitat bezeichnet In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion fur den Fall n 0 displaystyle n neq 0 auch allgemeine lineare Funktion oder linear inhomogene Funktion genannt In diesem Artikel wird die haufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten Lineare Funktionen gehoren zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik Sie sind stetig und differenzierbar Viele Probleme lassen sich fur lineare Funktionen leicht losen daher versucht man oft komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhange zu approximieren Inhaltsverzeichnis 1 Graph 2 Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten 3 Zusammenfassung 3 1 Funktionsgleichung 3 2 Achsenschnittpunkte 3 3 Steigung 3 4 Funktionsgleichung aufstellen 3 5 Schnittpunkt zweier Geraden 3 6 Orthogonale Geraden 4 Ableitung und Stammfunktion 5 Grenzwerte 6 Weblinks 7 LiteraturGraph Bearbeiten nbsp Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion x 1 2 x 2 displaystyle x mapsto tfrac 1 2 x 2 nbsp Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade In kartesischen Koordinaten x y displaystyle x y nbsp gilt y m x n displaystyle y m cdot x n nbsp mit reellen Zahlen m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp wobei x displaystyle x nbsp die Abszisse eine unabhangige und y displaystyle y nbsp die Ordinate die abhangige Variable ist Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen fur den Funktionsterm z B a x b displaystyle ax b nbsp m x c displaystyle mx c nbsp m x b displaystyle mx b nbsp oder m x t displaystyle mx t nbsp In Osterreich wird haufig y k x d displaystyle y kx d nbsp verwendet in der Schweiz hingegen y m x q displaystyle y mx q nbsp In Belgien findet man auch y m x p displaystyle y mx p nbsp oder y k x t displaystyle y kx t nbsp Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren Die Zahl m displaystyle m nbsp gibt die Steigung der Geraden an Die Zahl n displaystyle n nbsp ist der y Achsen oder Ordinatenabschnitt die Inhomogenitat oder die Verschiebungskonstante Der Graph einer linearen Funktion verlauft nie parallel zur y Achse da damit einem x displaystyle x nbsp mehr als ein y displaystyle y nbsp zugeordnet ware was in Widerspruch zur definitorisch geforderten Rechts Eindeutigkeit einer Funktion stunde Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten Bearbeiten nbsp Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene PunkteEs wird vorausgesetzt dass die Punkte x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 nbsp und x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp auf dem Graphen der linearen Funktion f displaystyle f nbsp liegen und voneinander verschieden sind Die Steigung m displaystyle m nbsp lasst sich berechnen mit m y 2 y 1 x 2 x 1 displaystyle m frac y 2 y 1 x 2 x 1 nbsp Der y Achsenabschnitt n displaystyle n nbsp ergibt sich mit n y 1 m x 1 displaystyle n y 1 m cdot x 1 nbsp oder n y 2 m x 2 displaystyle n y 2 m cdot x 2 nbsp Der gesuchte Funktionsterm f x displaystyle f x nbsp ist also gegeben durch f x y 2 y 1 x 2 x 1 x y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 displaystyle f x frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x left y 1 frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x 1 right nbsp oder einfacher durch f x y 2 y 1 x 2 x 1 x x 1 y 1 displaystyle f x frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x x 1 y 1 nbsp Zusammenfassung BearbeitenFunktionsgleichung Bearbeiten Eine Funktion f displaystyle f nbsp mit f x m x n displaystyle f x mx n nbsp heisst lineare Funktion Im Fall m 0 displaystyle m neq 0 nbsp wird ganzrationale Funktion 1 Grades oder Polynom 1 Grades als Bezeichnung verwendet Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade Achsenschnittpunkte Bearbeiten Schnittpunkt P displaystyle P nbsp mit der x displaystyle x nbsp Achse P x P 0 f x P 0 displaystyle P x P 0 Rightarrow f x P 0 nbsp Schnittpunkt Q displaystyle Q nbsp mit der y displaystyle y nbsp Achse Q 0 y Q y Q f 0 displaystyle Q 0 y Q Rightarrow y Q f 0 nbsp Steigung Bearbeiten nbsp Die Steigung tan a displaystyle tan alpha nbsp des Graphen einer linearen Funktion f displaystyle f nbsp lasst sich wegen tan a m displaystyle tan alpha m nbsp vom Koeffizienten in der Funktionsgleichung f x m x n displaystyle f x mx n nbsp ablesen Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet tan a f x 2 f x 1 x 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 D y D x displaystyle tan alpha frac f x 2 f x 1 x 2 x 1 frac y 2 y 1 x 2 x 1 frac Delta y Delta x nbsp Funktionsgleichung aufstellen Bearbeiten Die Steigung m displaystyle m nbsp und ein Punkt P 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 nbsp der auf der Geraden liegt seien bekannt Ansatz f x m x n displaystyle f x mx n nbsp P 1 x 1 y 1 f x 1 y 1 m x 1 n y 1 n y 1 m x 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 quad Rightarrow quad f x 1 y 1 quad Rightarrow quad mx 1 n y 1 quad Rightarrow quad n y 1 mx 1 nbsp dd Die Koordinaten zweier Punkte P 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 nbsp und P 2 x 2 y 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 nbsp die auf der Geraden liegen seien bekannt Zuerst wird der Steigungsfaktor m y 2 y 1 x 2 x 1 displaystyle m frac y 2 y 1 x 2 x 1 nbsp berechnet dann damit n displaystyle n nbsp P 1 x 1 y 1 f x 1 y 1 m x 1 n y 1 n y 1 m x 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 quad Rightarrow quad f x 1 y 1 quad Rightarrow quad mx 1 n y 1 quad Rightarrow quad n y 1 mx 1 nbsp dd oderP 2 x 2 y 2 f x 2 y 2 m x 2 n y 2 n y 2 m x 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 quad Rightarrow quad f x 2 y 2 quad Rightarrow quad mx 2 n y 2 quad Rightarrow quad n y 2 mx 2 nbsp dd Schnittpunkt zweier Geraden Bearbeiten Ansatz f x g x displaystyle f x g x nbsp Die Losung x S displaystyle x S nbsp dieser Gleichung ist die x displaystyle x nbsp Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden y S f x S g x S displaystyle y S f x S g x S nbsp ist dann die y displaystyle y nbsp Koordinate dieses Schnittpunktes S x S y S displaystyle S x S y S nbsp Orthogonale Geraden Bearbeiten Fur die Steigungen m 1 displaystyle m 1 nbsp und m 2 displaystyle m 2 nbsp zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g 1 displaystyle g 1 nbsp und g 2 displaystyle g 2 nbsp gilt m 1 m 2 1 displaystyle m 1 cdot m 2 1 nbsp m 1 1 m 2 displaystyle m 1 frac 1 m 2 nbsp m 2 1 m 1 displaystyle m 2 frac 1 m 1 nbsp dd Ableitung und Stammfunktion BearbeitenDie Ableitung von f x m x n displaystyle f left x right mx n nbsp ist f x m displaystyle f left x right m nbsp f displaystyle f nbsp ist also immer eine konstante Funktion da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt P x f x displaystyle P left x f x right nbsp angibt Stammfunktionen von f displaystyle f nbsp haben die Gestalt F x m 2 x 2 n x c displaystyle F x frac m 2 x 2 nx c nbsp Dies lasst sich folgendermassen zeigen F x m 2 x 2 n x c m 2 x 2 n x 0 m 2 2 x n m x n f x displaystyle F x left frac m 2 x 2 nx c right frac m 2 cdot left x 2 right n cdot x 0 frac m 2 cdot 2x n mx n f x nbsp Grenzwerte BearbeitenIst bei einer linearen Funktion f x m x n displaystyle f x mx n nbsp der Koeffizient m displaystyle m nbsp positiv so gilt lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty nbsp und lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty nbsp Der Graph entwickelt sich von unten links nach oben rechts Ist m displaystyle m nbsp jedoch negativ gilt lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty nbsp und lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty nbsp Der Graph verlauft also von oben links nach unten rechts Beim Sonderfall m 0 displaystyle m 0 nbsp liegt eine konstante Funktion vor es gilt also lim x f x lim x f x n displaystyle lim x to infty f x lim x to infty f x n nbsp der Graph verlauft in diesem Fall parallel zur x displaystyle x nbsp Achse Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Lineare Gleichungen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Commons Lineare Funktionen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wikibooks M A T H E m a T R i x displaystyle begin smallmatrix mathbf MATHE mu alpha T mathbb R ix end smallmatrix nbsp Mathematik fur die Schule Rechner und Theorie zur linearen Funktion Archivlink abgerufen am 27 Februar 2022 Lineare Funktionen Einfuhrung fur Schuler Video Literatur BearbeitenManfred Leppig Lernstufen Mathematik Girardet 1981 ISBN 3 7736 2005 5 S 61 74 Normdaten Sachbegriff GND 4744418 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Funktion amp oldid 237648743
