Ein multivariables Polynom heisst homogen falls alle Monome aus denen das Polynom besteht den gleichen Grad haben Homogene Polynome werden auch als Formen bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Graduierung 5 Verallgemeinerung 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 LiteraturDefinition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Eins und R X 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n nbsp der Polynomring uber R displaystyle R nbsp in n displaystyle n nbsp Unbestimmten Ein Monom ist dann ein Polynom p R X 1 X n displaystyle p in R X 1 dotsc X n nbsp fur das ein a R displaystyle alpha in R nbsp mit p a X 1 i 1 X n i n displaystyle p alpha X 1 i 1 cdot dots cdot X n i n nbsp existiert Der Grad dieses Monoms ist d e g p i 1 i n displaystyle mathrm deg p i 1 dotsb i n nbsp Ein Polynom in R X 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n nbsp wird homogen genannt wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist Eigenschaften Bearbeitenf R X 1 X n displaystyle f in R X 1 dotsc X n nbsp ist genau dann homogen vom Grad k displaystyle k nbsp wenn in R X 1 X n T displaystyle R X 1 dotsc X n T nbsp gilt 1 f T X 1 T X n T k f X 1 X n displaystyle f TX 1 dotsc TX n T k cdot f X 1 dotsc X n nbsp Bei einem Polynomring uber einem Integritatsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen wenn jeder Faktor homogen ist 2 Beispiele BearbeitenJedes Monom ist homogen Die Menge aller homogenen Polynome in R X displaystyle R X nbsp dem Polynomring in einer Variablen uber R displaystyle R nbsp ist gegeben durch a X n a R n N 0 displaystyle aX n mid a in R n in mathbb N cup 0 nbsp Einfache Beispiele fur homogene Polynome in Z X Y displaystyle mathbb Z X Y nbsp siehe ganze Zahlen X 4 Y 4 displaystyle X 4 Y 4 nbsp ist homogen wegen deg X 4 deg Y 4 4 displaystyle deg X 4 deg Y 4 4 nbsp X 7 5 X 3 Y 4 X Y 6 displaystyle X 7 5X 3 Y 4 XY 6 nbsp ist homogen wegen deg X 7 deg X 3 Y 4 deg X Y 6 7 displaystyle deg X 7 deg X 3 Y 4 deg XY 6 7 nbsp Beispiele fur nicht homogene Polynome in Q X Y Z displaystyle mathbb Q X Y Z nbsp siehe rationale Zahlen X 4 Z 3 4 Y Z 2 displaystyle X 4 Z frac 3 4 YZ 2 nbsp ist nicht homogen wegen deg X 4 Z 5 3 deg Y Z 2 displaystyle deg X 4 Z 5 neq 3 deg YZ 2 nbsp X 3 Y 3 Z 2 3 X 2 Y 6 7 3 Y 5 displaystyle X 3 Y 3 Z 2 3X 2 Y 6 frac 7 3 Y 5 nbsp ist nicht homogen wegen deg X 3 Y 3 Z 2 deg X 2 Y 6 8 displaystyle deg X 3 Y 3 Z 2 deg X 2 Y 6 8 nbsp und deg Y 5 5 displaystyle deg Y 5 5 nbsp Graduierung BearbeitenJedes Polynom lasst sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst Der Polynomring lasst sich also als eine direkte Summe schreiben R X 1 X n d 0 A d displaystyle R X 1 dotsc X n bigoplus d geq 0 A d nbsp wobei A d e 1 e n d e i 0 R X 1 e 1 X n e n displaystyle A d bigoplus e 1 dotsb e n d e i geq 0 R cdot X 1 e 1 cdot dots cdot X n e n nbsp die Menge der homogenen Polynome vom Grad d displaystyle d nbsp zusammen mit dem Nullpolynom ist Es gilt A d A d A d d displaystyle A d cdot A d subseteq A d d nbsp der Polynomring ist also ein graduierter Ring Verallgemeinerung BearbeitenAllgemein heissen in einem graduierten Ring d 0 A d displaystyle bigoplus d geq 0 A d nbsp die Elemente aus A d displaystyle A d nbsp homogen vom Grad d displaystyle d nbsp Siehe auch BearbeitenHomogene FunktionEinzelnachweise Bearbeiten Fischer Lehrbuch der Algebra 2013 S 169 Lemma Fischer Lehrbuch der Algebra 2013 S 169 Produkt homogener Polynome Literatur BearbeitenGerd Fischer Lehrbuch der Algebra 3 Auflage Springer Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 02220 4 S 169 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Homogenes Polynom amp oldid 227469583
