Der Grad eines Polynoms in einer Variablen ist in der Mathematik der grosste Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von Monomen Beispielsweise ist der Grad des Polynom 2 X 5 X 3 7 X 2 displaystyle 2X 5 X 3 7X 2 gleich 5 namlich der Exponent des Monoms 2 X 5 displaystyle 2X 5 Bei Polynomen in mehreren Variablen ist der Grad eines Monoms definiert als die Summe der Exponenten der enthaltenen Variablenpotenzen und der Grad eines Polynoms auch Totalgrad genannt als das Maximum der Grade der Monome aus denen das Polynom besteht So haben zum Beispiel das Monom X 2 Y 3 Z displaystyle X 2 Y 3 Z und damit auch das Polynom 3 X 2 Y 3 Z 7 X 4 Y X Y Z 2 displaystyle 3X 2 Y 3 Z 7X 4 Y XYZ 2 den Grad 6 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp eine naturliche Zahl und R X 1 X n displaystyle R X 1 dots X n nbsp der Polynomring in den Variablen X 1 X n displaystyle X 1 dots X n nbsp Ist 0 m X 1 e 1 X 2 e 2 X n e n R X 1 X n displaystyle 0 neq m X 1 e 1 X 2 e 2 cdots X n e n in R X 1 dots X n nbsp ein Monom mit e 1 e n N 0 displaystyle e 1 dots e n in mathbb N cup 0 nbsp so ist der Grad von m displaystyle m nbsp definiert als deg m e 1 e n displaystyle deg m e 1 ldots e n nbsp Sei nun 0 f a 1 m 1 a r m r R X 1 X n displaystyle 0 neq f a 1 m 1 ldots a r m r in R X 1 dots X n nbsp ein Polynom mit r N displaystyle r in mathbb N nbsp a 1 a r R 0 displaystyle a 1 dots a r in R setminus 0 nbsp und Monomen m 1 m r displaystyle m 1 dots m r nbsp Dann ist der Grad oder Totalgrad von f displaystyle f nbsp definiert als deg f max j 1 r deg m j displaystyle deg f max j 1 dots r deg m j nbsp Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von 0 displaystyle 0 nbsp In der Algebra ist es ublich deg 0 displaystyle deg 0 infty nbsp zu setzen Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik die sich mit der Losung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen haufig die Definition deg 0 1 displaystyle deg 0 1 nbsp bevorzugt Bemerkung Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen lasst sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern Eigenschaften BearbeitenSeien f g R X 1 X n displaystyle f g in R X 1 dots X n nbsp Polynome uber R displaystyle R nbsp Dann gilt deg f g deg f deg g displaystyle deg fg leq deg f deg g nbsp und deg f g max deg f deg g displaystyle deg f g leq max deg f deg g nbsp Fur den Fall deg f deg g displaystyle deg f neq deg g nbsp erhalt man sogar deg f g max deg f deg g displaystyle deg f g max deg f deg g nbsp Ist R displaystyle R nbsp ein Integritatsring so gilt sogar deg f g deg f deg g displaystyle deg fg deg f deg g nbsp fur alle f g R X i i I displaystyle f g in R X i i in I nbsp Beispiele BearbeitenBetrachte Polynome in Z X Y Z displaystyle mathbb Z X Y Z nbsp siehe ganze Zahlen Es gilt deg X 5 5 displaystyle deg X 5 5 nbsp deg X 2 Y 3 Z 4 2 3 4 9 displaystyle deg X 2 Y 3 Z 4 2 3 4 9 nbsp deg X 7 Z 2 3 X 3 Y 3 X Y 4 Z 5 Y Z deg X 7 Z 2 9 displaystyle deg X 7 Z 2 3X 3 Y 3 XY 4 Z 5YZ deg X 7 Z 2 9 nbsp und deg 3 X 4 Y 4 X 2 Y 3 Z 3 3 Y 4 Z deg X 4 Y 4 deg X 2 Y 3 Z 3 8 displaystyle deg 3X 4 Y 4 X 2 Y 3 Z 3 3Y 4 Z deg X 4 Y 4 deg X 2 Y 3 Z 3 8 nbsp Siehe auch BearbeitenGraduierung Algebra BewertungstheorieEinzelnachweise Bearbeiten Spektrum de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grad Polynom amp oldid 216878860
