Unter Graduierung versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Zerlegung einer abelschen Gruppe oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten Grades Das namengebende Beispiel ist der Polynomring in einer Unbestimmten Beispielsweise ist das Polynom X 3 3 X 5 displaystyle X 3 3X 5 Summe der Monome X 3 displaystyle X 3 Grad 3 3 X displaystyle 3X Grad 1 und 5 displaystyle 5 Grad 0 Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhalt als Summe ein Polynom Es sei durchweg G displaystyle Gamma eine feste abelsche Gruppe Beispielsweise kann man G Z displaystyle Gamma mathbb Z oder G Z 2 Z displaystyle Gamma mathbb Z 2 mathbb Z wahlen Inhaltsverzeichnis 1 Graduierte Vektorraume 2 Graduierte Algebren 3 Graduierte Ringe 4 Graduierte Moduln 5 Beispiele 6 ℤ 2ℤ Graduierung 7 Literatur 8 EinzelnachweiseGraduierte Vektorraume BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper Eine G displaystyle Gamma nbsp Graduierung auf einem K displaystyle K nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp ist ein System V g g G displaystyle V gamma gamma in Gamma nbsp von Untervektorraumen so dass V displaystyle V nbsp die direkte Summe der V g displaystyle V gamma nbsp ist V g G V g displaystyle V bigoplus gamma in Gamma V gamma nbsp Die Vektorraume V g displaystyle V gamma nbsp heissen die graduierten Bestandteile von V displaystyle V nbsp Elemente v V g 0 displaystyle v in V gamma setminus left 0 right nbsp heissen homogen vom Grad g displaystyle gamma nbsp und man schreibt dafur kurz deg v g displaystyle operatorname deg v gamma nbsp oder v g displaystyle partial v gamma nbsp Jedes Element v displaystyle v nbsp von V displaystyle V nbsp kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden sie heissen die homogenen Bestandteile oder Komponenten von v displaystyle v nbsp Graduierte abelsche Gruppen und R displaystyle R nbsp Moduln fur gewohnliche nicht graduierte Ringe R displaystyle R nbsp sind analog definiert Ist G Z displaystyle Gamma mathbb Z nbsp so spricht man haufig nicht explizit von einer Z displaystyle mathbb Z nbsp Graduierung sondern schlicht von einer Graduierung Graduierte Algebren BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper Eine G displaystyle Gamma nbsp Graduierung auf einer K displaystyle K nbsp Algebra A displaystyle A nbsp ist eine G displaystyle Gamma nbsp Graduierung auf A displaystyle A nbsp als K displaystyle K nbsp Vektorraum d h A g G A g displaystyle A bigoplus gamma in Gamma A gamma nbsp fur Untermoduln A g g G displaystyle A gamma gamma in Gamma nbsp fur die gilt A g A d A g d displaystyle A gamma cdot A delta subseteq A gamma delta nbsp fur g d G displaystyle gamma delta in Gamma nbsp d h a g a d A g d displaystyle a gamma a delta in A gamma delta nbsp fur a g A g a d A d displaystyle a gamma in A gamma a delta in A delta nbsp gilt Graduierte Ringe Bearbeiten Hauptartikel Graduierter Ring Es sei R displaystyle R nbsp ein Ring Eine G displaystyle Gamma nbsp Graduierung auf R displaystyle R nbsp ist eine Familie R g g G displaystyle R gamma gamma in Gamma nbsp so dass R g G R g displaystyle R bigoplus gamma in Gamma R gamma nbsp und R g R d R g d displaystyle R gamma cdot R delta subseteq R gamma delta nbsp fur alle g d G displaystyle gamma delta in Gamma nbsp 1 Dies verallgemeinert obige Definition fur Algebren Man beachte dass fur Algebren verlangt wird dass die direkten Summanden der homogenen Elemente K displaystyle K nbsp Untervektorraume sind das heisst dass eine Ring Graduierung einer K displaystyle K nbsp Algebra moglicherweise keine Algebren Graduierung wie sie oben definiert wurde ist Graduierte Moduln BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein G displaystyle Gamma nbsp graduierter Ring Ein G displaystyle Gamma nbsp graduierter R displaystyle R nbsp Modul M displaystyle M nbsp ist ein R displaystyle R nbsp Modul M g G M g displaystyle M bigoplus gamma in Gamma M gamma nbsp so dass R g M d M g d displaystyle R gamma cdot M delta subseteq M gamma delta nbsp fur g d G displaystyle gamma delta in Gamma nbsp gilt Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert Bei einer entsprechenden Definition fur K displaystyle K nbsp Algebren verlangt man noch dass die M g displaystyle M gamma nbsp in obiger Definition K displaystyle K nbsp Vektorraume sind Beispiele BearbeitenDer Polynomring A K X 1 X n displaystyle A K X 1 ldots X n nbsp in n displaystyle n nbsp Unbestimmten uber einem Korper K displaystyle K nbsp ist durch den Gesamtgrad graduiert A d Z A d A d X 1 e 1 X n e n e 1 e n d K displaystyle A bigoplus d in mathbb Z A d quad A d langle X 1 e 1 cdots X n e n mid e 1 ldots e n d rangle K nbsp dd Offenbar ist A d 0 displaystyle A d 0 nbsp fur d lt 0 displaystyle d lt 0 nbsp Es gibt aber noch andere Graduierungen auf A displaystyle A nbsp Es seien l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp positive ganze Zahlen Dann ist durchA d Z A d A d X 1 e 1 X n e n l 1 e 1 l n e n d K displaystyle A bigoplus d in mathbb Z tilde A d quad tilde A d langle X 1 e 1 cdots X n e n mid lambda 1 e 1 ldots lambda n e n d rangle K nbsp dd ebenfalls eine Graduierung von A displaystyle A nbsp definiert bei der jedoch das Monom X i displaystyle X i nbsp Grad l i displaystyle lambda i nbsp hat Tensoralgebra symmetrische Algebra und aussere Algebra sind graduierte Algebren Ist A displaystyle A nbsp ein kommutativer noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m displaystyle mathfrak m nbsp und Restklassenkorper k A m displaystyle k A mathfrak m nbsp so istgr A n 0 m n m n 1 displaystyle operatorname gr A bigoplus n geq 0 mathfrak m n mathfrak m n 1 nbsp dd eine endlich erzeugte graduierte k displaystyle k nbsp Algebra Ist beispielsweise A Z p displaystyle A mathbb Z p nbsp fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp so ist gr A F p T displaystyle operatorname gr A cong mathbb F p T nbsp ℤ 2ℤ Graduierung BearbeitenEine Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Graduierung eines Ringes oder einer Algebra A displaystyle A nbsp ist eine Zerlegung A A 0 A 1 displaystyle A A 0 oplus A 1 nbsp mit A i A j A i j displaystyle A i A j subset A i j nbsp Dann ist a A A a a 0 a 1 a 0 a 1 displaystyle alpha A rightarrow A alpha a 0 a 1 a 0 a 1 nbsp ein Automorphismus auf A displaystyle A nbsp mit a 2 i d A displaystyle alpha 2 mathrm id A nbsp Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung A 0 a A a a a displaystyle A 0 a in A alpha a a nbsp A 1 a A a a a displaystyle A 1 a in A alpha a a nbsp Eine Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines selbstinversen Automorphismus Speziell fur C Algebren ist eine Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Graduierung ein C dynamisches System mit Gruppe Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Unter einer graduierten C Algebra versteht man in der Regel eine Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp graduierte C Algebra Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst dass die vorliegende Graduierung respektiert wird So definiert man etwa einen graduierten Kommutator fur homogene Elemente durch x y x y 1 x y y x displaystyle x y xy 1 partial x cdot partial y yx nbsp und fur allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung Man erhalt dann zum Beispiel eine graduierte Jacobi Identitat 2 1 x z x y z 1 x y y z x 1 y z y z x 0 displaystyle 1 partial x cdot partial z x y z 1 partial x cdot partial y y z x 1 partial y cdot partial z y z x 0 nbsp fur homogene Elemente x y z A displaystyle x y z in A nbsp Auch die Bildung des Tensorproduktes wird entsprechend angepasst Die Multiplikation im graduierten Tensorprodukt Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp graduierter Ringe A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp wird dann fur Elementartensoren homogener Elemente durch a 1 b 1 a 2 b 2 1 b 1 a 2 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle a 1 otimes b 1 a 2 otimes b 2 1 partial b 1 cdot partial a 2 a 1 a 2 otimes b 1 b 2 nbsp festgelegt Satze wie A B B A displaystyle A otimes B cong B otimes A nbsp lassen sich auch fur die graduierten Tensorprodukte beweisen Gibt es zusatzlich eine Involution auf den Ringen bzw Algebren wie zum Beispiel im Falle von C Algebren so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch a b 1 a b a b displaystyle a otimes b 1 partial a cdot partial b a otimes b nbsp a b displaystyle a b nbsp homogen definiert Durch Ubergang zur einhullenden C Algebra erhalt man so ein Tensorprodukt graduierter C Algebren 3 Literatur BearbeitenSerge Lang Algebra Revised 3rd Edition Springer Verlag 2002 ISBN 0 387 95385 XEinzelnachweise Bearbeiten Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Definition 5 3 fur G Z displaystyle Gamma mathbb Z nbsp Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Satz 14 1 3 Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Definition 14 4 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Graduierung Algebra amp oldid 215806152
