In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen uber beliebigen Vektorraumen Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Beispiele 3 Polynome uber Vektorraumen 4 Siehe auch 5 LiteraturFormale Definition BearbeitenEs sei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp Weiter sei T k V V V k mal displaystyle T k V underbrace V otimes cdots otimes V k text mal nbsp das k displaystyle k nbsp fache Tensorprodukt von V displaystyle V nbsp mit den Konventionen T 0 V K displaystyle T 0 V K nbsp und T 1 V V displaystyle T 1 V V nbsp Die direkte Summe T V k 0 T k V displaystyle T V bigoplus k 0 infty T k V nbsp ist die Tensoralgebra von V displaystyle V nbsp Das zweiseitige homogene Ideal I V T V displaystyle I V subseteq T V nbsp sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit vertauschter Reihenfolge I V s p a n v w w v v w V displaystyle I V mathrm span left v otimes w w otimes v Big v w in V right nbsp Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum S V T V I V displaystyle S V T V I V nbsp Die k displaystyle k nbsp te symmetrische Potenz von V displaystyle V nbsp ist definiert als das Bild von T k V displaystyle T k V nbsp in S V displaystyle S V nbsp sie wird mit S k V displaystyle S k V nbsp bezeichnet Man hat eine Zerlegung S V k 0 S k V displaystyle S V bigoplus k 0 infty S k V nbsp Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als a b displaystyle ab nbsp geschrieben Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln uber kommutativen Ringen definieren Beispiele BearbeitenFur V K displaystyle V K nbsp ist S V displaystyle S V nbsp isomorph zum Polynomring K X displaystyle K X nbsp Allgemein kann man die Elemente von S V displaystyle S V nbsp als Polynome in den Elementen einer fest gewahlten K displaystyle K nbsp Basis von V displaystyle V nbsp interpretieren Speziell fur V g l n K Mat n K displaystyle V mathfrak gl n K operatorname Mat n K nbsp den Vektorraum der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen uber K displaystyle K nbsp kann man die Elemente von S V displaystyle S V nbsp als Polynome in den Eintragen der Matrizen interpretieren S g l n K K x 11 x n n displaystyle S mathfrak gl n K simeq K left x 11 ldots x nn right nbsp Polynome uber Vektorraumen BearbeitenHomogene Polynome vom Grad k displaystyle k nbsp uber einem K displaystyle mathbb K nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp sind per Definition die Elemente aus S k V displaystyle S k V nbsp wobei V displaystyle V nbsp den Dualraum bezeichnet Diese Polynome sind lineare Abbildungen P V V k mal K displaystyle P underbrace V otimes cdots otimes V k text mal rightarrow mathbb K nbsp welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe S k displaystyle S k nbsp invariant sind Man beachte dass ein solches Polynom durch seine Werte P x x x displaystyle P x x ldots x nbsp fur alle x V displaystyle x in V nbsp bereits eindeutig festgelegt wird Das Produkt S k V S l V S k l V displaystyle S k V otimes S l V rightarrow S k l V nbsp ist definiert durch P Q v 1 v k l 1 k l s S k l P v s 1 v s k Q v s k 1 v s k l displaystyle PQ v 1 ldots v k l frac 1 k l sum sigma in S k l P v sigma 1 ldots v sigma k Q v sigma k 1 ldots v sigma k l nbsp Siehe auch BearbeitenGrassmann AlgebraLiteratur BearbeitenJohan L Dupont Curvature and characteristic classes Lecture Notes in Mathematics Vol 640 Springer Berlin New York 1978 ISBN 3 540 08663 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symmetrische Algebra amp oldid 228984068
