Ein Modul ˈmoːdʊl Maskulinum Plural Moduln ˈmoːdʊln die Deklination ist ahnlich wie die von Konsul von lateinisch modulus Verkleinerungsform von modus Mass Einheit ist eine algebraische Struktur die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt Ahnlich wie bei Ringen wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter und Oberstrukturen Mathematisch ausgedruckt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche Kategorien Inhaltsverzeichnis 1 Moduln uber einem kommutativen Ring mit Einselement 1 1 Abelsche Gruppen 1 2 Oberringe als Moduln 1 3 Vektorraume mit einer linearen Abbildung in sich selbst 1 4 Ringideale 2 Moduln uber einem beliebigen Ring 2 1 Alternative Definitionen 2 2 Bimoduln 3 Wechsel des Rings 4 Moduln uber einer assoziativen Algebra 5 Moduln uber einer Lie Algebra 6 Moduln uber einer Gruppe 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 Literatur 10 Einzelnachweise und AnmerkungenModuln uber einem kommutativen Ring mit Einselement BearbeitenEin Modul uber einem kommutativen Ring R displaystyle R cdot nbsp oder kurz R displaystyle R nbsp Modul ist eine additive abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einer Abbildung R M M r m r m displaystyle R times M to M quad r m mapsto r cdot m nbsp genannt Multiplikation mit Skalaren Skalarmultiplikation 1 so dass gilt r 1 r 2 m r 1 r 2 m displaystyle r 1 cdot r 2 cdot m r 1 cdot r 2 cdot m nbsp r 1 r 2 m r 1 m r 2 m displaystyle r 1 r 2 cdot m r 1 cdot m r 2 cdot m nbsp r m 1 m 2 r m 1 r m 2 displaystyle r cdot m 1 m 2 r cdot m 1 r cdot m 2 nbsp Fordert man zusatzlich noch fur R displaystyle R cdot nbsp ein Einselement 1 displaystyle 1 nbsp mit 1 m m displaystyle 1 cdot m m nbsp so nennt man den R displaystyle R nbsp Modul unitar englisch unital Manche Autoren verlangen fur Ringe grundsatzlich die Existenz eines Einselements und dann ebenfalls fur Moduln uber Ringen 2 Ist R displaystyle R nbsp ein Korper bildet also zusatzlich R 0 R displaystyle R backslash 0 R cdot nbsp eine abelsche Gruppe so sind die unitaren Moduln uber R displaystyle R nbsp gerade die Vektorraume uber R displaystyle R nbsp Bemerkung Der Begriff des Vektorraums ist also eigentlich uberflussig da er ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des unitaren Moduls ist Tatsachlich ermoglicht aber die Zusatzbedingung dass R displaystyle R nbsp ein Korper ist so viele Ergebnisse die in der allgemeinen Situation nicht richtig sind dass es ublich ist den Spezialfall durch einen eigenen Begriff vom allgemeinen Fall abzugrenzen Das Studium von Moduln uber kommutativen Ringen ist Gegenstand der kommutativen Algebra Abelsche Gruppen Bearbeiten Jede additive abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp ist auf eindeutige Weise ein unitarer Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul d h ein unitarer Modul uber dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen Sei m G displaystyle m in G nbsp Wegen 1 m m 0 m 0 displaystyle 1 cdot m m 0 cdot m mathfrak 0 nbsp muss fur k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp mit k 0 displaystyle k geq 0 nbsp gelten k m 1 1 k mal m m m k mal displaystyle k cdot m underbrace 1 dotsb 1 k text mal cdot m underbrace m dotsb m k text mal nbsp und analog k m m m k mal displaystyle k cdot m underbrace m dotsb m k text mal nbsp 3 Da diese einzig mogliche Verknupfung aber die Modulaxiome erfullt folgt die Behauptung 4 Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln die ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp selbst die rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp die reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp die algebraischen Zahlen A displaystyle mathbb A nbsp bzw A R displaystyle mathbb A cap mathbb R nbsp die komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp Oberringe als Moduln Bearbeiten Ist S displaystyle S cdot nbsp ein Oberring von R displaystyle R cdot nbsp so ist S displaystyle S nbsp definitionsgemass eine abelsche Gruppe Schrankt man die Ringmultiplikation von S displaystyle S nbsp auf die Menge R S displaystyle R times S nbsp ein so definiert dies die notige Skalarmultiplikation um S displaystyle S nbsp in naturlicher Weise als Modul uber R displaystyle R nbsp zu betrachten Besitzen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp dasselbe Einselement so ist der Modul unitar Sind R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp sogar Korper so spricht man in dieser Situation von einer Korpererweiterung Die Modulstruktur wird dann wie oben beschrieben zu einer Vektorraumstruktur Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Korpererweiterungen Bemerkung Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von Z displaystyle mathbb Z nbsp was ebenfalls zeigt dass sie in naturlicher Weise Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln sind Vektorraume mit einer linearen Abbildung in sich selbst Bearbeiten Sei K X displaystyle K X nbsp der Polynomring uber einem Korper K displaystyle K nbsp Dann entsprechen die K X displaystyle K X nbsp Moduln eins zu eins den Paaren V A displaystyle V A nbsp bestehend aus einem K displaystyle K nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp und einem Endomorphismus A displaystyle A nbsp auf V displaystyle V nbsp Sei M displaystyle M nbsp ein K X displaystyle K X nbsp Modul Wir stellen fest dass M displaystyle M nbsp auch ein K displaystyle K nbsp Vektorraum ist da K displaystyle K nbsp in K X displaystyle K X nbsp eingebettet ist Sei V displaystyle V nbsp dieser Vektorraum Das zu M displaystyle M nbsp gehorige Paar ist nun V A displaystyle V A nbsp wobei A displaystyle A nbsp durchV V v X v displaystyle V to V quad v mapsto X cdot v nbsp dd gegeben ist Zu einem Paar V A displaystyle V A nbsp definieren wir eine K X displaystyle K X nbsp Modulstruktur durchX v A v displaystyle X cdot v A v nbsp dd und setzen das K displaystyle K nbsp linear auf K X displaystyle K X nbsp fort d h fur allep X a 0 a 1 X a 2 X 2 a n X n K X displaystyle p X a 0 a 1 X a 2 X 2 dotsb a n X n in K X nbsp dd setzen wirp X v p A v a 0 v a 1 A v a 2 A 2 v a n A n v displaystyle p X cdot v p A v a 0 cdot v a 1 cdot A v a 2 cdot A 2 v dotsb a n cdot A n v nbsp dd Ringideale Bearbeiten Jeder Ring ist ein Modul uber sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R displaystyle R nbsp da R displaystyle R nbsp in diesem Abschnitt kommutativ ist brauchen wir nicht zwischen Links und Rechtsidealen zu unterscheiden Moduln uber einem beliebigen Ring BearbeitenEs sei R displaystyle R cdot nbsp ein Ring Ist dieser Ring nicht unbedingt kommutativ so muss man zwischen Links und Rechtsmoduln unterscheiden Ein R displaystyle R nbsp Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem Ring R displaystyle R cdot nbsp und einer Abbildung R M M r m r m r m displaystyle R times M to M quad r m mapsto r cdot m rm nbsp die in beiden Argumenten additiv ist d h fur alle r r 1 r 2 R m m 1 m 2 M displaystyle r r 1 r 2 in R m m 1 m 2 in M nbsp gilt r 1 r 2 m r 1 m r 2 m displaystyle r 1 r 2 cdot m r 1 cdot m r 2 cdot m nbsp und r m 1 m 2 r m 1 r m 2 displaystyle r cdot m 1 m 2 r cdot m 1 r cdot m 2 nbsp und fur die r 1 r 2 m r 1 r 2 m displaystyle r 1 cdot r 2 cdot m r 1 cdot r 2 cdot m nbsp fur alle r 1 r 2 R m M displaystyle r 1 r 2 in R m in M nbsp gilt Wird vorausgesetzt dass R displaystyle R cdot nbsp ein unitarer Ring mit einem Einselement 1 displaystyle 1 nbsp ist so fordert man meist auch dass der R displaystyle R nbsp Linksmodul unitar englisch unital ist d h 1 m m displaystyle 1 cdot m m nbsp fur alle m M displaystyle m in M nbsp Manche Autoren verlangen fur Ringe und Moduln grundsatzlich die Existenz eines Einselements 2 Ein Rechtsmodul wird ahnlich definiert ausser dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von M displaystyle M nbsp wirken Ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung M R M m r m r m r displaystyle M times R to M quad m r mapsto m cdot r mr nbsp so dass m r 1 r 2 m r 1 r 2 displaystyle m cdot r 1 cdot r 2 m cdot r 1 cdot r 2 nbsp fur alle r 1 r 2 R m M displaystyle r 1 r 2 in R m in M nbsp Ein Rechtsmodul uber einem unitaren Ring mit Einselement 1 displaystyle 1 nbsp ist unitar wenn m 1 m displaystyle m cdot 1 m nbsp fur alle m M displaystyle m in M nbsp gilt Ist R displaystyle R nbsp kommutativ so stimmen die Begriffe Links und Rechtsmodul bis auf die Schreibweise uberein und man spricht einfach von R displaystyle R nbsp Moduln Ublicherweise wird die obige Notation fur Linksmoduln verwendet Alternative Definitionen Bearbeiten Ein R displaystyle R nbsp Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem ggf unitaren RinghomomorphismusR End Z M displaystyle R to operatorname End mathbb Z M nbsp dd Dabei ist End Z M displaystyle operatorname End mathbb Z M nbsp der Ring der Endomorphismen von M displaystyle M nbsp mit der Verkettung als Produkt f 1 f 2 m f 1 f 2 m displaystyle f 1 cdot f 2 m f 1 f 2 m nbsp fur f 1 f 2 End Z M m M displaystyle f 1 f 2 in operatorname End mathbb Z M m in M nbsp dd Ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem ggf unitaren RinghomomorphismusR End Z M o p displaystyle R to operatorname End mathbb Z M mathrm op nbsp dd Dabei sei End Z M o p displaystyle operatorname End mathbb Z M mathrm op nbsp der Gegenring des Endomorphismenrings das heisst der Ring der Endomorphismen von M displaystyle M nbsp mit der Rechtsverkettung als Produkt f 1 f 2 m f 2 f 1 m displaystyle f 1 cdot f 2 m f 2 f 1 m nbsp fur f 1 f 2 End Z M o p m M displaystyle f 1 f 2 in operatorname End mathbb Z M mathrm op m in M nbsp dd Bimoduln Bearbeiten Es seien R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp Ringe Dann ist ein R displaystyle R nbsp S displaystyle S nbsp Bimodul eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einer R displaystyle R nbsp Linksmodul und einer S displaystyle S nbsp Rechtsmodulstruktur so dass r m s r m s displaystyle r cdot m cdot s r cdot m cdot s nbsp fur r R m M s S displaystyle r in R m in M s in S nbsp gilt Fur unitare Ringe R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp lasst sich ein unitarer R displaystyle R nbsp S displaystyle S nbsp Bimodul d h mit 1 R m m 1 S m displaystyle 1 R cdot m m cdot 1 S m nbsp fur alle m M displaystyle m in M nbsp alternativ beschreiben als eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem unitaren Ringhomomorphismus R Z S o p End Z M displaystyle R otimes mathbb Z S mathrm op to operatorname End mathbb Z M nbsp Das heisst Ein unitarer R displaystyle R nbsp S displaystyle S nbsp Bimodul ist nichts anderes als ein unitarer R Z S o p displaystyle R otimes mathbb Z S mathrm op nbsp Linksmodul Wechsel des Rings BearbeitenR displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp seien Ringe und r S R displaystyle rho colon S to R nbsp sei ein Ringhomomorphismus Fur jeden R displaystyle R nbsp Modul M displaystyle M nbsp definiert die Vorschrift s m r s m displaystyle s m mapsto rho s m nbsp eine S displaystyle S nbsp Modulstruktur auf M displaystyle M nbsp die die mit r displaystyle rho nbsp und der R displaystyle R nbsp Modulstruktur assoziierte genannt wird Dieser S displaystyle S nbsp Modul wird mit r M displaystyle rho M nbsp oder mit M S displaystyle M S nbsp bezeichnet Ist insbesondere S displaystyle S nbsp ein Unterring von R displaystyle R nbsp und r displaystyle rho nbsp die kanonische Einbettung dann wird r M displaystyle rho M nbsp der durch Einschrankung der Skalare von R displaystyle R nbsp auf S displaystyle S nbsp erhaltene S displaystyle S nbsp Modul genannt Ist N displaystyle N nbsp ein Untermodul von M displaystyle M nbsp dann ist r N displaystyle rho N nbsp ein Untermodul von r M displaystyle rho M nbsp und r M N r M r N displaystyle rho M N rho M rho N nbsp 5 Moduln uber einer assoziativen Algebra BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring und A displaystyle A nbsp eine assoziative R Algebra so ist ein A displaystyle A nbsp Linksmodul ein R displaystyle R nbsp Modul M displaystyle M nbsp zusammen mit einem R displaystyle R nbsp Modulhomomorphismus A R M M a m a m displaystyle A otimes R M to M quad a otimes m mapsto am nbsp so dass a 1 a 2 m a 1 a 2 m displaystyle a 1 a 2 m a 1 a 2 m nbsp fur a 1 a 2 A m M displaystyle a 1 a 2 in A m in M nbsp gilt Ein A displaystyle A nbsp Rechtsmodul ist ein R displaystyle R nbsp Modul M displaystyle M nbsp zusammen mit einem R displaystyle R nbsp Modulhomomorphismus M R A M m a m a displaystyle M otimes R A to M quad m otimes a mapsto ma nbsp so dass m a 1 a 2 m a 1 a 2 displaystyle ma 1 a 2 m a 1 a 2 nbsp fur a 1 a 2 A m M displaystyle a 1 a 2 in A m in M nbsp gilt Unitare Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert Moduln uber einer Lie Algebra BearbeitenEs sei g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra uber einem Korper K displaystyle K nbsp Ein g displaystyle mathfrak g nbsp Modul oder eine Darstellung von g displaystyle mathfrak g nbsp ist ein K displaystyle K nbsp Vektorraum M displaystyle M nbsp zusammen mit einer K displaystyle K nbsp bilinearen Abbildung g M M X m X m displaystyle mathfrak g times M to M X m mapsto X cdot m nbsp so dass X Y m X Y m Y X m displaystyle X Y cdot m X cdot Y cdot m Y cdot X cdot m nbsp fur X Y g m M displaystyle X Y in mathfrak g m in M nbsp gilt Alternativ ist ein g displaystyle mathfrak g nbsp Modul ein K displaystyle K nbsp Vektorraum M displaystyle M nbsp zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren uber K displaystyle K nbsp g g l M displaystyle mathfrak g to mathfrak gl M nbsp dabei ist g l M displaystyle mathfrak gl M nbsp die K displaystyle K nbsp Algebra der Endomorphismen von M displaystyle M nbsp mit dem Kommutator als Lieklammer g displaystyle mathfrak g nbsp Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhullenden Algebra von g displaystyle mathfrak g nbsp Moduln uber einer Gruppe BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine Gruppe Ein G displaystyle G nbsp Modul oder genauer G displaystyle G nbsp Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einer ausseren zweistelligen Verknupfung G M M g m g m displaystyle G times M to M g m mapsto g cdot m nbsp so dass g m 1 m 2 g m 1 g m 2 displaystyle g cdot m 1 m 2 g cdot m 1 g cdot m 2 nbsp fur alle g G m 1 m 2 M displaystyle g in G m 1 m 2 in M nbsp und g 1 g 2 m g 1 g 2 m displaystyle g 1 g 2 cdot m g 1 cdot g 2 cdot m nbsp fur alle g 1 g 2 G m M displaystyle g 1 g 2 in G m in M nbsp sowie e m m displaystyle e cdot m m nbsp fur das neutrale Element e displaystyle e nbsp von G displaystyle G nbsp und fur alle m M displaystyle m in M nbsp gilt Ein G displaystyle G nbsp Rechtsmodul ist analog definiert die zweite Bedingung ist durch m g 1 g 2 m g 1 g 2 displaystyle m cdot g 1 g 2 m cdot g 1 cdot g 2 nbsp fur alle g 1 g 2 G m M displaystyle g 1 g 2 in G m in M nbsp zu ersetzen Alternativ dazu ist ein G displaystyle G nbsp Links Modul eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus G Aut Z M displaystyle G to operatorname Aut mathbb Z M nbsp dabei ist Aut Z M End Z M displaystyle operatorname Aut mathbb Z M operatorname End mathbb Z M times nbsp die Gruppe der Automorphismen von M displaystyle M nbsp mit der Verknupfung f 1 f 2 m f 1 f 2 m displaystyle f 1 circ f 2 m f 1 f 2 m nbsp fur f 1 f 2 Aut Z M m M displaystyle f 1 f 2 in operatorname Aut mathbb Z M m in M nbsp Ein G displaystyle G nbsp Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M displaystyle M nbsp zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus G Aut Z M o p displaystyle G to operatorname Aut mathbb Z M mathrm op nbsp das Produkt auf Aut Z M o p displaystyle operatorname Aut mathbb Z M mathrm op nbsp ist durch f 1 f 2 m f 2 f 1 m displaystyle f 1 bullet f 2 m f 2 f 1 m nbsp fur f 1 f 2 Aut Z M o p m M displaystyle f 1 f 2 in operatorname Aut mathbb Z M mathrm op m in M nbsp gegeben Ist R displaystyle R nbsp weiter ein Ring so ist ein G displaystyle G nbsp R displaystyle R nbsp Modul eine abelsche Gruppe mit einer R displaystyle R nbsp Modul und einer G displaystyle G nbsp Modulstruktur die in dem folgenden Sinne kompatibel sind r g m g r m displaystyle r cdot g cdot m g cdot r cdot m nbsp fur r R g G m M displaystyle r in R g in G m in M nbsp Alternativ ist ein G displaystyle G nbsp R displaystyle R nbsp Modul ein R displaystyle R nbsp Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus G Aut R M displaystyle G to operatorname Aut R M nbsp dabei ist G Aut R M displaystyle G to operatorname Aut R M nbsp die Gruppe der Automorphismen von M displaystyle M nbsp als R displaystyle R nbsp Modul G displaystyle G nbsp R displaystyle R nbsp Moduln sind dasselbe wie Moduln uber dem Gruppenring R G displaystyle R G nbsp Ist K displaystyle K nbsp speziell ein Korper so stimmt der Begriff des G displaystyle G nbsp K displaystyle K nbsp Moduls mit dem der K displaystyle K nbsp linearen Darstellung von G displaystyle G nbsp uberein Siehe auch BearbeitenModulo Kongruenz Zahlentheorie Basis Modul Darstellungstheorie einfacher Modul freier Modul Gruppenoperation Moduln uber Hauptidealringen Modulhomomorphismus UntermodulWeblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Modul Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Alexander von Felbert Einfuhrung in die Modultheorie Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage 2009 Springer Verlag ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 L V Kuz min Module In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt a b David S Dummit Richard M Foote Abstract Algebra John Wiley amp Sons Inc Hoboken NJ 2004 ISBN 978 0 471 43334 7 Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben Ein solcher Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul muss keine Basis haben namlich bei Moduln mit Torsionselementen Nicolas Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products 2 S 221 Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Modul Mathematik amp oldid 226460050
