Eine Familie von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls) über einem Ring heißt linear unabhängig oder frei, wenn für jede endliche Indexmenge und alle gilt:
Erzeugen die zugleich den Modul , so heißt eine Basis (von ) und der Modul heißt der freie -Modul über oder auch einfach frei.
AnmerkungenBearbeiten
Erste Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten
Jeder Ring mit Einselement ist über sich selbst frei. Das heißt, ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist ein freier Linksmodul.
Ist , so ist der -Modul nicht frei. Der -Modul ist torsionsfrei, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
Ist eine natürliche Zahl, so ist ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie . Dabei ist die -te Komponente von gleich , alle anderen Komponenten sind . Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter: Ist eine beliebige Menge, und eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt genau dann frei, wenn alle frei sind. Insbesondere ist frei.
Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise nicht frei.
Der Polynomring über dem Ring ist ein freier Modul mit Basis .
Die Menge der positiven rationalen Zahlen ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes eindeutig schreiben mit Primzahlen . Es ist also eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
Der Ring ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.
Der Rang eines freien ModulsBearbeiten
Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:
Ist ein Vektorraum über dem Körper mit einer Basis von Elementen, so ist jedes System von freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im -Modul die Menge frei, aber keine Basis.
Ist ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring kommutativ und , so ist . Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer. Über nicht kommutativen Ringen ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ein Beispiel ist die Menge der -Endomorphismen eines freien -Moduls mit unendlicher Basis. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen IBN-Ringe. Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
Es gilt allgemeiner: Ist ein Homomorphismus von Ringen und ist ein IBN-Ring, so auch . Gibt es also beispielsweise von einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring , so ist ein IBN-Ring.
Eigenschaften freier ModulnBearbeiten
Allgemeine EigenschaftenBearbeiten
Ist eine Familie von Elementen aus dem Modul , so gibt es genau einen Homomorphismus mit . Dabei ist eine Basis (im Zweifel die kanonische) von . Erzeugt die Familie den Modul , so ist ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
Ist ein freier Modul und ein Epimorphismus, so ist direkter Summand in . Es gibt ein mit .
Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge gehört der freie Modul und die kanonische injektive Abbildung . Ist eine weitere Menge und eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie genau einen Homomorphismus , so dass gilt. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ: Sind Abbildungen, so ist . In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich das so ausdrücken: ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor .
Wie in 3. gehört zu jedem Modul der freie Modul . Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus . Für alle ist . Es ist ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor und dem Identitätsfunktor.
Freie Moduln über besonderen RingenBearbeiten
Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
Zu jeder Menge und jedem Ring gibt es den freien -Linksmodul über . Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von -Elementen, kodiert etwa als . Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:
Die Elemente von sind hierbei keine Elemente von . Wenn eine (oder auch nur eine Links-Erzeugende mit ) hat, so lassen sie sich aber einbetten mittels
Der freie -Rechtsmodul ist der freie -Linksmodul, wobei den Gegenring von bezeichnet.
AbschwächungenBearbeiten
Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls über einem kommutativen Ring mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein freier Modul ein Modul der eine Basis besitzt Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anmerkungen 2 1 Erste Beispiele und Gegenbeispiele 2 2 Der Rang eines freien Moduls 3 Eigenschaften freier Moduln 3 1 Allgemeine Eigenschaften 3 2 Freie Moduln uber besonderen Ringen 4 Konstruktion 5 Abschwachungen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Familie B b i i I displaystyle B b i mid i in I nbsp von Elementen eines Moduls oder allgemeiner eines Linksmoduls F displaystyle F nbsp uber einem Ring R displaystyle R nbsp heisst linear unabhangig oder frei wenn fur jede endliche Indexmenge J I displaystyle textstyle J subseteq I nbsp und alle r i R displaystyle textstyle r i in R nbsp gilt i J r i b i 0 i J r i 0 displaystyle sum i in J r i cdot b i 0 Rightarrow forall i in J colon r i 0 nbsp Erzeugen die b i i I displaystyle b i mid i in I nbsp zugleich den Modul F displaystyle F nbsp so heisst B displaystyle B nbsp eine Basis von F displaystyle F nbsp und der Modul F displaystyle F nbsp heisst der freie R displaystyle R nbsp Modul uber B displaystyle B nbsp oder auch einfach frei Anmerkungen BearbeitenErste Beispiele und Gegenbeispiele Bearbeiten Jeder Ring R displaystyle R nbsp mit Einselement ist uber sich selbst frei Das heisst R R displaystyle R R nbsp ist freier Rechtsmodul Entsprechend ist R R displaystyle R R nbsp ein freier Linksmodul Ist 1 lt n N displaystyle 1 lt n in mathbb N nbsp so ist der Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp nicht frei Der Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Q displaystyle mathbb Q nbsp ist torsionsfrei aber nicht frei freie Moduln sind immer torsionsfrei Ist n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl so ist R n r 1 r n r 1 r n R displaystyle R n left begin pmatrix r 1 dots r n end pmatrix mid r 1 dots r n in R right nbsp ein freier Modul Eine Basis ist die Familie e i i 1 n displaystyle e i mid i in 1 dots n nbsp Dabei ist die i displaystyle i nbsp te Komponente von e i displaystyle e i nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp alle anderen Komponenten sind 0 displaystyle 0 nbsp Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter Ist I displaystyle I nbsp eine beliebige Menge und F i i I displaystyle F i i in I nbsp eine Familie von Moduln so ist das Koprodukt i I F i displaystyle bigoplus i in I F i nbsp genau dann frei wenn alle F i displaystyle F i nbsp frei sind Insbesondere ist R I displaystyle R I nbsp frei Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei So ist beispielsweise Z N displaystyle mathbb Z mathbb N nbsp nicht frei 1 Der Polynomring R X displaystyle textstyle R X nbsp uber dem Ring R displaystyle R nbsp ist ein freier Modul mit Basis X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp Die Menge der positiven rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp ist bezuglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lasst sich jedes r Q displaystyle r in mathbb Q nbsp eindeutig schreiben r p 1 z 1 p n z n displaystyle r p 1 z 1 cdots p n z n nbsp mit Primzahlen p 1 p n displaystyle p 1 dots p n nbsp Es ist also Q displaystyle mathbb Q nbsp eine freie abelsche Gruppe mit abzahlbarer Basis Der Ring R displaystyle R nbsp ist genau dann ein Schiefkorper wenn jeder Modul uber diesem Ring frei ist Der Rang eines freien Moduls Bearbeiten Viele der Satze uber Basen von Vektorraumen gelten bei freien Moduln nicht mehr Ist V displaystyle textstyle V nbsp ein Vektorraum uber dem Korper K displaystyle K nbsp mit einer Basis von n displaystyle textstyle n nbsp Elementen so ist jedes System von n displaystyle textstyle n nbsp freien Elementen auch ein Erzeugendensystem also eine Basis Uber Ringen gilt das im Allgemeinen nicht So ist beispielsweise im Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp die Menge 2 displaystyle textstyle 2 nbsp frei aber keine Basis Ist V displaystyle V nbsp ein Vektorraum so sind je zwei Basen gleich machtig Dies gilt noch bei kommutativen Ringen Ist also der Ring R displaystyle R nbsp kommutativ und R n R m displaystyle R n cong R m nbsp so ist n m displaystyle n m nbsp Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer 2 Uber nicht kommutativen Ringen R displaystyle R nbsp ist der Satz im Allgemeinen falsch Ein Beispiel ist die Menge der R displaystyle R nbsp Endomorphismen eines freien R displaystyle R nbsp Moduls mit unendlicher Basis Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren Ringe bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich machtig sind heissen IBN Ringe 3 Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft Es gilt allgemeiner Ist r R S displaystyle rho colon R rightarrow S nbsp ein Homomorphismus von Ringen und ist S displaystyle S nbsp ein IBN Ring so auch R displaystyle R nbsp Gibt es also beispielsweise von R displaystyle R nbsp einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring S displaystyle S nbsp so ist R displaystyle R nbsp ein IBN Ring Eigenschaften freier Moduln BearbeitenAllgemeine Eigenschaften Bearbeiten Ist m i i I displaystyle m i i in I nbsp eine Familie von Elementen aus dem Modul M displaystyle M nbsp so gibt es genau einen Homomorphismus R I i I R e i M displaystyle R I bigoplus i in I Re i rightarrow M nbsp mit f e i m i displaystyle f e i m i nbsp Dabei ist e i i I displaystyle e i i in I nbsp eine Basis im Zweifel die kanonische von R I displaystyle R I nbsp Erzeugt die Familie m i i I displaystyle m i i in I nbsp den Modul M displaystyle M nbsp so ist f displaystyle f nbsp ein Epimorphismus Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls Ist F displaystyle F nbsp ein freier Modul und f M F displaystyle f colon M rightarrow F nbsp ein Epimorphismus so ist Kern f displaystyle operatorname Kern f nbsp direkter Summand in M displaystyle M nbsp Es gibt ein g F M displaystyle g colon F rightarrow M nbsp mit f g 1 F displaystyle f circ g mathbf 1 F nbsp Die Aussage 1 kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedruckt werden Zu jeder Menge X displaystyle X nbsp gehort der freie Modul F X R X displaystyle mathbf F X R X nbsp und die kanonische injektive Abbildung F X X x e x R X displaystyle Phi X colon X ni x mapsto e x in R X nbsp Ist Y displaystyle Y nbsp eine weitere Menge und a X Y displaystyle alpha colon X rightarrow Y nbsp eine Abbildung zwischen den Mengen so gibt es zu der Familie e a x x X displaystyle e alpha x x in X nbsp genau einen Homomorphismus F a F X F Y displaystyle mathbf F alpha colon mathbf F X rightarrow mathbf F Y nbsp so dass F a F X F Y a displaystyle mathbf F alpha circ Phi X Phi Y circ alpha nbsp gilt Das heisst folgendes Diagramm ist kommutativ nbsp Sind a X Y b Y Z displaystyle alpha colon X rightarrow Y beta colon Y rightarrow Z nbsp Abbildungen so ist F a b F a F b displaystyle mathbf F alpha circ beta mathbf F alpha circ mathbf F beta nbsp In der Sprache der Kategorientheorie lasst sich das so ausdrucken F displaystyle mathbf F nbsp ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln F displaystyle Phi nbsp ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitatsfunktor und dem Funktor F displaystyle mathbf F nbsp Wie in 3 gehort zu jedem Modul M displaystyle M nbsp der freie Modul F M R M m M R e m displaystyle F M R M bigoplus m in M Re m nbsp Dazu gehort der eindeutig bestimmte Epimorphismus PS M F M e m m M displaystyle Psi M F M ni e m mapsto m in M nbsp Fur alle a M N displaystyle alpha colon M rightarrow N nbsp ist PS N F a a PS N displaystyle Psi N circ F alpha alpha circ Psi N nbsp Es ist PS displaystyle Psi nbsp ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor F displaystyle mathbf F nbsp und dem Identitatsfunktor Freie Moduln uber besonderen Ringen Bearbeiten Uber Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei Uber lokalen Ringen sind alle direkte Summanden von freien Moduln das sind projektive Moduln frei Konstruktion BearbeitenZu jeder Menge S displaystyle S nbsp und jedem Ring R displaystyle R nbsp gibt es den freien R displaystyle R nbsp Linksmodul F S displaystyle FS nbsp uber S displaystyle S nbsp Sein Trager ist die Menge der formalen Linearkombinationen von S displaystyle S nbsp Elementen kodiert etwa als F S v S R s S v s 0 endlich displaystyle FS v colon S to R mid s in S mid v s neq 0 text endlich nbsp Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise displaystyle nbsp displaystyle colon nbsp F S F S F S displaystyle FS times FS to FS nbsp v w s v s w s displaystyle v w s v s w s nbsp displaystyle cdot nbsp displaystyle colon nbsp R F S F S displaystyle R times FS to FS nbsp r v s r v s displaystyle r cdot v s r cdot v s nbsp Die Elemente von S displaystyle S nbsp sind hierbei keine Elemente von F S displaystyle FS nbsp Wenn R displaystyle R nbsp eine 1 e displaystyle 1 e nbsp oder auch nur eine Links Erzeugende e displaystyle e nbsp mit Z e R e R displaystyle mathbb Z e Re R nbsp hat so lassen sie sich aber einbetten mittels h S displaystyle eta S nbsp displaystyle colon nbsp S F S displaystyle S to FS nbsp h S s displaystyle eta S s nbsp S R displaystyle S to R nbsp t e s t 0 sonst displaystyle t mapsto begin cases e amp s t 0 amp text sonst end cases nbsp Der freie R displaystyle R nbsp Rechtsmodul ist der freie R op displaystyle R text op nbsp Linksmodul wobei R op displaystyle R text op nbsp den Gegenring von R displaystyle R nbsp bezeichnet Abschwachungen BearbeitenDas folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls M displaystyle M nbsp uber einem kommutativen Ring A displaystyle A nbsp mit den Eigenschaften projektiv flach und torsionsfrei in Beziehung nbsp Siehe auch BearbeitenBasis Vektorraum Projektives ObjektLiteratur BearbeitenTsit Yuen Lam Lectures on modules and rings GTM 189 Springer 1999 ISBN 0 387 98428 3 Friedrich Kasch Moduln und Ringe Teubner Stuttgart 1977 ISBN 3 519 02211 7 Robert Wisbauer Grundlagen der Modul und Ringtheorie Reinhard Fischer Munchen 1988 ISBN 3 88927 044 1 Einzelnachweise Bearbeiten Tsit Yuen Lam Lectures on modules and rings GTM 189 Springer 1999 ISBN 0 387 98428 3 S 22 f Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 21380 5 doi 10 1007 3 540 29287 X Seite 194 Siehe hierzu den Artikel en Invariant basis number Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Freier Modul amp oldid 210826598
