In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung f M N displaystyle f colon M rightarrow N zwischen zwei Moduln M displaystyle M und N displaystyle N uber einem Ring R displaystyle R welche mit der Modulstruktur vertraglich ist Sie ubersetzt beispielsweise die Addition von M displaystyle M in die Addition von N displaystyle N Eine Addition kann man zweifach ubersetzen Man addiert zunachst in M displaystyle M und ubersetzt dann mit f displaystyle f Man ubersetzt mit f displaystyle f die Summanden und berechnet die Summe in N displaystyle N Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorraumen den Korper durch einen Ring erhalt man einen Modulhomomorphismus Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein Inhaltsverzeichnis 1 Homomorphismus 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Eigenschaften 2 Monomorphismus 2 1 Satz 2 2 Beispiele 2 3 Bemerkungen 3 Epimorphismus 3 1 Definition 3 2 Beispiele 3 3 Eigenschaften 4 Isomorphismen 5 Produktzerlegungen von Homomorphismen 5 1 Homomorphiesatz 5 2 1 Isomorphiesatz 5 3 2 Isomorphiesatz 6 Der Hom Funktor 6 1 Moduleigenschaften von Hom 6 2 Der kovariante Funktor Hom 6 3 Linksexaktheit von Hom 7 Einzelnachweise 8 LiteraturHomomorphismus BearbeitenDefinition Bearbeiten Es seien zwei Rechtsmoduln M N displaystyle M N nbsp uber einem Ring R displaystyle R nbsp gegeben Eine Abbildung f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp heisst Homomorphismus von M displaystyle M nbsp nach N displaystyle N nbsp wenn fur alle m 1 m 2 M displaystyle m 1 m 2 in M nbsp und alle r R displaystyle r in R nbsp gilt f m 1 m 2 f m 1 f m 2 displaystyle f m 1 m 2 f m 1 f m 2 nbsp und f m 1 r f m 1 r displaystyle f m 1 cdot r f m 1 cdot r nbsp Entsprechend erklart man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln Eine Abbildung f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp zwischen zwei Linksmoduln M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp uber dem Ring R displaystyle R nbsp heisst Homomorphismus von M displaystyle M nbsp nach N displaystyle N nbsp wenn fur alle m 1 m 2 M displaystyle m 1 m 2 in M nbsp und alle r R displaystyle r in R nbsp gilt f m 1 m 2 f m 1 f m 2 displaystyle f m 1 m 2 f m 1 f m 2 nbsp und f r m 1 r f m 1 displaystyle f r cdot m 1 r cdot f m 1 nbsp Die Menge der Homomorphismen von M displaystyle M nbsp nach N displaystyle N nbsp wird mit Hom R M N displaystyle operatorname Hom R M N nbsp bezeichnet Ein Homomorphismus f M M displaystyle f colon M rightarrow M nbsp von einem Modul M displaystyle M nbsp in sich selbst heisst Endomorphismus von M displaystyle M nbsp Sind M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp zwei S displaystyle S nbsp R displaystyle R nbsp Bimoduln uber Ringen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp so heisst eine Abbildung f M N displaystyle f colon M to N nbsp ein Homomorphismus von S R Bimoduln wenn fur alle m 1 m 2 M s S r R displaystyle m 1 m 2 in M s in S r in R nbsp gilt f m 1 m 2 f m 1 f m 2 displaystyle f m 1 m 2 f m 1 f m 2 nbsp und f s m r s f m r s f m r displaystyle f s cdot m cdot r s cdot f m cdot r s cdot f m cdot r nbsp Beispiele Bearbeiten Ist M displaystyle M nbsp ein beliebiger Modul so gibt es genau einen Homomorphismus 0 0 M displaystyle 0 colon 0 rightarrow M nbsp namlich 0 0 M displaystyle 0 mapsto 0 in M nbsp Es ist 0 displaystyle 0 nbsp ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln Genauso gibt es nur einen Homomorphismus M 0 displaystyle M to 0 nbsp die Nullabbildung m 0 displaystyle m mapsto 0 nbsp fur alle m M displaystyle m in M nbsp Es ist auch 0 displaystyle 0 nbsp ein Endobjekt Man fasst zusammen wenn man sagt 0 displaystyle 0 nbsp ist ein Nullobjekt Die Identitat 1 M M M m m displaystyle mathbf 1 M colon M to M m mapsto m nbsp ist ein Homomorphismus Das Zentrum eines Ringes R displaystyle R nbsp ist die Menge Z s R s r r s fur alle r R displaystyle Z s in R mid s cdot r r cdot s text fur alle r in R nbsp ist ein Unterring des Ringes R displaystyle R nbsp Ist s displaystyle s nbsp im Zentrum des Ringes so ist l s M M m m s displaystyle l s colon M to M m mapsto m cdot s nbsp ein Homomorphismus Sind f g M N displaystyle f g colon M rightarrow N nbsp zwei Homomorphismen so ist ihre Summe f g M N m f m g m displaystyle f g colon M to N m mapsto f m g m nbsp ein Homomorphismus Eigenschaften Bearbeiten Ist f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp ein Homomorphismus und ist V N displaystyle V hookrightarrow N nbsp ein Untermodul von N displaystyle N nbsp so ist f 1 V m M f m V displaystyle f 1 V m in M mid f m in V nbsp ein Untermodul von M displaystyle M nbsp Insbesondere ist f 1 0 displaystyle f 1 0 nbsp ein Untermodul von M displaystyle M nbsp Dieser Untermodul heisst Kern des Homomorphismus f displaystyle f nbsp Er wird oft mit Kern f displaystyle operatorname Kern f nbsp oder auch einfach Ke f displaystyle operatorname Ke f nbsp bezeichnet Ist U displaystyle U nbsp ein Untermodul von M displaystyle M nbsp und f M N displaystyle f colon M to N nbsp ein Modulhomomorphismus so ist f U f u u U displaystyle f U f u mid u in U nbsp ein Untermodul von N displaystyle N nbsp Er heisst Bild von U displaystyle U nbsp unter f displaystyle f nbsp Insbesondere ist f M displaystyle f M nbsp die Bildmenge von f displaystyle f nbsp ein Untermodul von N displaystyle N nbsp Er wird oft mit Bild f displaystyle operatorname Bild f nbsp oder einfach Bi f displaystyle operatorname Bi f nbsp bezeichnet Die Verkettung oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus Die Menge der Moduln uber einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie Ist M displaystyle M nbsp ein Modul so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitaren Ring Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung Monomorphismus BearbeitenSatz Bearbeiten Fur einen Homomorphismus f M R N R displaystyle f colon M R rightarrow N R nbsp zwischen Moduln sind folgende Aussagen aquivalent Kern f m M f m 0 0 displaystyle operatorname Kern f m in M mid f m 0 0 nbsp Fur alle a b M displaystyle a b in M nbsp mit f a f b displaystyle f a f b nbsp ist a b displaystyle a b nbsp f displaystyle f nbsp ist links kurzbar Das heisst Fur alle Moduln L R displaystyle L R nbsp und alle Homomorphismen g h L R M R displaystyle g h L R rightarrow M R nbsp gilt f g f h g h displaystyle fg fh Rightarrow g h nbsp Erfullt ein Homomorphismus f M R N R displaystyle f colon M R rightarrow N R nbsp eine und damit alle aquivalenten Eigenschaften des Satzes so heisst f displaystyle f nbsp Monomorphismus zwischen den Moduln Die dritte Aussage des Satzes besagt dass f displaystyle f nbsp im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist Beispiele Bearbeiten Ist U M displaystyle U hookrightarrow M nbsp ein Untermodul so ist die Inklusionsabbildung i U M u u displaystyle iota colon U to M u mapsto u nbsp ein Monomorphismus Jeder Z displaystyle mathbb Z nbsp Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen welcher nicht die Nullabbildung ist ist ein Monomorphismus Bemerkungen Bearbeiten Sind f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp und g N O displaystyle g colon N rightarrow O nbsp Monomorphismen so ist g f displaystyle g circ f nbsp ein Monomorphismus Ist g f displaystyle g circ f nbsp ein Monomorphismus so ist f displaystyle f nbsp ein Monomorphismus Ist g f displaystyle g circ f nbsp ein Monomorphismus so ist f M Kern g 0 displaystyle f M cap operatorname Kern g 0 nbsp Epimorphismus BearbeitenDefinition Bearbeiten Fur einen Modulhomomorphismus f Hom R M N displaystyle f in operatorname Hom R M N nbsp sind folgende Aussagen aquivalent N f M 0 displaystyle N f M 0 nbsp Dabei ist N f M displaystyle N f M nbsp der Faktormodul von N modulo f M Die Abbildung f displaystyle f nbsp ist surjektiv f displaystyle f nbsp ist rechts kurzbar Das heisst fur alle Moduln P displaystyle P nbsp und alle Homomorphismen g h Hom R N P displaystyle g h in operatorname Hom R N P nbsp gilt g f h f g h displaystyle gf hf Rightarrow g h nbsp Ein Homomorphismus der eine und damit alle diese Eigenschaften erfullt heisst Epimorphismus Die dritte Eigenschaft des Satzes besagt dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist Beispiele Bearbeiten Die Identitat M M m m displaystyle M to M m mapsto m nbsp ist ein Epimorphismus Ist R displaystyle R nbsp ein Integritatsring und K displaystyle K nbsp sein Quotientenkorper so ist jeder Homomorphismus 0 f Hom R K K displaystyle 0 neq f in operatorname Hom R K K nbsp ein Monomorphismus und ein Epimorphismus Es sei p eine Primzahl und Z p 1 z p i z Z i N displaystyle mathbb Z p 1 z cdot p i mid z in mathbb Z i in mathbb N nbsp der kleinste Unterring der rationalen Zahlen der p 1 displaystyle p 1 nbsp enthalt Ist M Z Z p 1 Z displaystyle M mathbb Z mathbb Z p 1 mathbb Z nbsp so ist jeder Endomorphismus von M Z displaystyle M mathbb Z nbsp der ungleich der Nullabbildung ist ein Epimorphismus Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus Eigenschaften Bearbeiten Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus Ist f Hom R M N g Hom R N P displaystyle f in operatorname Hom R M N quad g in operatorname Hom R N P nbsp und g f displaystyle gf nbsp ein Epimorphismus so ist g displaystyle g nbsp ein Epimorphismus und es ist Kern g f M N displaystyle operatorname Kern g f M N nbsp Isomorphismen BearbeitenEin Homomorphismus f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp heisst Isomorphismus wenn es einen Homomorphismus g N M displaystyle g colon N rightarrow M nbsp gibt so dass g f 1 M displaystyle g circ f mathbf 1 M nbsp und f g 1 N displaystyle f circ g mathbf 1 N nbsp ist Dies ist genau dann der Fall wenn f displaystyle f nbsp ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist Dabei ist 1 M displaystyle mathbf 1 M nbsp die Identitat auf dem Modul M displaystyle M nbsp und 1 N displaystyle mathbf 1 N nbsp analog die Identitat auf dem Modul N displaystyle N nbsp Zwei Moduln M N displaystyle M N nbsp heissen isomorph in Zeichen M N displaystyle M cong N nbsp wenn es einen Isomorphismus a M N displaystyle alpha M rightarrow N nbsp gibt Produktzerlegungen von Homomorphismen BearbeitenHomomorphiesatz Bearbeiten Ist f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp ein Homomorphismus so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus f M Kern f N displaystyle f colon M operatorname Kern f to N nbsp so dass f p f displaystyle f pi f nbsp gilt Dabei ist p M M Kern f displaystyle pi colon M to M operatorname Kern f nbsp mit m m Kern f displaystyle m mapsto m operatorname Kern f nbsp der kanonische Epimorphismus f displaystyle f nbsp ist stets ein Monomorphismus Ist f displaystyle f nbsp ein Epimorphismus so ist f displaystyle f nbsp ein Isomorphismus Der Homomorphiesatz besagt also dass das folgende Diagramm kommutiert M f N p 1 N M Kern f f N displaystyle begin array ccl M amp stackrel f longrightarrow amp N pi Big downarrow amp amp parallel mathbf 1 N M operatorname Kern f amp stackrel f longrightarrow amp N end array nbsp 1 Isomorphiesatz Bearbeiten Seien U V M displaystyle U V hookrightarrow M nbsp Untermoduln von M displaystyle M nbsp Dann gilt U V V U U V displaystyle U V V cong U U cap V nbsp Der Isomorphismus ist U V V u V u U V U U V displaystyle U V V ni u V mapsto u U cap V in U U cap V nbsp Folgerung Seien U M displaystyle U hookrightarrow M nbsp und V M displaystyle V hookrightarrow M nbsp Untermoduln von M displaystyle M nbsp mit U V M displaystyle U oplus V M nbsp so ist U M V displaystyle U cong M V nbsp 1 2 Isomorphiesatz Bearbeiten Es seien U V M displaystyle U hookrightarrow V hookrightarrow M nbsp Untermoduln von M displaystyle M nbsp Dann gilt M V M U V U displaystyle M V cong M U V U nbsp 2 Der Hom Funktor BearbeitenSind M N displaystyle M N nbsp Moduln so ist Hom M N displaystyle operatorname Hom M N nbsp die Menge der Homomorphismen f M N displaystyle f colon M rightarrow N nbsp Moduleigenschaften von Hom Bearbeiten Die Menge Hom M N displaystyle operatorname Hom M N nbsp wird zu einer abelschen Gruppe wenn fur zwei Homomorphismen f g M N displaystyle f g colon M rightarrow N nbsp die Summe folgendermassen definiert ist f g M m f m g m N displaystyle f g colon M ni m mapsto f m g m in N nbsp Ist M displaystyle M nbsp ein S R displaystyle S R nbsp Bimodul auf der linken Seite ein Modul uber dem Ring S displaystyle S nbsp und auf der rechten Seite ein Modul uber dem Ring R displaystyle R nbsp so wird Hom R M N displaystyle operatorname Hom R M N nbsp auf der rechten Seite zu einem Modul uber dem Ring S displaystyle S nbsp wenn man fur f Hom R M N displaystyle f in operatorname Hom R M N nbsp und s S displaystyle s in S nbsp definiert f s M m f s m N displaystyle f cdot s colon M ni m mapsto f s cdot m in N nbsp Ist insbesondere S displaystyle S nbsp der Endomorphismenring von M displaystyle M nbsp so ist Hom M N displaystyle operatorname Hom M N nbsp auf der rechten Seite ein Modul uber dem Ring S displaystyle S nbsp Ist N displaystyle N nbsp ein S R displaystyle S R nbsp Bimodul auf der linken Seite ein Modul uber dem Ring S displaystyle S nbsp und auf der rechten Seite uber dem Ring R displaystyle R nbsp so wird Hom R M N displaystyle operatorname Hom R M N nbsp auf der linken Seite zu einem Modul uber dem Ring S displaystyle S nbsp wenn man fur f Hom R M N displaystyle f in operatorname Hom R M N nbsp und s S displaystyle s in S nbsp definiert s f M m s f m N displaystyle s cdot f colon M ni m mapsto s cdot f m in N nbsp Der kovariante Funktor Hom Bearbeiten Ist M displaystyle M nbsp ein Modul so ordnet man jedem Modul N displaystyle N nbsp die abelsche Gruppe Hom M N displaystyle operatorname Hom M N nbsp zu Jedem Homomorphismus a A B displaystyle alpha colon A rightarrow B nbsp wird der Homomorphismus Hom M a Hom M A f a f Hom M B displaystyle operatorname Hom M alpha colon operatorname Hom M A ni f mapsto alpha circ f in operatorname Hom M B nbsp zugeordnet Es gilt dann fur alle a A B b B C displaystyle alpha colon A rightarrow B beta colon B rightarrow C nbsp Hom M b a Hom M a Hom M b displaystyle operatorname Hom M beta circ alpha operatorname Hom M alpha circ operatorname Hom M beta nbsp Ausserdem werden die Identitaten auf die entsprechenden Identitaten abgebildet Hom M displaystyle operatorname Hom M nbsp ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln uber dem Ring R displaystyle R nbsp in die Kategorie der abelschen Gruppen Ist M displaystyle M nbsp wie oben ein S R displaystyle S R nbsp Bimodul so ist Hom M displaystyle operatorname Hom M nbsp ein Funktor von der Kategorie der Moduln uber R displaystyle R nbsp in die Kategorie der Moduln uber S displaystyle S nbsp Linksexaktheit von Hom Bearbeiten Fur einen Komplex 0 A a B b C displaystyle 0 rightarrow A overset alpha rightarrow B overset beta rightarrow C nbsp das heisst es gilt b a 0 displaystyle beta circ alpha 0 nbsp sind die folgenden Aussagen aquivalent 0 A a B b C displaystyle 0 rightarrow A overset alpha rightarrow B overset beta rightarrow C nbsp ist exakt Fur alle Moduln M displaystyle M nbsp ist 0 Hom M A Hom M B Hom M C displaystyle 0 rightarrow operatorname Hom M A rightarrow operatorname Hom M B rightarrow operatorname Hom M C nbsp exakt Es gibt einen Generator G displaystyle G nbsp so dass die Folge 0 Hom G A Hom G B Hom G C displaystyle 0 rightarrow operatorname Hom G A rightarrow operatorname Hom G B rightarrow operatorname Hom G C nbsp exakt ist Auch wenn b displaystyle beta nbsp surjektiv ist so ist das fur Hom M B Hom M C displaystyle operatorname Hom M B rightarrow operatorname Hom M C nbsp im Allgemeinen nicht der Fall das heisst der Hom Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den Ext Funktor gemessen Einzelnachweise Bearbeiten Friedrich Kasch Moduln und Ringe Teubner Stuttgart 1977 Seite 57 Friedrich Kasch Moduln und Ringe Teubner Stuttgart 1977 Seite 58Literatur BearbeitenFrank W Anderson and Kent R Fuller Rings and Categories of Modules Springer New York 1992 ISBN 0 387 97845 3 Friedrich Kasch Moduln und Ringe Teubner Stuttgart 1977 ISBN 3 519 02211 7 Robert Wisbauer Grundlagen der Modul und Ringtheorie Reinhard Fischer Munchen 1988 ISBN 3 88927 044 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Modulhomomorphismus amp oldid 203195183
