Der Begriff der exakten Sequenz oder exakten Folge spielt eine zentrale Rolle im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra Besonders wichtig sind die kurzen exakten Sequenzen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Kurze exakte Sequenzen 3 1 Definition 3 2 Zerfallende kurze exakte Sequenzen 3 3 Aufteilung einer langen exakten Sequenz 3 4 Erweiterungen 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Sequenz A A A displaystyle A longrightarrow A longrightarrow A nbsp von Objekten und Morphismen in einer geeigneten Kategorie heisst exakt an der Stelle A displaystyle A nbsp wenn i m A A ker A A displaystyle mathrm im A to A ker A to A nbsp gilt d h wenn das Bild eines Pfeils gleich dem Kern des nachsten ist Eine langere Sequenz A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 displaystyle A 1 longrightarrow A 2 longrightarrow A 3 longrightarrow A 4 longrightarrow A 5 nbsp heisst exakt wenn sie exakt an den Stellen A 2 displaystyle A 2 nbsp A 3 displaystyle A 3 nbsp und A 4 displaystyle A 4 nbsp ist analog fur kurzere oder langere Sequenzen Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann Dies ist der Fall fur alle abelschen Kategorien aber auch beispielsweise fur die Kategorie Grp der Gruppen und Gruppenhomomorphismen Beispiele BearbeitenIst f A A displaystyle f colon A to A nbsp ein Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen dann ist im A A Bild f f a a A displaystyle operatorname im A to A operatorname Bild f f a a in A nbsp und ker A A Kern f a a A f a 0 displaystyle operatorname ker A to A operatorname Kern f a a in A f a 0 nbsp Die Folge A f A g A displaystyle A overset f longrightarrow A overset g longrightarrow A nbsp ist daher exakt an der Stelle A displaystyle A nbsp wenn Bild f Kern g displaystyle operatorname Bild f operatorname Kern g nbsp ist Eine Sequenz 0 A f A displaystyle 0 longrightarrow A overset f longrightarrow A nbsp ist genau dann exakt wenn f A A displaystyle f colon A to A nbsp ein Monomorphismus d h injektiv ist Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden A f A displaystyle A overset f hookrightarrow A nbsp Eine SequenzA g A 0 displaystyle A overset g longrightarrow A longrightarrow 0 nbsp ist genau dann exakt wenn g A A displaystyle g colon A to A nbsp ein Epimorphismus d h surjektiv ist Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden A g A displaystyle A overset g twoheadrightarrow A nbsp dd Fur jeden Homomorphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp von Vektorraumen abelschen Gruppen Moduln jeden Morphismus einer abelschen Kategorie existiert eine exakte Sequenz wie folgt 0 ker f A B c o k e r f 0 displaystyle 0 longrightarrow ker f longrightarrow A longrightarrow B longrightarrow mathrm coker f longrightarrow 0 nbsp dd In Grp ist die Sequenz jedoch bei B displaystyle B nbsp nur exakt wenn das Bild von f displaystyle f nbsp ein Normalteiler in B displaystyle B nbsp ist Auch in additiven aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben Dabei bezeichnet coker f displaystyle operatorname coker f nbsp den Kokern von f displaystyle f nbsp Fur eine Gruppe G displaystyle G nbsp seien Z G displaystyle Z G nbsp das Zentrum A u t G displaystyle mathrm Aut G nbsp die Gruppe der Automorphismen I n n G displaystyle mathrm Inn G nbsp die Gruppe der inneren Automorphismen und O u t G A u t G I n n G displaystyle mathrm Out G mathrm Aut G mathrm Inn G nbsp die Gruppe der ausseren Automorphismenvon G displaystyle G nbsp Dann ist die Sequenz1 Z G G A u t G O u t G 1 displaystyle 1 longrightarrow Z G longrightarrow G longrightarrow mathrm Aut G longrightarrow mathrm Out G longrightarrow 1 nbsp dd exakt Der mittlere Pfeil ist dabei durchg h g h g 1 I n n G A u t G displaystyle g mapsto h mapsto ghg 1 in mathrm Inn G subseteq mathrm Aut G nbsp dd gegeben Kurze exakte Sequenzen BearbeitenDefinition Bearbeiten Eine exakte Sequenz der Form 0 A A A 0 displaystyle 0 longrightarrow A longrightarrow A longrightarrow A longrightarrow 0 nbsp heisst kurze exakte Sequenz Zerfallende kurze exakte Sequenzen Bearbeiten Eine kurze exakte Sequenz zerfallt wenn A A displaystyle A to A nbsp einen Schnitt hat Vereinzelt wird anstatt zerfallt auch die Bezeichnung spaltet auf benutzt die auf eine nicht ganz korrekte Ubersetzung des englischen Begriffs split zuruckzufuhren ist In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch dass A A displaystyle A to A nbsp eine Retraktion hat dass die entstehende Sequenz 0 A A A 0 displaystyle 0 longleftarrow A longleftarrow A longleftarrow A longleftarrow 0 nbsp ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen isomorph zu 0 A A A A 0 displaystyle 0 longrightarrow A longrightarrow A oplus A longrightarrow A longrightarrow 0 nbsp bzw 0 A A A A 0 displaystyle 0 longleftarrow A longleftarrow A oplus A longleftarrow A longleftarrow 0 nbsp sind Zerfallt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen ergibt sich daraus lediglich eine Operation von A displaystyle A nbsp auf A displaystyle A nbsp und dass A displaystyle A nbsp semidirektes Produkt von A displaystyle A nbsp und A displaystyle A nbsp bezuglich dieser Operation ist Beispielsweise ist die zyklische Gruppe Z 3 Z displaystyle mathbb Z 3 mathbb Z nbsp Untergruppe der symmetrischen Gruppe S 3 displaystyle S 3 nbsp woraus sich die kurze exakte Sequenz 0 Z 3 Z S 3 Z 2 Z 0 displaystyle 0 longrightarrow mathbb Z 3 mathbb Z longrightarrow S 3 longrightarrow mathbb Z 2 mathbb Z longrightarrow 0 nbsp ergibt indem man das nicht neutrale Element der Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp auf ein Element der Ordnung 2 in S 3 displaystyle S 3 nbsp abbildet erhalt man eine Spaltung Aufteilung einer langen exakten Sequenz Bearbeiten Jede lange exakte Folge lasst sich in kurze exakte Folgen zerlegen indem man Kerne und Kokerne einfugt Ist A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 displaystyle A 1 longrightarrow A 2 longrightarrow A 3 longrightarrow A 4 longrightarrow A 5 nbsp eine exakte Sequenz so sei Z n ker A n A n 1 i m A n 1 A n c o k e r A n 2 A n 1 displaystyle Z n ker A n to A n 1 mathrm im A n 1 to A n mathrm coker A n 2 to A n 1 nbsp Dann gibt es kurze exakte Sequenzen 0 Z n A n Z n 1 0 displaystyle 0 longrightarrow Z n longrightarrow A n longrightarrow Z n 1 longrightarrow 0 nbsp Ist A displaystyle A nbsp ein Kettenkomplex so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz aquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz Erweiterungen Bearbeiten Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz 0 A A A 0 displaystyle 0 longrightarrow A longrightarrow A longrightarrow A longrightarrow 0 nbsp sagt man auch dass A displaystyle A nbsp eine Erweiterung von A displaystyle A nbsp durch A displaystyle A nbsp ist Ist zum Beispiel N displaystyle N nbsp ein Normalteiler in der Gruppe G displaystyle G nbsp und G N displaystyle G N nbsp die Faktorgruppe so erhalt man eine kurze exakte Sequenz 0 N G G N 0 displaystyle 0 longrightarrow N longrightarrow G longrightarrow G N longrightarrow 0 nbsp wobei der zweite Pfeil die Einbettung von N displaystyle N nbsp in G displaystyle G nbsp und der dritte die Quotientenabbildung ist Damit ist G displaystyle G nbsp eine Erweiterung von N displaystyle N nbsp und G N displaystyle G N nbsp und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller moglichen Erweiterungen von N displaystyle N nbsp und G N displaystyle G N nbsp stellen Entsprechende Fragestellungen erhalt man etwa in der Kategorie der Ringe oder Moduln uber einem festen Ring Dies fuhrt zu mathematischen Begriffen wie Ext oder Gruppenkohomologie Siehe auch BearbeitenExakter Funktor KettenkomplexLiteratur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra Springer Verlag 2008 ISBN 978 3 540 76437 3 S 77 79 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exakte Sequenz amp oldid 226415947
