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Zentrum Algebra Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenig

Zentrum (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bezüglich der Gruppenverknüpfung kommutieren.

Zentrum einer Gruppe Bearbeiten

Ist eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

Eigenschaften Bearbeiten

Das Zentrum von ist eine Untergruppe, denn sind und aus , dann gilt für jedes

also liegt auch im Zentrum. Analog zeigt man, dass im Zentrum liegt:

Das neutrale Element der Gruppe liegt stets im Zentrum: .

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von , es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von . ist genau dann abelsch, wenn .

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen von , für die die Konjugation mit , also , die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt .

Beispiele Bearbeiten

  • Die Diedergruppe besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
  • Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren -Matrizen mit Einträgen aus einem Körper besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zentrum eines Rings Bearbeiten

Das Zentrum eines Rings besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

Das Zentrum ist ein kommutativer Unterring von . Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen Algebra Bearbeiten

Das Zentrum einer assoziativen Algebra ist die kommutative Unteralgebra

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-Algebra Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Das Zentrum einer Lie-Algebra ist das (abelsche) Ideal

worin die Lie-Klammer, also die Multiplikation, in bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel Bearbeiten

  • Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

Literatur Bearbeiten

  • Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur die aus all den Elementen besteht die mit allen Elementen bezuglich der Gruppenverknupfung kommutieren Inhaltsverzeichnis 1 Zentrum einer Gruppe 1 1 Eigenschaften 1 2 Beispiele 2 Zentrum eines Rings 3 Zentrum einer assoziativen Algebra 4 Zentrum einer Lie Algebra 4 1 Definition 4 2 Beispiel 5 Literatur 6 WeblinksZentrum einer Gruppe BearbeitenIst G displaystyle G nbsp eine Gruppe so ist deren Zentrum die Menge Z G z G g G g z z g displaystyle mathrm Z G z in G mid forall g in G gz zg nbsp Eigenschaften Bearbeiten Das Zentrum von G displaystyle G nbsp ist eine Untergruppe denn sind x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp aus Z G displaystyle Z G nbsp dann gilt fur jedes g G displaystyle g in G nbsp x y g x y g x g y x g y g x y g x y displaystyle xy g x yg x gy xg y gx y g xy nbsp also liegt auch x y displaystyle xy nbsp im Zentrum Analog zeigt man dass x 1 displaystyle x 1 nbsp im Zentrum liegt x 1 g g 1 x 1 x g 1 1 g x 1 displaystyle x 1 g g 1 x 1 xg 1 1 gx 1 nbsp Das neutrale Element der Gruppe e displaystyle e nbsp liegt stets im Zentrum e g g g e displaystyle eg g ge nbsp Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von G displaystyle G nbsp es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von G displaystyle G nbsp G displaystyle G nbsp ist genau dann abelsch wenn Z G G displaystyle Z G G nbsp Das Zentrum besteht aus genau den Elementen z displaystyle z nbsp von G displaystyle G nbsp fur die die Konjugation mit z displaystyle z nbsp also g z 1 g z displaystyle left g mapsto z 1 gz right nbsp die identische Abbildung ist Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren Es gilt Z G G Z G displaystyle Z G G Z G nbsp Beispiele Bearbeiten Das Zentrum der symmetrischen Gruppe vom Grad 3 S 3 i d 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 displaystyle S 3 left mathrm id 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 right nbsp besteht nur aus dem neutralen Element i d displaystyle mathrm id nbsp denn 1 2 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 2 3 displaystyle 1 2 1 3 1 3 2 neq 1 3 1 2 1 2 3 nbsp 1 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 displaystyle 1 2 2 3 1 2 3 neq 2 3 1 2 1 3 2 nbsp 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 displaystyle 1 2 3 1 2 1 3 neq 1 2 1 2 3 2 3 nbsp 1 3 2 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1 3 displaystyle 1 3 2 1 2 2 3 neq 1 2 1 3 2 1 3 nbsp Die Diedergruppe D 4 displaystyle D 4 nbsp besteht aus den Bewegungen der Ebene die ein fest gewahltes Quadrat unverandert lassen Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0 90 180 und 270 sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0 und um 180 Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen aus einem Korper besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix Zentrum eines Rings BearbeitenDas Zentrum eines Rings R displaystyle R nbsp besteht aus denjenigen Elementen des Rings die mit allen anderen kommutieren Z R z R a R z a a z displaystyle mathrm Z R z in R mid forall a in R colon za az nbsp Das Zentrum Z R displaystyle Z R nbsp ist ein kommutativer Unterring von R displaystyle R nbsp Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum uberein wenn er kommutativ ist Zentrum einer assoziativen Algebra BearbeitenDas Zentrum einer assoziativen Algebra A displaystyle A nbsp ist die kommutative Unteralgebra Z A z A a A z a a z displaystyle mathrm Z A z in A mid forall a in A colon za az nbsp Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum uberein wenn sie kommutativ ist Zentrum einer Lie Algebra BearbeitenDefinition Bearbeiten Das Zentrum einer Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp ist das abelsche Ideal z g Z g X g X Z 0 displaystyle mathfrak z mathfrak g Z in mathfrak g mid forall X in mathfrak g colon X Z 0 nbsp worin displaystyle cdot cdot nbsp die Lie Klammer also die Multiplikation in g displaystyle mathfrak g nbsp bezeichnet Eine Lie Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum uberein wenn sie abelsch ist Beispiel Bearbeiten Das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe GL n K displaystyle operatorname GL n K nbsp besteht aus den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix E n displaystyle E n nbsp Z GL n K l E n l K displaystyle Z left operatorname GL n K right lambda E n vert lambda in K nbsp Fur eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe uberein Literatur BearbeitenKurt Meyberg Algebra Teil 1 Hanser 1980 ISBN 3 446 13079 9 S 36Weblinks BearbeitenZentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen bei PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentrum Algebra amp oldid 221360965