Zentralisator Der ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie Der Z G x displaystyle Z G x eine

Zentralisator

Der Zentralisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Der Zentralisator eines Elementes einer Gruppe ist die aus allen mit kommutierenden Gruppenelementen bestehende Menge:

Allgemeiner definiert man als Zentralisator einer Teilmenge einer Gruppe die Menge

oder äquivalent dazu die Schnittmenge der Zentralisatoren der einzelnen Elemente aus

Eigenschaften Bearbeiten

Der Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge bildet eine Untergruppe der Gruppe. Insbesondere ist das neutrale Element einer Gruppe in den Zentralisatoren jedes Gruppenelementes und jeder Teilmenge enthalten, da es mit allen Gruppenelementen kommutiert. Der Zentralisator des neutralen Elements einer Gruppe ist die Gruppe selbst.

Für alle Elemente einer Gruppe gilt . Für alle Elemente einer Gruppe und alle natürlichen Zahlen gilt und . Somit ist für jedes Element einer Gruppe die von erzeugte zyklische Untergruppe auch Untergruppe des Zentralisators von . Für alle Elemente einer Untergruppe einer Gruppe gilt .

Konjugation Bearbeiten

Jede Gruppe operiert auf sich selbst durch Konjugation. Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der Stabilisator bezüglich dieser Gruppenoperation, d. h., der Zentralisator eines Elementes einer Gruppe ist die Menge aller Gruppenelemente, die unter Konjugation unverändert lassen:

Daraus folgt, dass die Anzahl der Elemente, die zu konjugiert sind, das heißt die Mächtigkeit der Konjugationsklasse von , gleich dem Index des Zentralisators von ist. Im Falle einer endlichen Gruppe ist also die Anzahl dieser konjugierten Elemente stets ein Teiler der Gruppenordnung . Ist bei einer endlichen Gruppe ein Repräsentantensystem aller Konjugationsklassen von , dann gilt:

Zentrum Bearbeiten

Für eine abelsche Gruppe sind die Zentralisatoren aller Gruppenelemente und aller Teilmengen gleich der ganzen Gruppe . Umgekehrt ist der Zentralisator einer beliebigen Gruppe (die Menge der mit allen Gruppenelementen kommutierenden Gruppenelemente) immer ein abelscher Normalteiler der Gruppe. Der Zentralisator wird als das Zentrum der Gruppe bezeichnet. Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sie gleich ihrem Zentrum ist.

Ein Gruppenelement ist genau dann im Zentrum der Gruppe enthalten, wenn sein Zentralisator gleich der ganzen Gruppe ist. Eine Teilmenge ist genau dann in enthalten, wenn ihre Elemente paarweise kommutieren. Der Zentralisator einer Teilmenge paarweise kommutierender Elemente einer Gruppe ist die größte Untergruppe von , deren Zentrum enthält.

Normalisator Bearbeiten

Eng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des Normalisators. In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.

Literatur Bearbeiten

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

Hungerford (1989), S. 89 f.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 07:59 am

Der Zentralisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie Der Zentralisator Z G x displaystyle Z G x eines Elementes x displaystyle x einer Gruppe G displaystyle G ist die aus allen mit x displaystyle x kommutierenden Gruppenelementen bestehende Menge Z G x g G g x x g displaystyle Z G x g in G mid gx xg Allgemeiner definiert man als Zentralisator Z G U displaystyle Z G U einer Teilmenge U displaystyle U einer Gruppe G displaystyle G die Menge Z G U g G g u u g f u r a l l e u U displaystyle Z G U g in G mid gu ug mathrm f ddot u r alle u in U oder aquivalent dazu die Schnittmenge der Zentralisatoren der einzelnen Elemente aus U displaystyle U Z G U x U Z G x displaystyle Z G U bigcap x in U Z G x Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Konjugation 3 Zentrum 4 Normalisator 5 Literatur 6 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenDer Zentralisator eines Gruppenelementes oder einer Teilmenge bildet eine Untergruppe der Gruppe Insbesondere ist das neutrale Element einer Gruppe in den Zentralisatoren jedes Gruppenelementes und jeder Teilmenge enthalten da es mit allen Gruppenelementen kommutiert Der Zentralisator des neutralen Elements einer Gruppe ist die Gruppe selbst Fur alle Elemente x displaystyle x nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp gilt Z G x 1 Z G x displaystyle Z G x 1 Z G x nbsp Fur alle Elemente x displaystyle x nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp und alle naturlichen Zahlen n displaystyle n nbsp gilt x n Z G x displaystyle x n in Z G x nbsp und x 1 n Z G x displaystyle x 1 n in Z G x nbsp Somit ist fur jedes Element x displaystyle x nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp die von x displaystyle x nbsp erzeugte zyklische Untergruppe x displaystyle langle x rangle nbsp auch Untergruppe des Zentralisators Z G x displaystyle Z G x nbsp von x displaystyle x nbsp Fur alle Elemente x displaystyle x nbsp einer Untergruppe H displaystyle H nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp gilt Z H x Z G x H displaystyle Z H x Z G x cap H nbsp Konjugation Bearbeiten Hauptartikel Konjugation Gruppentheorie Jede Gruppe operiert auf sich selbst durch Konjugation Der Zentralisator eines Elementes ist dann gerade der Stabilisator bezuglich dieser Gruppenoperation d h der Zentralisator Z G x displaystyle Z G x nbsp eines Elementes x displaystyle x nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp ist die Menge aller Gruppenelemente die x displaystyle x nbsp unter Konjugation unverandert lassen Z G x g G x g x g 1 displaystyle Z G x g in G mid x gxg 1 nbsp Daraus folgt dass die Anzahl der Elemente die zu x displaystyle x nbsp konjugiert sind das heisst die Machtigkeit der Konjugationsklasse von x displaystyle x nbsp gleich dem Index G Z G x displaystyle G Z G x nbsp des Zentralisators von x displaystyle x nbsp ist Im Falle einer endlichen Gruppe ist also die Anzahl dieser konjugierten Elemente stets ein Teiler der Gruppenordnung G displaystyle G nbsp Ist bei einer endlichen Gruppe x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dotsc x n nbsp ein Reprasentantensystem aller Konjugationsklassen von G displaystyle G nbsp dann gilt 1 G j 1 n G Z G x j displaystyle G sum j 1 n G Z G x j nbsp Zentrum BearbeitenFur eine abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp sind die Zentralisatoren aller Gruppenelemente und aller Teilmengen gleich der ganzen Gruppe G displaystyle G nbsp Umgekehrt ist der Zentralisator Z G G displaystyle Z G G nbsp einer beliebigen Gruppe G displaystyle G nbsp die Menge der mit allen Gruppenelementen kommutierenden Gruppenelemente immer ein abelscher Normalteiler der Gruppe Der Zentralisator Z G G displaystyle Z G G nbsp wird als das Zentrum Z G displaystyle Z G nbsp der Gruppe bezeichnet Eine Gruppe G displaystyle G nbsp ist genau dann abelsch wenn sie gleich ihrem Zentrum ist Ein Gruppenelement ist genau dann im Zentrum der Gruppe enthalten wenn sein Zentralisator gleich der ganzen Gruppe ist Eine Teilmenge S displaystyle S nbsp ist genau dann in Z G S displaystyle Z G S nbsp enthalten wenn ihre Elemente paarweise kommutieren Der Zentralisator einer Teilmenge S displaystyle S nbsp paarweise kommutierender Elemente einer Gruppe G displaystyle G nbsp ist die grosste Untergruppe von G displaystyle G nbsp deren Zentrum S displaystyle S nbsp enthalt Normalisator BearbeitenEng verwandt mit dem Begriff des Zentralisators ist der Begriff des Normalisators In diesem Fall operiert die Gruppe auf der Menge ihrer Untergruppen durch Konjugation Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator Literatur BearbeitenThomas W Hungerford Algebra 5 Auflage Springer 1989 ISBN 0 387 90518 9 Einzelnachweise Bearbeiten Hungerford 1989 S 89 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentralisator amp oldid 227624579