Abelsche Gruppe Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe d h eine bestimmte Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfu
Abelsche Gruppe
Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, d. h. eine bestimmte Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Die Additionrationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen.
Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens und des Multiplikationszeichens abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.
DefinitionBearbeiten
Sei eine Menge. Jedem Paar sei genau ein Element zugeordnet. Das Paar heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung die folgenden Gesetze erfüllt:
Eine Gruppe heißt nichtabelsch, wenn in ihr mindestens ein Paar existiert mit , also das Kommutativgesetz nicht erfüllt ist.
ErläuterungenBearbeiten
Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben und dann ein Modul genannt. In diesem Falle heißen die Summe von und , das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird geschrieben. Das Inverse von wird dann als dessen Entgegengesetztes mit bezeichnet.
Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben werden. Dann heißt oder einfach das Produkt von und . In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird geschrieben. Das Inverse von bezeichnet man nun mit .
In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als . Es gelten dann die Regeln: . Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten .
BeispieleBearbeiten
ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der ganzen Zahlen und die gewöhnliche Addition.
ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die und ist die gewöhnliche Multiplikation.
Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl kein Inverses bezüglich der Multiplikation. lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor verschoben
Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben.. Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. ist die Drehung um , ist die Drehung um und ist die Drehung um .
Sind abelsche Gruppen, so wird zu einer abelschen Gruppe durch .
Ist eine Menge und eine abelsche Gruppe, so ist eine Gruppe, wenn definiert wird: . Es heißt die te Komponente von . Oft wird als Vektor geschrieben der Form . Dabei ist . Ist , so ist die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus sind. Ist , so ist .
Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
Allgemeiner liefert jeder Körper in derselben Weise zwei abelsche Gruppen und .
Hingegen ist die Gruppe der invertierbaren -Matrizen über einem Körper für ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die symmetrische GruppeS3 mit sechs Elementen.
UntergruppenBearbeiten
Eine nicht leere Teilmenge der abelschen Gruppe heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle gilt: . In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:.
ist Untergruppe von .
Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
Ist eine Gruppe und , so sind und Untergruppen von . Zum Beispiel ist Menge der geraden Zahlen, eine Untergruppe von .
Jede Teilmenge ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die enthält. Diese Untergruppe heißt die von erzeugte Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Sind Untergruppen von , so ist die Menge eine Untergruppe von . Allgemeiner: Ist eine Familie von Untergruppen, so ist eine Untergruppe von . Sie heißt die Summe der Untergruppen .
Ist , so ist die von erzeugte Untergruppe . Ist so heißt ein Erzeugendensystem von .
Eine abelsche Gruppe heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge gibt, so dass gilt. Ist von einem Element erzeugt, so heißt zyklisch. Es wird geschrieben.
Jede Untergruppe von ist zyklisch.
Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von ist wieder zyklisch. Es gilt . Dabei ist der größte gemeinsamer Teiler von . Zum Beispiel ist: .
ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist ein Erzeugendensystem von und ist , so ist auch noch ein Erzeugendensystem.
Einige Gruppen in Kunst und Natur
FaktorgruppenBearbeiten
Ist eine Untergruppe, so definiert eine Äquivalenzrelation. Sind und sind so ist . Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei Menge der Äquivalenzklassen. Auf wird eine Addition erklärt.
Wollen wir tatsächlich in rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist .
Ist eine Untergruppe von , so ist zyklisch. Das heißt, es gibt ein mit . Ist , so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von . Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive genau dann, wenn sie beim Teilen durch den gleichen Rest lassen. Es ist dann ein Repräsentantensystem von . Bezeichnet der Rest, der beim Teilen von durch sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in folgende 'Addition': für . Den Index beim Zeichen lässt man weg. So ergibt in zum Beispiel .
ist eine Untergruppe von . Ein Repräsentantensystem von ist das rechts offene Einheitsintervall . In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen: . Dabei ist größte ganze Zahl . Es ist daher für :
Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe von kommen etwas weiter unten zur Sprache.
HomomorphismenBearbeiten
DefinitionBearbeiten
Sind abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung Homomorphismus , wenn für alle gilt: .
Beispiele für HomomorphismenBearbeiten
Die Identität und die Nullabbildung sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe gibt es genau einen Morphismus . Genauso gibt es genau einen Homomorphismus .
Ist eine Untergruppe von , so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
Die Abbildung ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist so ist die Multiplikation mit , also die Abbildung , ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum Distributivgesetz, welches besagt: Für alle gilt: . Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen das heißt: Ist ein Homomorphismus, so gibt es ein mit für alle .
Ist , so ist die Abbildung ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe .
Die natürliche Exponentialfunktion: ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe bijektiv in die multiplikative Gruppe ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche natürlicher Logarithmus.
Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie (Mathematik). Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.
Universelle Eigenschaft der ganzen ZahlenBearbeiten
Zu jeder Gruppe und jedem gibt es genau einen Homomorphismus mit . Es ist dann , und . Allgemein ist
Es liegt nahe für und zu definieren: . Es gilt dann:
. (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit geschrieben.)
Für alle ist .
Für alle und alle ist .
Für alle und alle ist .
Für alle und alle ist .
Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem -Modul. Ist ein Homomorphismus, so ist für alle : .
Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in die . Zu jedem beliebigen gibt es genau einen Homomorphismus mit . Es ist . Allgemein ist . Die obigen Gesetze besagen dann:
Für alle ist .
Für alle ist .
Für alle ist .
Für alle ist . Wird für die Menge der rationalen oder reellen Zahlen eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.
Eigenschaften von HomomorphismenBearbeiten
Ist ein Homomorphismus, und sind beziehungsweise Untergruppen, so sind und Untergruppen. Insbesondere sind und Untergruppen. Hieraus folgt:
Ist eine Gruppe und eine natürliche Zahl, so ist und Untergruppen von . Dies gilt, da die Multiplikation mit ein Homomorphismus ist.
ist Untergruppe von . Dies ist die Torsionsuntergruppe von . Ist , so heißt torsionsfrei. Für jede Gruppe ist torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von ist .
Ist ein Homomorphismus und ist von Elementen erzeugt und ist von Elementen erzeugt, so ist von Elementen erzeugt.
Jede Untergruppe von ist von maximal Elementen erzeugt.
Injektive HomomorphismenBearbeiten
Ist ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt Isomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen und so heißen isomorph.
Ist ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißt Monomorphismus.
ist als Abbildung injektiv.
.
Für alle abelschen Gruppen und alle Homomorphismen mit ist . Es ist links kürzbar.
Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind Monomorphismen, so ist ein Monomorphismus.
Surjektive HomomorphismenBearbeiten
Ist ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt Epimorphismus.
ist als Abbildung surjektiv.
.
Für alle Gruppen und alle gilt: Ist , so ist . Es ist auf der rechten Seite kürzbar.
Ist eine Untergruppe, so ist die Abbildung ein Epimorphismus.
Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind und Epimorphismen, so ist ein Epimorphismus. Er heißt kanonischer Epimorphismus.
Sind und Homomorphismen und ist ein Epimorphismus, so ist ein Epimorphismus.
Isomorphismus, IsomorphiesätzeBearbeiten
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.
Homomorphiesatz: Sei ein Homomorphismus. der kanonische Epimorphismus. Dann ist ein Monomorphismus mit . Insbesondere ist . Es ist folgendes Diagramm kommutativ. Homomorphiesatz
Erster Isomorphiesatz: Seien Untergruppen von . Dann gilt: .
Zweiter Isomorphiesatz: Seien Untergruppen. Dann gilt : .
Der Funktor Hom(A, –)Bearbeiten
Sind Gruppen, so ist die Menge eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch: .
Es ist für jede endlich erzeugte Gruppe .
Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen gleich , so ist .
Für alle abelschen Gruppen ist . Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
Ist ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung ein Homomorphismus. Für gilt: . Ist die Identität auf , so ist die Identität auf . Ist ein Isomorphismus, so ist ein Isomorphismus. Wird
Jeder abelschen Gruppe die abelsche Gruppe und
jedem Homomorphismus der Homomorphismus zugeordnet, so erhält man den Funktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie .
Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von . Da es zu jedem einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit gibt, ist die Zuordnung eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: hat die folgende Eigenschaft: Für alle und alle Homomorphismen ist . Außerdem ist für alle die Abbildung ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: . Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ für alle und alle mit Isomorphismen .Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A) Das heißt unter anderem ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn dies ist.
Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe die induzierte Folge exakt. Dabei ist . Der Funktor heißt links exakt. Ist ein Epimorphismus, so ist normalerweise kein Epimorphismus.
Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.
Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring (siehe oben). Wird durch einen beliebigen Ring ersetzt, erhalten wir einen -Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln über Hauptidealbereichen übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
Torsionsgruppen: Ein heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass . Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe bilden eine Untergruppe. Beispielsweise ist die Torsionsuntergruppe von .
Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe d h eine bestimmte Menge von Elementen zusammen mit einer Verknupfung fur die zusatzlich das Kommutativgesetz gilt Der mathematische Begriff abelsche Gruppe auch kommutative Gruppe genannt verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen Die Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen 0 displaystyle neq 0 erfullen eine Reihe gemeinsamer Gesetze Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor So zum Beispiel bei Verschiebungen Drehungen der Ebene um einen Punkt Addition von Funktionen Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens displaystyle und des Multiplikationszeichens displaystyle cdot abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewahlt worden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterungen 3 Beispiele 4 Untergruppen 5 Faktorgruppen 6 Homomorphismen 6 1 Definition 6 2 Beispiele fur Homomorphismen 6 3 Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen 6 4 Eigenschaften von Homomorphismen 6 4 1 Injektive Homomorphismen 6 4 2 Surjektive Homomorphismen 6 4 3 Isomorphismus Isomorphiesatze 6 4 4 Der Funktor Hom A 7 Verallgemeinerungen Weiterfuhrendes 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine Menge Jedem Paar a b G G displaystyle a b in G times G nbsp sei genau ein Element a b G displaystyle a circ b in G nbsp zugeordnet Das Paar G displaystyle G circ nbsp heisst abelsche Gruppe wenn die Verknupfung G G G a b a b displaystyle circ colon G times G to G a b mapsto a circ b nbsp die folgenden Gesetze erfullt Assoziativgesetz Fur alle a b c G displaystyle a b c in G nbsp gilt a b c a b c displaystyle a circ b circ c a circ b circ c nbsp Kommutativgesetz Fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp gilt a b b a displaystyle a circ b b circ a nbsp Neutrales Element Es gibt ein Element e G displaystyle e in G nbsp so dass fur alle a G displaystyle a in G nbsp gilt a e a displaystyle a circ e a nbsp Inverses Element Zu jedem a G displaystyle a in G nbsp gibt es ein a 1 G displaystyle a 1 in G nbsp mit a a 1 e displaystyle a circ a 1 e nbsp 1 Eine Gruppe G displaystyle G circ nbsp heisst nichtabelsch wenn in ihr mindestens ein Paar a b displaystyle a b nbsp existiert mit a b b a displaystyle a circ b neq b circ a nbsp also das Kommutativgesetz nicht erfullt ist Erlauterungen BearbeitenWird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen so ergibt sich eine Gruppe Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe fur die zusatzlich das Kommutativgesetz gilt Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt wie sich aus den Axiomen zeigen lasst Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknupfungszeichen displaystyle nbsp geschrieben und dann ein Modul genannt In diesem Falle heissen a b displaystyle a b nbsp die Summe von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird 0 displaystyle 0 nbsp geschrieben Das Inverse von a displaystyle a nbsp wird dann als dessen Entgegengesetztes mit a displaystyle a nbsp bezeichnet Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknupfungszeichen displaystyle cdot nbsp geschrieben werden Dann heisst a b displaystyle a cdot b nbsp oder einfach a b displaystyle ab nbsp das Produkt von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp In diesem Falle heisst das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird 1 displaystyle 1 nbsp geschrieben Das Inverse von a displaystyle a nbsp bezeichnet man nun mit a 1 displaystyle a 1 nbsp In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklart als a b a b displaystyle a b a b nbsp Es gelten dann die Regeln a b a b a b a b displaystyle a b a b a b a b nbsp Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben so definiert man entsprechend den Quotienten a b a b 1 displaystyle a b a cdot b 1 nbsp Beispiele Bearbeiten Z displaystyle mathbb Z nbsp ist die wichtigste abelsche Gruppe Dabei ist Z displaystyle mathbb Z nbsp die Menge der ganzen Zahlen und displaystyle nbsp die gewohnliche Addition Q displaystyle mathbb Q cdot nbsp ist eine abelsche Gruppe Dabei ist Q displaystyle mathbb Q nbsp die Menge der rationalen Zahlen ohne die 0 displaystyle 0 nbsp und displaystyle cdot nbsp ist die gewohnliche Multiplikation Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezuglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe Zum Beispiel hat die Zahl 3 displaystyle 3 nbsp kein Inverses bezuglich der Multiplikation 1 3 displaystyle frac 1 3 nbsp lasst sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben Bezuglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbruche eine abelsche Gruppe Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe Die Verknupfung ist die Hintereinanderausfuhrung der Verschiebungen nbsp Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor v displaystyle vec v nbsp verschoben Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe Die Verknupfung ist die Hintereinanderausfuhrung der Drehungen Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe Von genugend kleinen Gruppen lasst sich die Verknupfungstafel aufschreiben e a b e e a b a a b e b b e a displaystyle begin matrix circ amp e amp a amp b hline hline e amp e amp a amp b hline a amp a amp b amp e hline b amp b amp e amp a hline end matrix nbsp Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale Diese Tafel ergibt sich beispielsweise wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet die das Dreieck in sich uberfuhren e displaystyle e nbsp ist die Drehung um 0 displaystyle 0 circ nbsp a displaystyle a nbsp ist die Drehung um 120 displaystyle 120 circ nbsp und b displaystyle b nbsp ist die Drehung um 240 displaystyle 240 circ nbsp Sind A B displaystyle A B nbsp abelsche Gruppen so wird A B a b a A b B displaystyle A times B a b a in A b in B nbsp zu einer abelschen Gruppe durch a b a b a a b b displaystyle a b a b a a b b nbsp Ist I displaystyle I nbsp eine Menge und A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe so ist A I f f I A displaystyle A I f f colon I to A nbsp eine Gruppe wenn definiert wird f g i f i g i displaystyle f g i f i g i nbsp Es heisst f i displaystyle f i nbsp die i displaystyle i nbsp te Komponente von f displaystyle f nbsp Oft wird f displaystyle f nbsp als Vektor geschrieben der Form a i displaystyle a i nbsp Dabei ist a i f i displaystyle a i f i nbsp Ist I N displaystyle I mathbb N nbsp so ist A N displaystyle A mathbb N nbsp die Menge der Folgen wobei die Folgenglieder Elemente aus A displaystyle A nbsp sind Ist I 1 n displaystyle I 1 dots n nbsp so ist Z n a 1 a n mit a i Z displaystyle mathbb Z n a 1 dots a n text mit a i in mathbb Z nbsp Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe Allgemeiner liefert jeder Korper K displaystyle K cdot nbsp in derselben Weise zwei abelsche Gruppen K displaystyle left K right nbsp und K 0 displaystyle K setminus 0 cdot nbsp Hingegen ist die Gruppe G L n K displaystyle mathrm GL n K cdot nbsp der invertierbaren n n displaystyle n times n nbsp Matrizen uber einem Korper K displaystyle K nbsp fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp ein Beispiel fur eine nichtabelsche Gruppe Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist ubrigens die symmetrische Gruppe S3 mit sechs Elementen Untergruppen BearbeitenEine nicht leere Teilmenge U displaystyle U nbsp der abelschen Gruppe A displaystyle A nbsp heisst Untergruppe wenn sie bezuglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist Dies ist genau dann der Fall wenn fur alle a b U displaystyle a b in U nbsp gilt a b U displaystyle a b in U nbsp 2 In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewahlt U A displaystyle U hookrightarrow A nbsp Z displaystyle mathbb Z nbsp ist Untergruppe von Q displaystyle mathbb Q nbsp Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe Ist A displaystyle A nbsp eine Gruppe und n N displaystyle n in mathbb N nbsp so sind A n a a A a n 0 displaystyle A n a a in A a cdot n 0 nbsp und A n a n a A displaystyle A cdot n a cdot n a in A nbsp Untergruppen von A displaystyle A nbsp 3 Zum Beispiel ist 2 Z a 2 a Z Z 2 displaystyle 2 cdot mathbb Z a cdot 2 a in mathbb Z mathbb Z cdot 2 nbsp Menge der geraden Zahlen eine Untergruppe von Z displaystyle mathbb Z nbsp Jede Teilmenge U A displaystyle U subset A nbsp ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe die U displaystyle U nbsp enthalt Diese Untergruppe heisst die von U displaystyle U nbsp erzeugte Untergruppe von A displaystyle A nbsp Sie wird mit U displaystyle left langle U right rangle nbsp bezeichnet Sind U V displaystyle U V nbsp Untergruppen von A displaystyle A nbsp so ist die Menge U V u 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zyklisch Es wird A a Z displaystyle A a cdot mathbb Z nbsp geschrieben Jede Untergruppe von Z displaystyle mathbb Z nbsp ist zyklisch Das heisst beispielsweise Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von Z displaystyle mathbb Z nbsp ist wieder zyklisch Es gilt a Z b Z ggT a b Z displaystyle a cdot mathbb Z b cdot mathbb Z operatorname ggT a b cdot mathbb Z nbsp Dabei ist ggT a b displaystyle operatorname ggT a b nbsp der grosste gemeinsamer Teiler von a b displaystyle a b nbsp Zum Beispiel ist 6 Z 9 Z 3 Z displaystyle 6 cdot mathbb Z 9 cdot mathbb Z 3 cdot mathbb Z nbsp Sind a Z b Z displaystyle a cdot mathbb Z b cdot mathbb Z nbsp Untergruppen von Z displaystyle mathbb Z nbsp dann ist a Z b Z kgV a b Z displaystyle a cdot mathbb Z cap b cdot mathbb Z operatorname kgV a b cdot mathbb Z nbsp Dabei ist kgV a b displaystyle operatorname kgV a b nbsp das kleinste gemeinsame Vielfache von a b displaystyle a b nbsp Zum Beispiel 3 Z 5 Z 15 Z displaystyle 3 mathbb Z cap 5 mathbb Z 15 mathbb Z nbsp Q displaystyle mathbb Q nbsp ist nicht endlich erzeugt Genauer Ist U displaystyle U nbsp ein Erzeugendensystem von Q displaystyle mathbb Q nbsp und ist u U displaystyle u in U nbsp so ist auch noch U u displaystyle U setminus u nbsp ein Erzeugendensystem Einige Gruppen in Kunst und Natur nbsp Fra Giovanni da Verona malte dieses Bild als Intarsie in der Sacrestia die Santa Maria in Organo Es veranschaulicht eine zyklische Gruppe der Ordnung 8 samt einer Untergruppe der Ordnung 4 nbsp Der Entwurf von Bramante zum Petersdom Unter anderem ist es eine Drehgruppe der Ordnung 4 Tatsachlich ist mathematisch noch mehr darin versteckt Es ist ein Fraktal nbsp Die Blute zeigt die Symmetrie der Drehgruppe der Ordnung 5 Auch das entstehende Pentagramm ist deutlich zu erkennen Faktorgruppen BearbeitenIst U A displaystyle U hookrightarrow A nbsp eine Untergruppe so definiert a a a a U displaystyle a sim a iff a a in U nbsp eine Aquivalenzrelation Sind a a b b A displaystyle a a b b in A nbsp und sind a a b b displaystyle a sim a b sim b nbsp so ist a b a b displaystyle a b sim a b nbsp Die Aquivalenzrelation heisst vertraglich mit der Addition Sei A U a U a A displaystyle A U a U a in A nbsp Menge der Aquivalenzklassen Auf A U displaystyle A U nbsp wird eine Addition erklart a U b U a b U displaystyle a U b U colon a b U nbsp 4 Wollen wir tatsachlich in A U displaystyle A U nbsp rechnen so genugt es sich auf ein Reprasentantensystem von A U displaystyle A U nbsp zu beschranken Denn jede Aquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Aquivalenzklasse eindeutig bestimmt Es ist a a a U a U displaystyle a sim a iff a U a U nbsp Ist U Z displaystyle U hookrightarrow mathbb Z nbsp eine Untergruppe von Z displaystyle mathbb Z nbsp so ist U displaystyle U nbsp zyklisch Das heisst es gibt ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit U n Z displaystyle U n cdot mathbb Z nbsp Ist a U displaystyle a in U nbsp so gibt es einen positiven Reprasentanten in der Aquivalenzklasse von a 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displaystyle mathbb Z nbsp ist eine Untergruppe von R displaystyle mathbb R nbsp Ein Reprasentantensystem von R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp ist das rechts offene Einheitsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp In diesem Reprasentantesystem rechnet man folgendermassen a b mod 1 a b a b displaystyle a b bmod 1 a b a b nbsp Dabei ist x displaystyle x nbsp grosste ganze Zahl x displaystyle leq x nbsp Es ist daher fur a b 0 1 displaystyle a b in 0 1 nbsp a b mod 1 a b falls a b lt 1 a b 1 falls a b 1 displaystyle a b bmod 1 begin cases a b text falls a b lt 1 a b 1 text falls a b geq 1 end cases nbsp Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp von R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp kommen etwas weiter unten zur Sprache Homomorphismen BearbeitenDefinition Bearbeiten Sind A B displaystyle A B nbsp abelsche Gruppen so heisst eine Abbildung f A B displaystyle f colon A rightarrow B nbsp Homomorphismus wenn fur alle a b A displaystyle a b in A nbsp gilt f a b f a f b displaystyle f a b f a f b nbsp 6 Beispiele fur Homomorphismen Bearbeiten Die Identitat und die Nullabbildung A a 0 B displaystyle A ni a mapsto 0 in B nbsp sind stets Homomorphismen Zu jeder abelschen Gruppe A displaystyle A nbsp gibt es genau einen Morphismus 0 A displaystyle 0 to A nbsp Genauso gibt es genau einen Homomorphismus A 0 displaystyle A to 0 nbsp Ist U A displaystyle U hookrightarrow A nbsp eine Untergruppe von A displaystyle A nbsp so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus Die Abbildung 2 Z x 2 x Z displaystyle 2 colon mathbb Z ni x mapsto 2 cdot x in mathbb Z nbsp ist ein Homomorphismus Allgemein Ist a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp so ist die Multiplikation mit a displaystyle a nbsp also die Abbildung a Z x a x Z displaystyle a colon mathbb Z ni x mapsto a cdot x in mathbb Z nbsp ein Homomorphismus Dies ist aquivalent zum Distributivgesetz welches besagt Fur alle a b c Z displaystyle a b c in mathbb Z nbsp gilt a b c a b a c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c nbsp Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen Z Z displaystyle mathbb Z to mathbb Z nbsp das heisst Ist f Z Z displaystyle f colon mathbb Z to mathbb Z nbsp ein Homomorphismus so gibt es ein a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp mit f z a z displaystyle f z a cdot z nbsp fur alle z Z displaystyle z in mathbb Z nbsp Ist a Q displaystyle a in mathbb Q nbsp so ist die Abbildung Z x a x Q displaystyle mathbb Z ni x mapsto a x in mathbb Q nbsp ein Homomorphismus von der additiven Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp in die multiplikative Gruppe Q displaystyle mathbb Q nbsp Die naturliche Exponentialfunktion exp R x exp x e x R displaystyle exp colon mathbb R ni x mapsto exp x e x in mathbb R nbsp ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen Sie bildet die additive Gruppe R displaystyle mathbb R nbsp bijektiv in die multiplikative Gruppe R displaystyle mathbb R nbsp ab Die Umkehrabbildung ist der naturliche naturlicher Logarithmus Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus Die Klasse der abelschen Gruppen zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie Mathematik A displaystyle mathcal A nbsp Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen Bearbeiten Zu jeder Gruppe A displaystyle A nbsp und jedem a A displaystyle a in A nbsp gibt es genau einen Homomorphismus F a Z A displaystyle Phi a colon mathbb Z to A nbsp mit F a 1 a displaystyle Phi a 1 a nbsp Es ist dann F a 2 a a displaystyle Phi a 2 a a nbsp und F a 1 a 1 displaystyle Phi a 1 a 1 nbsp Allgemein istF a z a a a z m a l falls z 0 F a z falls z lt 0 displaystyle Phi a z left begin matrix underbrace a a ldots a z mathrm mal amp text falls amp z geq 0 Phi a z amp text falls amp z lt 0 end matrix right nbsp Es ist Z displaystyle mathbb Z nbsp eine freie abelsche Gruppe mit Basis 1 displaystyle 1 nbsp Es liegt nahe fur z Z displaystyle z in mathbb Z nbsp und a A displaystyle a in A nbsp zu definieren a z F a z displaystyle a cdot z Phi a z nbsp Es gilt dann a 0 0 displaystyle a cdot 0 0 nbsp Achtung Es kann verwirren dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen 0 displaystyle 0 nbsp verwendet wird Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in Z displaystyle mathbb Z nbsp Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in A displaystyle A nbsp Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit 0 displaystyle 0 nbsp geschrieben Fur alle a A displaystyle a in A nbsp ist a 1 a displaystyle a cdot 1 a nbsp Fur alle z 1 z 2 Z displaystyle z 1 z 2 in mathbb Z nbsp und alle a A displaystyle a in A nbsp ist a z 1 z 2 a z 1 z 2 displaystyle a cdot z 1 cdot z 2 a cdot z 1 cdot z 2 nbsp Fur alle a A displaystyle a in A nbsp und alle z 1 z 2 Z displaystyle z 1 z 2 in mathbb Z nbsp ist a z 1 z 2 a z 1 a z 2 displaystyle a cdot z 1 z 2 a cdot z 1 a cdot z 2 nbsp Fur alle a 1 a 2 A displaystyle a 1 a 2 in A nbsp und alle z Z displaystyle z in mathbb Z nbsp ist a 1 a 2 z a 1 z a 2 z displaystyle a 1 a 2 cdot z a 1 cdot z a 2 cdot z nbsp Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Ist f A B displaystyle f colon A to B nbsp ein Homomorphismus so ist fur alle a A z Z displaystyle a in A z in Z nbsp f a z f a z displaystyle f a cdot z f a cdot z nbsp Es lohnt sich die vorletzte Aussage fur eine Gruppe Q displaystyle Q cdot nbsp zu ubersetzen die multiplikativ geschrieben wird In diesem Falle ist das Neutralelement in Q displaystyle Q nbsp die 1 displaystyle 1 nbsp Zu jedem beliebigen q Q displaystyle q in Q nbsp gibt es genau einen Homomorphismus F q Z Q displaystyle Phi q colon mathbb Z to Q nbsp mit F q 1 q displaystyle Phi q 1 q nbsp Es ist F q 2 q q q 2 F q 1 q 1 displaystyle Phi q 2 q cdot q q 2 Phi q 1 q 1 nbsp Allgemein ist F q z q z displaystyle Phi q z q z nbsp Die obigen Gesetze besagen dann Fur alle q Q displaystyle q in Q nbsp ist q 0 1 displaystyle q 0 1 nbsp Fur alle q Q z 1 z 2 Z displaystyle q in Q z 1 z 2 in Z nbsp ist q z 1 z 2 q z 1 z 2 displaystyle q z 1 cdot z 2 q z 1 z 2 nbsp Fur alle q Q z 1 z 2 Z displaystyle q in Q z 1 z 2 in Z nbsp ist q z 1 z 2 q z 1 q z 2 displaystyle q z 1 z 2 q z 1 cdot q z 2 nbsp Fur alle q 1 q 2 Q z Z displaystyle q 1 q 2 in Q z in Z nbsp ist q 1 q 2 z q 1 z q 2 z displaystyle q 1 cdot q 2 z q 1 z cdot q 2 z nbsp Wird fur Q displaystyle Q nbsp die Menge der rationalen oder reellen Zahlen 0 displaystyle neq 0 nbsp eingesetzt so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze fur das Rechnen mit Exponenten Eigenschaften von Homomorphismen Bearbeiten Ist a A B displaystyle alpha colon A to B nbsp ein Homomorphismus und sind U A displaystyle U hookrightarrow A nbsp beziehungsweise V B displaystyle V hookrightarrow B nbsp Untergruppen so sind a 1 V A displaystyle alpha 1 V hookrightarrow A nbsp und a U B displaystyle alpha U hookrightarrow B nbsp Untergruppen Insbesondere sind Kern a a a A a a 0 displaystyle operatorname Kern alpha a a in A alpha a 0 nbsp und a A Bild a a a a A displaystyle alpha A operatorname Bild alpha alpha a a in A nbsp Untergruppen Hieraus folgt Ist A displaystyle A nbsp eine Gruppe und n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl so ist A n a n a A displaystyle A cdot n a cdot n a in A nbsp und A n a a n 0 displaystyle A n a a cdot n 0 nbsp Untergruppen von A displaystyle A nbsp Dies gilt da die Multiplikation mit n displaystyle n nbsp ein Homomorphismus ist T A n N A n a a A es gibt n N mit a n 0 displaystyle T A sum limits n in mathbb N A n a a in A text es gibt n in mathbb N text mit a cdot n 0 nbsp ist Untergruppe von A displaystyle A nbsp Dies ist die Torsionsuntergruppe von A displaystyle A nbsp Ist T A 0 displaystyle T A 0 nbsp so heisst A displaystyle A nbsp torsionsfrei Fur jede Gruppe ist A T A displaystyle A T A nbsp torsionsfrei Die Torsionsuntergruppe von R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp ist Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp Ist f A B displaystyle f colon A to B nbsp ein Homomorphismus und ist Kern f displaystyle operatorname Kern f nbsp von n displaystyle n nbsp Elementen erzeugt und ist Bild f displaystyle operatorname Bild f nbsp von m displaystyle m nbsp Elementen erzeugt so ist A displaystyle A nbsp von n m displaystyle n m nbsp Elementen erzeugt Jede Untergruppe von Z n displaystyle mathbb Z n nbsp ist von maximal n displaystyle n nbsp Elementen erzeugt Injektive Homomorphismen Bearbeiten Ist a A B displaystyle alpha colon A to B nbsp ein bijektiver Homomorphismus so ist auch die Umkehrabbildung a 1 B A displaystyle alpha 1 colon B to A nbsp ein Homomorphismus In diesem Fall heisst a displaystyle alpha nbsp Isomorphismus Gibt es einen Isomorphismus zwischen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp so heissen A B displaystyle A B nbsp isomorph Ist a A B displaystyle alpha colon A to B nbsp ein Homomorphismus so sind folgende Aussagen aquivalent In diesem Fall heisst a displaystyle alpha nbsp Monomorphismus a displaystyle alpha nbsp ist als Abbildung injektiv Kern a 0 displaystyle operatorname Kern alpha 0 nbsp Fur alle abelschen Gruppen C displaystyle C nbsp und alle Homomorphismen f g C A displaystyle f g colon C to A nbsp mit a f a g displaystyle alpha circ f alpha circ g nbsp ist f g displaystyle f g nbsp Es ist a displaystyle alpha nbsp links kurzbar Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus Das heisst genauer Sind a A B b B C displaystyle alpha colon A to B beta colon B to C nbsp Monomorphismen so ist b a A C displaystyle beta circ alpha colon A to C nbsp ein Monomorphismus Surjektive Homomorphismen Bearbeiten Ist a A B displaystyle alpha colon A to B nbsp ein Homomorphismus so sind die folgenden Aussagen aquivalent Dann heisst a displaystyle alpha nbsp Epimorphismus a displaystyle alpha nbsp ist als Abbildung surjektiv B a A 0 displaystyle B alpha A 0 nbsp Fur alle Gruppen C displaystyle C nbsp und alle f g B C displaystyle f g colon B to C nbsp gilt Ist f a g a displaystyle f alpha g alpha nbsp so ist f g displaystyle f g nbsp Es ist a displaystyle alpha nbsp auf der rechten Seite kurzbar Ist U A displaystyle U hookrightarrow A nbsp eine Untergruppe so ist die Abbildung p U A a a U A U displaystyle pi U colon A ni a mapsto a U in A U nbsp ein Epimorphismus Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus Das heisst genauer Sind f A B displaystyle f colon A to B nbsp und g B C displaystyle g colon B to C nbsp Epimorphismen so ist g f displaystyle g circ f nbsp ein Epimorphismus Er heisst kanonischer Epimorphismus Sind f A B displaystyle f colon A to B nbsp und g B C displaystyle g colon B to C nbsp Homomorphismen und ist g f displaystyle g circ f nbsp ein Epimorphismus so ist g displaystyle g nbsp ein Epimorphismus Isomorphismus Isomorphiesatze Bearbeiten Ein bijektiver Homomorphismus f A B displaystyle f colon A rightarrow B nbsp heisst Isomorphismus Dies ist genau dann der Fall wenn er monomorph und epimorph ist Es gelten die folgenden Satze Homomorphiesatz Sei a A B displaystyle alpha colon A rightarrow B nbsp ein Homomorphismus p A A Kern a displaystyle pi colon A rightarrow A operatorname Kern alpha nbsp der kanonische Epimorphismus Dann ist a A Kern a p a a a B displaystyle alpha colon A operatorname Kern alpha ni pi a mapsto alpha a in B nbsp ein Monomorphismus mit a p a displaystyle alpha circ pi alpha nbsp Insbesondere ist A Kern a a A displaystyle A operatorname Kern alpha cong alpha A nbsp 7 Es ist folgendes Diagramm kommutativ nbsp HomomorphiesatzDer Homomorphiesatz gilt allgemein fur Gruppen Erster Isomorphiesatz Seien B C displaystyle B C nbsp Untergruppen von A displaystyle A nbsp Dann gilt B C C B B C displaystyle B C C cong B B cap C nbsp 8 Zweiter Isomorphiesatz Seien C B A displaystyle C hookrightarrow B hookrightarrow A nbsp Untergruppen Dann gilt A B A C B C displaystyle A B cong A C B C nbsp 9 Der Funktor Hom A Bearbeiten Sind A B displaystyle A B nbsp Gruppen so ist die Menge Hom A B f f A B f ist Homomorphismus displaystyle operatorname Hom A B f f colon A to B f text ist Homomorphismus nbsp eine Gruppe Die Addition ist erklart durch f g a f a g a displaystyle f g a f a g a nbsp Es ist Hom Q A 0 displaystyle operatorname Hom mathbb Q A 0 nbsp fur jede endlich erzeugte Gruppe A displaystyle A nbsp Ist der grosste gemeinsame Teiler zwei Zahlen a b displaystyle a b nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp so ist Hom Z a Z Z b Z 0 displaystyle operatorname Hom mathbb Z a mathbb Z mathbb Z b mathbb Z 0 nbsp Fur alle abelschen Gruppen A displaystyle A nbsp ist A Hom Z A displaystyle A cong operatorname Hom mathbb Z A nbsp Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus Genauer wird dies weiter unten ausgefuhrt Ist f B C displaystyle f colon B to C nbsp ein Homomorphismus so ist die Zuordnung Hom A f Hom A B a f a Hom A C displaystyle operatorname Hom A f colon operatorname Hom A B ni alpha mapsto f circ alpha in operatorname Hom A C nbsp ein Homomorphismus Fur f B C g C D displaystyle f colon B to C g colon C to D nbsp gilt Hom A g f Hom A g Hom A f displaystyle operatorname Hom A g circ f operatorname Hom A g circ operatorname Hom A f nbsp Ist 1 B displaystyle 1 B nbsp die Identitat auf B displaystyle B nbsp so ist Hom A 1 B displaystyle operatorname Hom A 1 B nbsp die Identitat auf Hom A B displaystyle operatorname Hom A B nbsp Ist f B C displaystyle f colon B to C nbsp ein Isomorphismus so ist Hom A f Hom A B Hom A C displaystyle operatorname Hom A f colon operatorname Hom A B to operatorname Hom A C nbsp ein Isomorphismus Wird Jeder abelschen Gruppe B displaystyle B nbsp die abelsche Gruppe Hom A B displaystyle operatorname Hom A B nbsp und jedem Homomorphismus f A B displaystyle f colon A to B nbsp der Homomorphismus Hom A f displaystyle operatorname Hom A f nbsp zugeordnet so erhalt man den Funktor Hom A displaystyle operatorname Hom A nbsp von der Kategorie der abelschen Gruppen A displaystyle cal A nbsp in die Kategorie A displaystyle cal A nbsp Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von Z displaystyle mathbb Z nbsp Da es zu jedem a A displaystyle a in A nbsp einen eindeutig bestimmten Homomorphismus F a Z A displaystyle Phi a colon mathbb Z to A nbsp mit F a 1 a displaystyle Phi a 1 a nbsp gibt ist die Zuordnung F A A a F a Hom Z A displaystyle Phi A colon A ni a mapsto Phi a in operatorname Hom mathbb Z A nbsp eine Funktion Es gilt genauer Die Familie der Abbildungen F A A abelsche Gruppe displaystyle Phi A A text abelsche Gruppe nbsp hat die folgende Eigenschaft Fur alle A B A displaystyle A B in cal A nbsp und alle Homomorphismen f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist F B f Hom Z f F A displaystyle Phi B circ f operatorname Hom mathbb Z f circ Phi A nbsp Ausserdem ist fur alle A A displaystyle A in cal A nbsp die Abbildung F A displaystyle Phi A nbsp ein Isomorphismus Die Umkehrabbildung ist PS A Hom Z A a a 1 A displaystyle Psi A colon operatorname Hom mathbb Z A ni alpha to alpha 1 in A nbsp Das heisst folgendes Diagramm ist kommutativ fur alle A B A displaystyle A B in cal A nbsp und alle f A B displaystyle f colon A to B nbsp mit Isomorphismen F A F B displaystyle Phi A Phi B nbsp nbsp Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom Z A Das heisst unter anderem f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann wenn Hom Z f displaystyle operatorname Hom mathbb Z f nbsp dies ist Hom G und exakte Folgen Ist 0 A a B b C displaystyle 0 to A overset alpha longrightarrow B overset beta longrightarrow C nbsp eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen so ist fur jede Gruppe G displaystyle G nbsp die induzierte Folge 0 Hom G A a Hom G B b Hom G C displaystyle 0 to operatorname Hom G A overset alpha longrightarrow operatorname Hom G B overset beta longrightarrow operatorname Hom G C nbsp exakt 10 Dabei ist a Hom G a displaystyle alpha operatorname Hom G alpha nbsp Der Funktor Hom G displaystyle operatorname Hom G nbsp heisst links exakt Ist b displaystyle beta nbsp ein Epimorphismus so ist normalerweise Hom G b displaystyle operatorname Hom G beta nbsp kein Epimorphismus Fur End A Hom A A displaystyle operatorname End A operatorname Hom A A nbsp gelten die folgenden Gesetze Fur alle f g h End A displaystyle f g h in operatorname End A nbsp ist f g h f g f h displaystyle f circ g h f circ g f circ h nbsp und f g h f h g h displaystyle f g circ h f circ h g circ h nbsp Fur alle f End A displaystyle f in operatorname End A nbsp ist 1 A f f displaystyle 1 A circ f f nbsp und f 1 A f displaystyle f circ 1 A f nbsp Fur alle f g h End A displaystyle f g h in operatorname End A nbsp ist f g h f g h displaystyle f circ g circ h f circ g circ h nbsp End A displaystyle operatorname End A nbsp ist ein unitarer Ring Verallgemeinerungen Weiterfuhrendes BearbeitenDie Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia Meist nicht Jeder Modul ist ein Modul uber dem Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp siehe oben Wird Z displaystyle mathbb Z nbsp durch einen beliebigen Ring R displaystyle R nbsp ersetzt erhalten wir einen R displaystyle R nbsp Modul Satze uber abelsche Gruppen konnen so oft auf Moduln uber Hauptidealbereichen ubertragen werden Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen siehe unten Torsionsgruppen Ein a A displaystyle a in A nbsp heisst Torsionselement wenn es eine naturliche Zahl gibt so dass a n 0 displaystyle a cdot n 0 nbsp Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe A displaystyle A nbsp bilden eine Untergruppe Beispielsweise ist Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp die Torsionsuntergruppe von R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp Direkte Summen abelscher Gruppen Fur den Fall zweier Untergruppen U V A displaystyle U V hookrightarrow A nbsp sei der Begriff hier erklart Ist A U V displaystyle A U V img
