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Drehstreckung Eine ist eine Ähnlichkeitsabbildung die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen Drehung

Drehstreckung

Eine Drehstreckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen Drehung und Streckung darstellen lässt.

Im 2D-Raum (Ebene) ist sie durch 2 Transformationsparameter charakterisiert, bei zusätzlicher Parallelverschiebung durch 4 Parameter.
Im hier nicht behandelten 3D-Fall sind es 4 bzw. 7 Parameter, siehe 7-Parameter-Transformation.

Euklidische Ebene Bearbeiten

Zentrum im Ursprung Bearbeiten

Jede Drehstreckung (mit Ausnahme der Identität) hat genau einen Fixpunkt, auch Zentrum genannt. Liegt dieser Fixpunkt im Koordinatenursprung, so lässt sich die Drehstreckung als Matrixmultiplikation schreiben:

Dabei ist der Skalierungsfaktor und der Drehwinkel.

In der komplexen Ebene lässt sich die gleiche Abbildung als komplexe Multiplikation schreiben:

Zentrum beliebig Bearbeiten

Liegt der Fixpunkt der Drehstreckung außerhalb des Ursprungs, so muss man entweder noch eine Translation der Koordinaten vornehmen, oder mit homogenen Koordinaten rechnen:

Die Koordinaten beschreiben dabei eine abschließende Verschiebung. Der Fixpunkt der Abbildung lässt sich daraus durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ermitteln.

Auch die allgemeine Form einer Drehstreckung mit beliebigem Zentrum kann man in der komplexen Ebene ausdrücken:

In dieser Form findet sich die Position des Zentrums als Lösung der Fixpunktgleichung besonders einfach:

Für und beschreiben die Formeln eine Parallelverschiebung, die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich (bzw. ), stellen die Formeln die identische Abbildung dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1.

Ein wichtiger Satz Bearbeiten

Zwei gleichsinnig ähnliche Figuren (das sind ähnliche Figuren mit gleicher Orientierung) in der euklidischen Ebene entstehen entweder durch eine Verschiebung oder eine Drehstreckung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Coxeter & Greitzer: Zeitlose Geometrie. 1. Auflage. Ernst Klett, Stuttgart 1983, S. 101.
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Eine Drehstreckung ist eine Ahnlichkeitsabbildung die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen Drehung und Streckung darstellen lasst Im 2D Raum Ebene ist sie durch 2 Transformationsparameter charakterisiert bei zusatzlicher Parallelverschiebung durch 4 Parameter Im hier nicht behandelten 3D Fall sind es 4 bzw 7 Parameter siehe 7 Parameter Transformation Inhaltsverzeichnis 1 Euklidische Ebene 1 1 Zentrum im Ursprung 1 2 Zentrum beliebig 1 3 Ein wichtiger Satz 2 Siehe auch 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEuklidische Ebene BearbeitenZentrum im Ursprung Bearbeiten Jede Drehstreckung mit Ausnahme der Identitat hat genau einen Fixpunkt auch Zentrum genannt Liegt dieser Fixpunkt im Koordinatenursprung so lasst sich die Drehstreckung als Matrixmultiplikation schreiben x y r cos ϕ r sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ x y r cos ϕ x r sin ϕ y r sin ϕ x r cos ϕ y displaystyle left begin matrix x y end matrix right mapsto left begin matrix r cos phi amp r sin phi r sin phi amp r cos phi end matrix right cdot left begin matrix x y end matrix right left begin matrix r cos phi cdot x r sin phi cdot y r sin phi cdot x r cos phi cdot y end matrix right nbsp Dabei ist r 0 displaystyle r neq 0 nbsp der Skalierungsfaktor und ϕ displaystyle phi nbsp der Drehwinkel In der komplexen Ebene lasst sich die gleiche Abbildung als komplexe Multiplikation schreiben z r e i ϕ z mit z C r R 0 ϕ R displaystyle z mapsto re i phi cdot z qquad text mit z in mathbb C r in mathbb R setminus 0 phi in mathbb R nbsp Zentrum beliebig Bearbeiten Liegt der Fixpunkt der Drehstreckung ausserhalb des Ursprungs so muss man entweder noch eine Translation der Koordinaten vornehmen oder mit homogenen Koordinaten rechnen x y 1 r cos ϕ r sin ϕ t x r sin ϕ r cos ϕ t y 0 0 1 x y 1 r cos ϕ x r sin ϕ y t x r sin ϕ x r cos ϕ y t y 1 displaystyle left begin matrix x y 1 end matrix right mapsto left begin matrix r cos phi amp r sin phi amp t x r sin phi amp r cos phi amp t y 0 amp 0 amp 1 end matrix right cdot left begin matrix x y 1 end matrix right left begin matrix r cos phi cdot x r sin phi cdot y t x r sin phi cdot x r cos phi cdot y t y 1 end matrix right nbsp Die Koordinaten t x t y displaystyle t x t y nbsp beschreiben dabei eine abschliessende Verschiebung Der Fixpunkt der Abbildung lasst sich daraus durch Losen eines linearen Gleichungssystems ermitteln Auch die allgemeine Form einer Drehstreckung mit beliebigem Zentrum kann man in der komplexen Ebene ausdrucken z r e i ϕ z t mit z C r R 0 ϕ R t C displaystyle z mapsto re i phi cdot z t qquad text mit z in mathbb C r in mathbb R setminus 0 phi in mathbb R t in mathbb C nbsp In dieser Form findet sich die Position des Zentrums als Losung der Fixpunktgleichung besonders einfach z r e i ϕ z t z t 1 r e i ϕ displaystyle z re i phi cdot z t quad Rightarrow quad z frac t 1 re i phi nbsp Fur r 1 displaystyle r 1 nbsp und ϕ 0 mod 360 displaystyle phi 0 pmod 360 circ nbsp beschreiben die Formeln eine Parallelverschiebung die nicht zu den Drehstreckungen gezahlt wird da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lasst Ist allerdings zugleich t x t y 0 displaystyle t x t y 0 nbsp bzw t 0 displaystyle t 0 nbsp stellen die Formeln die identische Abbildung dar die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zahlt zusammensetzbar aus einer Drehung um 0 und einer Streckung mit dem Faktor 1 Ein wichtiger Satz Bearbeiten Zwei gleichsinnig ahnliche Figuren das sind ahnliche Figuren mit gleicher Orientierung in der euklidischen Ebene entstehen entweder durch eine Verschiebung oder eine Drehstreckung 1 Siehe auch BearbeitenDrehung Zentrische Streckung AhnlichkeitstransformationWeblinks BearbeitenInteraktive Demonstration einer DrehstreckungEinzelnachweise Bearbeiten Coxeter amp Greitzer Zeitlose Geometrie 1 Auflage Ernst Klett Stuttgart 1983 S 101 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Drehstreckung amp oldid 238239610