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Parallelverschiebung Die oder Translation ist eine geometrische Abbildung die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raum

Parallelverschiebung

Die Parallelverschiebung oder Translation ist eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe Strecke verschiebt. Sie kann durch einen Vektor, den sogenannten Verschiebungsvektor, gekennzeichnet werden.

Parallelverschiebung (Translation)
Die Hintereinanderausführung zweier Translationen ist wieder eine Translation.

Parallelverschiebungen gehören zu den Bewegungen, da bei ihrer Anwendung Längen und Winkel erhalten bleiben. Als Bewegungen werden sie – vor allem die Parallelverschiebungen in der Ebene – auch zu den Kongruenzabbildungen gezählt.

Der Begriff der Parallelverschiebung kann aus dem zwei- oder dreidimensionalen Anschauungsraum in den n-dimensionalen euklidischen Raum und noch weiter in die riemannsche Geometrie oder die affine Geometrie verallgemeinert werden.

Zweidimensionaler Anschauungsraum Bearbeiten

Parallelverschiebung eines Dreiecks
Parallelverschiebung als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen

Im zweidimensionalen (euklidischen) Raum ist eine Parallelverschiebung eine mathematische Funktion, die jeden Punkt des Raums um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung verschiebt. Eine Parallelverschiebung wird also durch eine affine lineare Funktion

beschrieben mit

Oder vektoriell:

Offensichtlich ist die Hintereinanderausführung zweier Parallelverschiebungen wieder eine Parallelverschiebung.

Eine Parallelverschiebung ist als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen g und h darstellbar.

Riemannsche Geometrie Bearbeiten

Paralleltransport eines Vektors entlang einer Kurve auf einer Kugeloberfläche.

In der riemannschen Geometrie wird der Begriff der Parallelverschiebung aus der euklidischen Geometrie auf gekrümmte Objekte wie zum Beispiel auf die Kugeloberfläche verallgemeinert. Mathematische präzise werden diese gekrümmten Objekte als riemannsche Mannigfaltigkeiten definiert. Vektoren an diesen Mannigfaltigkeiten können entlang von Kurven parallel verschoben werden. Präzise formuliert wurde diese Methode durch Tullio Levi-Civita. Heute wird sie meist als Paralleltransport aber auch als Parallelverschiebung bezeichnet.

Affine Geometrie Bearbeiten

In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie (synthetischen Geometrie) nennt man eine Kollineation eine Translation, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
  • Falls überhaupt ein Punkt verändert wird, hat die Abbildung keinen Fixpunkt.

( ist die Menge aller Punkte, die Menge aller Geraden, siehe Inzidenz). Diese Translationen können zum Beispiel in einer affinen Translationsebene als Ortsvektoren der Punkte verwendet werden.

Auch hier ist eine Translation stets eine Affinität im Sinne der synthetischen Geometrie. Die Fortsetzung einer Translation im projektiven Abschluss des affinen Raumes ist eine projektive Perspektivität und also eine Projektivität.

Siehe auch Bearbeiten

Bei der Definition des Begriffes Parallelverschiebung oder Translation werden in verschiedenen Gebieten der Geometrie und der linearen Algebra unterschiedliche Akzente gesetzt, wobei die verallgemeinerte Definition überall gültig ist. Siehe

Literatur Bearbeiten

Parallelverschiebung in der linearen Algebra und der ebenen und räumlichen Geometrie:

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

Translation in der synthetischen Geometris:

  • Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
  • Günter Pickert: Ebene Inzidenzgeometrie. 2. Auflage, Frankfurt am Main 1968

Weblinks Bearbeiten

Commons: Parallelverschiebung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Degen (1976)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Parallelverschiebung oder Translation ist eine geometrische Abbildung die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe Strecke verschiebt Sie kann durch einen Vektor den sogenannten Verschiebungsvektor gekennzeichnet werden Parallelverschiebung Translation Die Hintereinanderausfuhrung zweier Translationen ist wieder eine Translation Parallelverschiebungen gehoren zu den Bewegungen da bei ihrer Anwendung Langen und Winkel erhalten bleiben Als Bewegungen werden sie vor allem die Parallelverschiebungen in der Ebene auch zu den Kongruenzabbildungen gezahlt Der Begriff der Parallelverschiebung kann aus dem zwei oder dreidimensionalen Anschauungsraum in den n dimensionalen euklidischen Raum und noch weiter in die riemannsche Geometrie oder die affine Geometrie verallgemeinert werden Inhaltsverzeichnis 1 Zweidimensionaler Anschauungsraum 2 Riemannsche Geometrie 3 Affine Geometrie 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseZweidimensionaler Anschauungsraum Bearbeiten nbsp Parallelverschiebung eines Dreiecks nbsp Parallelverschiebung als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen AchsenIm zweidimensionalen euklidischen Raum R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp ist eine Parallelverschiebung eine mathematische Funktion die jeden Punkt des Raums um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung verschiebt Eine Parallelverschiebung wird also durch eine affine lineare Funktion t R 2 R 2 displaystyle tau colon mathbb R 2 to mathbb R 2 nbsp beschrieben mit x y x a y b displaystyle x y to x a y b quad nbsp wobei a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp fest gewahlt sind Oder vektoriell x x v displaystyle vec x to vec x vec v quad nbsp mit v a b displaystyle vec v a choose b nbsp Offensichtlich ist die Hintereinanderausfuhrung zweier Parallelverschiebungen wieder eine Parallelverschiebung Eine Parallelverschiebung ist als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen g und h darstellbar Riemannsche Geometrie Bearbeiten nbsp Paralleltransport eines Vektors entlang einer Kurve auf einer Kugeloberflache Hauptartikel Paralleltransport In der riemannschen Geometrie wird der Begriff der Parallelverschiebung aus der euklidischen Geometrie auf gekrummte Objekte wie zum Beispiel auf die Kugeloberflache verallgemeinert Mathematische prazise werden diese gekrummten Objekte als riemannsche Mannigfaltigkeiten definiert Vektoren an diesen Mannigfaltigkeiten konnen entlang von Kurven parallel verschoben werden Prazise formuliert wurde diese Methode durch Tullio Levi Civita Heute wird sie meist als Paralleltransport aber auch als Parallelverschiebung bezeichnet Affine Geometrie BearbeitenIn der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie synthetischen Geometrie nennt man eine Kollineation a displaystyle mathcal alpha nbsp eine Translation wenn die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet Falls uberhaupt ein Punkt verandert wird hat die Abbildung keinen Fixpunkt T1 g G a g g displaystyle forall g in mathcal G colon alpha g parallel g nbsp dd T2 P P a i d a P P displaystyle forall P in mathcal P colon alpha neq mathrm id Rightarrow alpha P neq P nbsp dd P displaystyle mathcal P nbsp ist die Menge aller Punkte G displaystyle mathcal G nbsp die Menge aller Geraden siehe Inzidenz Diese Translationen konnen zum Beispiel in einer affinen Translationsebene als Ortsvektoren der Punkte verwendet werden 1 Auch hier ist eine Translation stets eine Affinitat im Sinne der synthetischen Geometrie Die Fortsetzung einer Translation im projektiven Abschluss des affinen Raumes ist eine projektive Perspektivitat und also eine Projektivitat Siehe auch BearbeitenBei der Definition des Begriffes Parallelverschiebung oder Translation werden in verschiedenen Gebieten der Geometrie und der linearen Algebra unterschiedliche Akzente gesetzt wobei die verallgemeinerte Definition uberall gultig ist Siehe zum Begriff der Parallelverschiebung in der elementaren Geometrie der Zeichenebene Kongruenzabbildung zum Begriff der Parallelverschiebung im dreidimensionalen Anschauungsraum Bewegung Mathematik zum Begriff der Translation in der synthetischen Geometrie Affine Translationsebene zur linearen Bewegung in der Physik Translation Physik Literatur BearbeitenParallelverschiebung in der linearen Algebra und der ebenen und raumlichen Geometrie Uwe Storch Hartmut Wiebe Lehrbuch der Mathematik Band II Lineare Algebra BI Wissenschafts Verlag 1990 ISBN 3 411 14101 8Translation in der synthetischen Geometris Wendelin Degen und Lothar Profke Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie Teubner Stuttgart 1976 ISBN 3 519 02751 8 Gunter Pickert Ebene Inzidenzgeometrie 2 Auflage Frankfurt am Main 1968Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Parallelverschiebung Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Verschiebung und Bandornamente Materialien zum selbstandigen Arbeiten fur SchulerEinzelnachweise Bearbeiten Degen 1976 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Parallelverschiebung amp oldid 231415393