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Fixpunkt Mathematik In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt der durch eine gegebene Abbildung au

Fixpunkt (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird. Ein Beispiel: Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind die Punkte der Spiegelachse. Eine Punktspiegelung hat nur einen Fixpunkt, nämlich deren Zentrum.

Darstellung eines Fixpunktes. Dieser ist – nach den im Text wiedergegebenen Kriterien – anziehend, das heißt stabil.

Definition Bearbeiten

Sei eine Menge und eine Funktion. Dann heißt ein Punkt Fixpunkt, falls er die Gleichung erfüllt.

Anmerkungen Bearbeiten

  • Ist eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum , dann nennt man die Fixpunkte von auch Fixvektoren. Da jede lineare Abbildung den Nullvektor auf sich selbst abbildet, ist der Nullvektor immer ein Fixvektor. Wenn es neben dem Nullvektor noch weitere Fixvektoren gibt, so sind diese Eigenvektoren von bezüglich des Eigenwerts 1.
  • Für eine nichtlineare Abbildung ist die dazugehörige Fixpunktgleichung ein Beispiel für eine nichtlineare Gleichung.
  • Jede Fixpunktgleichung lässt sich in eine Nullstellengleichung umschreiben, indem man beispielsweise setzt. Ebenso lässt sich jede Nullstellengleichung in eine Fixpunktgleichung überführen, indem man z. B. setzt. So lassen sich zumindest theoretisch Verfahren zum Lösen einer der beiden Gleichungsformen auch für die jeweils andere verwenden.

Fixpunkte in der Numerik Bearbeiten

Darüber hinaus gilt folgendes: Der Fixpunkt ist stabil bzw. instabil, wenn , der Betrag der Ableitung der betrachteten Funktion, im Schnittpunkt bzw. ist. Dies bedeutet, dass man die Funktion auf den Punkt selbst anwenden kann, ohne ihn zu verändern, wobei eine Störung wenig (bzw. viel) ändert, indem sie zum Fixpunkt hinführt (bzw. vom Fixpunkt wegführt).

Mit dem Fixpunktproblem verwandt ist das Problem der „iterierten Abbildungen“, das in der Numerik und der Chaosforschung wichtig ist. Mit einem vorgegebenen Anfangswert beginnend, springt man hier nach dem Schema treppenartig zwischen der Funktion und der Diagonale hin und her, und zwar zum Fixpunkt hin oder weg von ihm, je nachdem ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist. Einzelheiten sind u. a. dem unten angegebenen Buch von H.G. Schuster zu entnehmen.

Beispiele Bearbeiten

Raum mit Fixpunkteigenschaft Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein topologischer Raum besitzt die Fixpunkteigenschaft, falls jede stetige Abbildung einen Fixpunkt hat.

Beispiele Bearbeiten

Fixpunktsätze Bearbeiten

Die Existenz von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Sätze. Der Banach'sche Fixpunktsatz besagt, dass eine Kontraktion eines vollständigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt. Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer, der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im oder im .

Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunkt-Iteration im betrachteten Raum. Dieser Satz ergibt somit ein konkretes numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Vasile I. Instrăţescu: Fixed Point Theory. An Introduction (= Mathematics and its Applications. Bd. 7). D. Reidel, Dordrecht u. a. 1981, ISBN 90-277-1224-7.
  • Yuri A. Shashkin: Fixed Points. 1. Auflage. American Mathematical Society, 1991, ISBN 0-8218-9000-X (com.gi).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Heinz Georg Schuster: Deterministisches Chaos. Eine Einführung. VCH, Weinheim u. a. 1994, ISBN 3-527-29089-3.
  2. Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Vektoranalysis. Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1016-8, S. 36.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird Ein Beispiel Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind die Punkte der Spiegelachse Eine Punktspiegelung hat nur einen Fixpunkt namlich deren Zentrum Darstellung eines Fixpunktes Dieser ist nach den im Text wiedergegebenen Kriterien anziehend das heisst stabil Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anmerkungen 3 Fixpunkte in der Numerik 4 Beispiele 5 Raum mit Fixpunkteigenschaft 5 1 Definition 5 2 Beispiele 6 Fixpunktsatze 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine Menge und f X X displaystyle f colon X to X nbsp eine Funktion Dann heisst ein Punkt x X displaystyle x in X nbsp Fixpunkt falls er die Gleichung f x x displaystyle f x x nbsp erfullt Anmerkungen BearbeitenIst f X X displaystyle f colon X to X nbsp eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum X displaystyle X nbsp dann nennt man die Fixpunkte von f displaystyle f nbsp auch Fixvektoren Da jede lineare Abbildung den Nullvektor auf sich selbst abbildet ist der Nullvektor immer ein Fixvektor Wenn es neben dem Nullvektor noch weitere Fixvektoren gibt so sind diese Eigenvektoren von f displaystyle f nbsp bezuglich des Eigenwerts 1 Fur eine nichtlineare Abbildung ist die dazugehorige Fixpunktgleichung ein Beispiel fur eine nichtlineare Gleichung Jede Fixpunktgleichung f x x displaystyle f x x nbsp lasst sich in eine Nullstellengleichung g x 0 displaystyle g x 0 nbsp umschreiben indem man beispielsweise g x f x x displaystyle g x f x x nbsp setzt Ebenso lasst sich jede Nullstellengleichung g x 0 displaystyle g x 0 nbsp in eine Fixpunktgleichung f x x displaystyle f x x nbsp uberfuhren indem man z B f x x g x displaystyle f x x g x nbsp setzt So lassen sich zumindest theoretisch Verfahren zum Losen einer der beiden Gleichungsformen auch fur die jeweils andere verwenden Fixpunkte in der Numerik BearbeitenDaruber hinaus gilt folgendes Der Fixpunkt ist stabil bzw instabil wenn f x displaystyle left f x right nbsp der Betrag der Ableitung der betrachteten Funktion im Schnittpunkt lt 1 displaystyle lt 1 nbsp bzw gt 1 displaystyle gt 1 nbsp ist Dies bedeutet dass man die Funktion auf den Punkt selbst anwenden kann ohne ihn zu verandern wobei eine Storung wenig bzw viel andert indem sie zum Fixpunkt hinfuhrt bzw vom Fixpunkt wegfuhrt Mit dem Fixpunktproblem verwandt ist das Problem der iterierten Abbildungen das in der Numerik und der Chaosforschung wichtig ist Mit einem vorgegebenen Anfangswert x 1 displaystyle x 1 nbsp beginnend springt man hier nach dem Schema x n 1 f x n displaystyle x n 1 f x n nbsp treppenartig zwischen der Funktion f x displaystyle f x nbsp und der Diagonale hin und her und zwar zum Fixpunkt hin oder weg von ihm je nachdem ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist Einzelheiten sind u a dem unten angegebenen Buch von H G Schuster 1 zu entnehmen Beispiele BearbeitenDie Parabelfunktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp die durch f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp gegeben ist hat die zwei Fixpunkte 0 stabil und 1 instabil Sei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum und Id V V displaystyle operatorname Id colon V to V nbsp die identische Abbildung also die Abbildung mit Id x x displaystyle operatorname Id x x nbsp dann sind alle x V displaystyle x in V nbsp Fixpunkte bzw Fixvektoren Sei S displaystyle mathcal S nbsp der Schwartz Raum und F S S displaystyle mathcal F colon mathcal S to mathcal S nbsp die kontinuierliche Fourier Transformation Fur die Dichtefunktion f x 1 2 p n e 1 2 x 2 displaystyle varphi x tfrac 1 sqrt 2 pi n cdot e tfrac 1 2 x 2 nbsp der n displaystyle n nbsp dimensionalen Normalverteilung gilt F f f displaystyle mathcal F varphi varphi nbsp Daher ist die Dichtefunktion der Normalverteilung ein Fixpunkt der Fourier Transformation Das Newton Verfahren x n 1 x n f x n f x n displaystyle x n 1 x n tfrac f x n f x n nbsp entspricht der Fixpunktgleichung g x x f x f x displaystyle g x x tfrac f x f x nbsp Raum mit Fixpunkteigenschaft BearbeitenDefinition Bearbeiten Ein topologischer Raum X displaystyle X nbsp besitzt die Fixpunkteigenschaft falls jede stetige Abbildung f X X displaystyle f colon X to X nbsp einen Fixpunkt hat 2 Beispiele Bearbeiten Die Sphare S n displaystyle S n nbsp besitzt die Fixpunkteigenschaft nicht denn die Punktspiegelung am Mittelpunkt hat keinen Fixpunkt Eine Vollkugel D n displaystyle D n nbsp hat die Fixpunkteigenschaft Dies besagt der Fixpunktsatz von Brouwer Fixpunktsatze Bearbeiten Hauptartikel Fixpunktsatz Die Existenz von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Satze Der Banach sche Fixpunktsatz besagt dass eine Kontraktion eines vollstandigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsatze zeigen dann nur die Existenz Dabei stellen sie meist starkere Voraussetzungen an den Raum auf dem die Funktion definiert ist Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten konvexen Teilmenge eines Banachraums Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer der besagt dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt Im Gegensatz zu den beiden anderen Satzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Raumen also im R n displaystyle mathbb R n nbsp oder im C n displaystyle mathbb C n nbsp Der Fixpunktsatz von Banach liefert ausserdem die Konvergenz und eine Fehlerabschatzung der Fixpunkt Iteration x n 1 f x n displaystyle x n 1 f x n nbsp im betrachteten Raum Dieser Satz ergibt somit ein konkretes numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten Siehe auch BearbeitenFixgerade Fixpunktgerade Autonome Differentialgleichung fur Fixpunkte in der qualitativen Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen Hyperbolischer FixpunktLiteratur BearbeitenVasile I Instrăţescu Fixed Point Theory An Introduction Mathematics and its Applications Bd 7 D Reidel Dordrecht u a 1981 ISBN 90 277 1224 7 Yuri A Shashkin Fixed Points 1 Auflage American Mathematical Society 1991 ISBN 0 8218 9000 X com gi Einzelnachweise Bearbeiten Heinz Georg Schuster Deterministisches Chaos Eine Einfuhrung VCH Weinheim u a 1994 ISBN 3 527 29089 3 Ilka Agricola Thomas Friedrich Vektoranalysis Differentialformen in Analysis Geometrie und Physik 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 1016 8 S 36 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fixpunkt Mathematik amp oldid 227586102