Unter einer Sphäre (wie althochdeutsch spera von griechisch sphaira „Ball, Kugel, Himmelskugel“) versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen. Von erheblicher Bedeutung für viele Untersuchungen ist hierbei die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen euklidischen Raum. Allgemeiner wird, insbesondere in Topologie und Differentialgeometrie, auch jeder zur Kugeloberfläche homöomorphe topologische Raum als Sphäre bezeichnet, siehe Topologische Sphäre.
Definition Bearbeiten
Einheitssphäre Bearbeiten
Die Einheitssphäre ist die Menge der Punkte im -dimensionalen euklidischen Raum mit Abstand eins vom Ursprung. Sie ist definiert als
wobei die euklidische Norm ist. Die Einheitssphäre kann als Rand der Einheitskugel aufgefasst werden und wird daher auch mit bezeichnet.
Allgemeine Sphären Bearbeiten
Ist nun ein beliebiger Punkt im -dimensionalen Raum, dann ist die -Sphäre mit Radius um diesen Punkt definiert durch
Jede Sphäre entsteht aus der zugehörigen Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor und Translation um den Vektor .
Beispiele Bearbeiten
Der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel des lässt sich jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre als Randmannigfaltigkeit zuordnen:
- Die 1-Kugel ist das Intervall [−1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre nur aus den beiden Punkten +1 und −1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.
- Die 2-Kugel ist die Kreisscheibe mit Radius 1 in der Ebene. Die 1-Sphäre ist die Einheitskreislinie, also der Rand des Einheitskreises. Die Einheitskreislinie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Sie lässt sich durch komplexe Zahlen vom Betrag 1 beschreiben und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, die Kreisgruppe.
- Die 3-Kugel ist die Vollkugel im dreidimensionalen Raum. Die 2-Sphäre ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.
- Die 4-Kugel ist die Vollkugel im vierdimensionalen Raum. Die 3-Sphäre ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum . Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade entspricht.
Inhalt und Volumen Bearbeiten
Der Flächeninhalt beziehungsweise das Volumen einer beliebigen (n−1)-Sphäre vom Radius im euklidischen Raum lässt sich mit der Formel
berechnen, wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel und die Gammafunktion bezeichnen.
Die Sphäre in der Topologie und Geometrie Bearbeiten
In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie, wird der Begriff Sphäre in der Regel mit einer anderen (allgemeineren) Bedeutung verwendet: die n-dimensionale Sphäre ist die n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im ist.
Eine wie oben definierte Sphäre mit der von der euklidischen Metrik des induzierten riemannschen Metrik wird in der Differentialgeometrie als runde Sphäre bezeichnet.
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Sphären in normierten Räumen Bearbeiten
Allgemeiner lässt sich der Begriff der Sphäre in normierten Räumen fassen. Ist ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit zugehöriger Norm , dann ist die Normsphäre um den Vektor mit Radius definiert als die Menge
Die so entstehenden Sphären sind zwar punktsymmetrisch bezüglich , aber nicht mehr notwendigerweise rund (wie im Fall der euklidischen Norm), sondern können beispielsweise auch Ecken und Kanten besitzen (wie im Fall der Maximumsnorm und der Summennorm). Ist der Nullvektor und der Radius , so spricht man wieder von einer Einheitssphäre. Alle Normsphären entstehen aus der zugehörigen Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor und Translation um den Vektor . Die Einheitssphäre ist wiederum der Rand der zugehörigen Einheitskugel.
Sphären in metrischen Räumen Bearbeiten
Noch weiter lassen sich Sphären in metrischen Räumen fassen. Ist eine beliebige Menge mit einer Metrik , dann ist die metrische Sphäre um den Punkt mit Radius definiert als die Menge
Im Gegensatz zu Sphären in normierten Räumen sind metrische Sphären im Allgemeinen nicht translationsinvariant und dementsprechend hat die metrische Einheitssphäre keine besondere Bedeutung mehr. In bestimmten metrischen Räumen kann die Einheitssphäre sogar leer sein. Weiterhin kann eine metrische Sphäre im Allgemeinen nicht mehr als der Rand der zugehörigen metrischen Kugel angesehen werden.
Literatur Bearbeiten
- I. S. Sharadze: Sphere. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Friedrich Kluge, Alfred Götze: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 20. Auflage. Hrsg. von Walther Mitzka. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 724.
- Wolfgang Walter: Analysis 2. Springer, 2002, S. 17.
- Rolf Walter: Einführung in die Analysis I. de Gruyter, 2007, S. 272.