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Translationsinvariante Funktion Als translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet deren Wert sic

Translationsinvariante Funktion

Als translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, deren Wert sich unter einer Translation nicht ändert. Genauer heißt ein Funktional translationsinvariant, wenn sich der Wert des Funktionals nicht ändert, wenn die Funktion einer Translation mit Verschiebungsvektor unterzogen wird: .

Für translationsinvariante Funktionen ist . Dies gilt beispielsweise für das Lebesgue-Maß.
Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist translationsinvariant.

Beispielsweise ist jede konstante Funktion translationsinvariant. Ein anderes Beispiel ist das Lebesgue-Integral. Anschaulich bedeutet dessen Translationsinvarianz, dass sich der Wert eines Integrals nicht ändert, wenn der Definitionsbereich verschoben wird, genauso wie sich das Volumen eines Körpers nicht durch reine Verschiebung im Raum ändert.

Da eine Translation ein Spezialfall einer Bewegung ist, ist auch jede translationsinvariante Funktion eine bewegungsinvariante Funktion.

Allgemeine Definition: Translationsinvarianz in Gruppen Bearbeiten

Allgemeiner ist es möglich, Translationsinvarianz bei Gruppenoperationen zu definieren. Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert

für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt.

Für eine Gruppe G und X=G kann man durch

zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.

Beispielsweise ist die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe der Raum der linksinvarianten Vektorfelder. Ein Haar-Maß auf einer topologischen Gruppe ist ebenfalls translationsinvariant. Das Petersson-Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.

Sonstiges Bearbeiten

Translationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion, die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die Mittel- bzw. Skalenwerte verändern sich.

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.
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Als translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet deren Wert sich unter einer Translation nicht andert Genauer heisst ein Funktional F f R displaystyle F f to mathbb R translationsinvariant wenn sich der Wert des Funktionals nicht andert wenn die Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R einer Translation mit Verschiebungsvektor a R n displaystyle a in mathbb R n unterzogen wird T f x f x a displaystyle Tf x f x a Fur translationsinvariante Funktionen f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R ist f A f A t displaystyle f A f A t Dies gilt beispielsweise fur das Lebesgue Mass Die Kleiner Relation auf den reellen Zahlen ist translationsinvariant Beispielsweise ist jede konstante Funktion translationsinvariant Ein anderes Beispiel ist das Lebesgue Integral Anschaulich bedeutet dessen Translationsinvarianz dass sich der Wert eines Integrals nicht andert wenn der Definitionsbereich verschoben wird genauso wie sich das Volumen eines Korpers nicht durch reine Verschiebung im Raum andert Da eine Translation ein Spezialfall einer Bewegung ist ist auch jede translationsinvariante Funktion eine bewegungsinvariante Funktion Allgemeine Definition Translationsinvarianz in Gruppen BearbeitenAllgemeiner ist es moglich Translationsinvarianz bei Gruppenoperationen zu definieren Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G Dann induziert x g x displaystyle x to gx nbsp fur jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F X auf X Die G Invarianten in F X werden translationsinvariant genannt Fur eine Gruppe G und X G kann man durch h g h displaystyle h to gh nbsp und h h g 1 displaystyle h to hg 1 nbsp zwei G Raume definieren die zugehorige Translationsinvarianz wird Links bzw Rechtsinvarianz genannt Beispielsweise ist die Lie Algebra einer Lie Gruppe der Raum der linksinvarianten Vektorfelder Ein Haar Mass auf einer topologischen Gruppe ist ebenfalls translationsinvariant Das Petersson Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL 2 R invarianten Masses definiert Sonstiges BearbeitenTranslationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion die nur um additive oder subtraktive Komponenten verandert wird Hierbei werden die Gesetzmassigkeiten die mit der Funktion beschrieben werden nicht beruhrt Nur die Mittel bzw Skalenwerte verandern sich Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 3 Mass und Integrationstheorie Integralsatze im Rn und Anwendungen 8 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 16745 5 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Berlin 2004 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Translationsinvariante Funktion amp oldid 224060883