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Vektorfeld In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein eine Funktion die jedem Punkt eines R

Vektorfeld

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Das duale Konzept zu einem Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eine Linearform zuordnet, eine solche Abbildung wird pfaffsche Form genannt.

Darstellung eines Vektorfeldes anhand ausgewählter Punkte. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben
3-dimensionales Vektorfeld (-y,z,x)

Stetige Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie, zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen oder der Schwerkraft, zu beschreiben. Die Feldgrößen dieser Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen.

Vektorfelder im euklidischen Raum Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Unter einem Vektorfeld auf einer Menge versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt einen Vektor zuordnet. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge ein „Pfeil angebracht“. Meist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Vektorfeld glatt, also eine -Abbildung ist. Ist eine -mal differenzierbare Abbildung , so spricht man von einem -Vektorfeld.

Beispiele Bearbeiten

  • Gradientenfeld: Ist eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge , so wird das Gradientenfeld von definiert durch die Zuordnung
  • Zentralfelder: Sei ein Intervall, welches die Null enthält, und eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch
  • In ist das Gravitationsfeld ein solches Zentralfeld.
  • Weitere Beispiele sind im die mathematisch diffizileren sogenannten „Wirbelfelder“. Sie lassen sich als Rotation eines Vektorpotentials beschreiben, nach der Formel (s. u.).

Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder; Zerlegungssatz Bearbeiten

Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld im heißt quellenfrei (beziehungsweise wirbelfrei), wenn seine Quellendichte (Divergenz) beziehungsweise Wirbeldichte (Rotation) dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten von im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte Zerlegungssatz: Jedes Vektorfeld ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:

Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe Elektrodynamik). Es sind also genau die Gradientenfelder (d. h. die „elektrischen Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d. h. die „magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind    und die bekannten, mit dem Nabla-Operator () der Vektoranalysis gebildeten Operationen.

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel .

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Abbildung , so dass mit gilt. Es wird also jedem ein Vektor zugeordnet. Die Abbildung ist die natürliche Projektion mit .

Die Menge aller glatten Vektorfelder wird häufig mit , oder notiert.

Anmerkungen Bearbeiten

Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum. Es gilt nämlich und .

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Vektorfelder sind gerade die kontravarianten Tensorfelder erster Stufe.

Anwendungen Bearbeiten

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7 (englisch).
  • John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Vector fields – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siehe u. a. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics – A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5, part II
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Veröffentlichungsdatum:
In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet Das duale Konzept zu einem Vektorfeld ist eine Funktion die jedem Punkt eine Linearform zuordnet eine solche Abbildung wird pfaffsche Form genannt Darstellung eines Vektorfeldes anhand ausgewahlter Punkte Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt welche Richtung und Betrag Pfeillange wiedergeben3 dimensionales Vektorfeld y z x Stetige Vektorfelder sind von grosser Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flussigkeit anzugeben oder um die Starke und Richtung einer Kraft wie der magnetischen oder der Schwerkraft zu beschreiben Die Feldgrossen dieser Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen Inhaltsverzeichnis 1 Vektorfelder im euklidischen Raum 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder Zerlegungssatz 2 Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten 2 1 Definition 2 2 Anmerkungen 3 Anwendungen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseVektorfelder im euklidischen Raum BearbeitenDefinition Bearbeiten Unter einem Vektorfeld v displaystyle v nbsp auf einer Menge W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp versteht man eine Abbildung die jedem Punkt x W displaystyle x in Omega nbsp einen Vektor v x R n displaystyle v x in mathbb R n nbsp zuordnet Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge W displaystyle Omega nbsp ein Pfeil angebracht Meist wird stillschweigend vorausgesetzt dass das Vektorfeld glatt also eine C displaystyle C infty nbsp Abbildung ist Ist v displaystyle v nbsp eine k displaystyle k nbsp mal differenzierbare Abbildung v W R n displaystyle v colon Omega to mathbb R n nbsp so spricht man von einem C k displaystyle C k nbsp Vektorfeld Beispiele Bearbeiten Gradientenfeld Ist f W R displaystyle f colon Omega rightarrow mathbb R nbsp eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp so wird das Gradientenfeld grad f W R n displaystyle operatorname grad f colon Omega rightarrow mathbb R n nbsp von f displaystyle f nbsp definiert durch die Zuordnung x grad f x f x 1 x f x n x displaystyle x mapsto operatorname grad f x left frac partial f partial x 1 x dotsc frac partial f partial x n x right nbsp Oft schreibt man es mit dem Nabla Symbol grad f f displaystyle operatorname grad f nabla f nbsp Ist ein Vektorfeld v displaystyle v nbsp das Gradientenfeld einer Funktion f displaystyle f nbsp das heisst v f displaystyle v nabla f nbsp so bezeichnet man f displaystyle f nbsp als Potential Man sagt auch v displaystyle v nbsp besitzt ein Potential Beispiele von Gradientenfeldern sind das von einer Punktquelle nach allen Seiten gleichmassig fliessende Feld einer Stromung und das elektrische Feld um eine Punktladung Zentralfelder Sei I displaystyle I nbsp ein Intervall welches die Null enthalt und K I x R n x I R n displaystyle K I x in mathbb R n x in I subset mathbb R n nbsp eine Kugelschale Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durchv x a x x displaystyle v x a x cdot x nbsp mit a I R displaystyle a colon I rightarrow mathbb R nbsp In R 3 0 displaystyle mathbb R 3 backslash 0 nbsp ist das Gravitationsfeld v x x x 3 displaystyle v x frac x x 3 nbsp ein solches Zentralfeld Weitere Beispiele sind im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp die mathematisch diffizileren sogenannten Wirbelfelder Sie lassen sich als Rotation eines Vektorpotentials A displaystyle mathbf A nbsp beschreiben nach der Formel v r r o t A displaystyle mathbf v mathbf r mathbf rot mathbf A nbsp s u Pragnantes Beispiel eines Wirbelfeldes ist das in Kreislinien um den Ausfluss einer Badewanne herumwirbelnde Stromungsfeld oder das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder Zerlegungssatz Bearbeiten Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld v r displaystyle mathbf v mathbf r nbsp im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp heisst quellenfrei beziehungsweise wirbelfrei wenn seine Quellendichte Divergenz beziehungsweise Wirbeldichte Rotation dort uberall Null ist Unter der weiteren Voraussetzung dass die Komponenten von v displaystyle mathbf v nbsp im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden gilt der sogenannte Zerlegungssatz Jedes Vektorfeld v r displaystyle mathbf v mathbf r nbsp ist eindeutig durch seine Quellen bzw Wirbel bestimmt und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil v r g r a d r R 3 d 3 r d i v v r 4 p r r r o t r R 3 d 3 r r o t v r 4 p r r displaystyle mathbf v mathbf r equiv mathbf grad mathbf r int mathbb R 3 d 3 mathbf r frac mathrm div mathbf v mathbf r 4 pi mathbf r mathbf r mathbf rot mathbf r int mathbb R 3 d 3 mathbf r frac mathbf rot mathbf v mathbf r 4 pi mathbf r mathbf r nbsp Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil siehe Elektrodynamik 1 Es sind also genau die Gradientenfelder d h die elektrischen Feldkomponenten wirbelfrei bzw genau die Wirbelfelder d h die magnetischen Feldkomponenten quellenfrei Dabei sind g r a d ϕ r ϕ displaystyle mathbf grad phi mathbf r nabla phi nbsp d i v v v displaystyle mathrm div mathbf v nabla cdot mathbf v nbsp und r o t v v displaystyle mathbf rot mathbf v nabla times mathbf v nbsp die bekannten mit dem Nabla Operator displaystyle nabla nbsp der Vektoranalysis gebildeten Operationen Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt im Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp Ausfuhrlicher heisst das ein Vektorfeld ist eine Abbildung v displaystyle v nbsp so dass v M T M displaystyle v colon M to TM nbsp mit p v id M displaystyle pi circ v operatorname id M nbsp gilt Es wird also jedem x M displaystyle x in M nbsp ein Vektor v x T x M displaystyle v x in T x M nbsp zugeordnet Die Abbildung p displaystyle pi nbsp ist die naturliche Projektion p T M M displaystyle pi colon TM to M nbsp mit p v p displaystyle p v mapsto p nbsp Die Menge aller glatten Vektorfelder wird haufig mit G T M displaystyle Gamma infty TM nbsp G T M displaystyle Gamma TM nbsp oder X M displaystyle mathfrak X M nbsp notiert Anmerkungen Bearbeiten Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum Es gilt namlich R n T p R n displaystyle mathbb R n cong T p mathbb R n nbsp und T R n R n R n displaystyle T mathbb R n cong mathbb R n times mathbb R n nbsp Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet Vektorfelder sind gerade die kontravarianten Tensorfelder erster Stufe Anwendungen BearbeitenVektor und Kraftfelder haben ausser in Physik und Chemie auch grosse Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik Elektrotechnik Geodasie Mechanik Atomphysik Angewandte Geophysik Siehe auch BearbeitenFluss eines VektorfeldesLiteratur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 2 5 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2004 ISBN 3 540 20389 3 R Abraham J E Marsden T Ratiu Manifolds Tensor Analysis and Applications 2 Auflage Springer Berlin 1988 ISBN 3 540 96790 7 englisch John M Lee Introduction to smooth manifolds Graduate Texts in Mathematics 218 Springer New York u a 2003 ISBN 0 387 95495 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Vector fields Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Siehe u a U Krey A Owen Basic Theoretical Physics A Concise Overview Berlin Springer 2007 ISBN 978 3 540 36804 5 part II Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vektorfeld amp oldid 232505311