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Gradient Mathematik Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten die den Verlauf vo

Gradient (Mathematik)

Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.

Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt , der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion  die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von an der Stelle ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektor- und Tensoranalysis, Teilgebieten der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem Nabla-Operator (bisweilen auch oder um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann).

Definition Bearbeiten

Auf sei das Skalarprodukt gegeben. Der Gradient der total differenzierbaren Funktion im Punkt ist der durch die Forderung

eindeutig bestimmte Vektor Der Operator ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung.

Der Gradient hat für differenzierbare Funktionen die definierende Eigenschaft

Das Landau-Symbol steht für Terme, die langsamer als wachsen, und stellt eine lineare Funktion von dar. Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig und kann aus

berechnet werden, wo der Nabla-Operator ist. So werden auch Gradienten für Skalar-, Vektor- und Tensorfelder zweiter Stufe oder allgemein Tensorfelder n-ter Stufe definiert.

Für ein Skalarfeld folgt hieraus ; oft schreibt man daher (gesprochen „Nabla “) statt .

Koordinatendarstellung Bearbeiten

Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische Koordinaten Bearbeiten

Im mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist der Spaltenvektor

Die Einträge sind die partiellen Ableitungen von in -Richtung.

Rechenbeispiel Bearbeiten

Gegeben sei ein Skalarfeld durch in der xy-Ebene. Es hat die partiellen Ableitungen und und es folgt oder in Vektordarstellung

Für den Punkt lautet beispielsweise der Gradientvektor . Der Betrag ist .

Zylinder- und Kugelkoordinaten Bearbeiten

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale Koordinaten Bearbeiten

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

wobei die den Betrag und die Richtung des Vektors angeben.

Allgemein krummlinige Koordinaten Bearbeiten

In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

worin der Gradient der Koordinate ist.

Geometrische Interpretation Bearbeiten

Eine anschauliche Bedeutung hat der Gradient im schon Eingangs erwähnten Fall von (zweidimensionalen) Landkarten, in denen Höhenangaben eingetragen sind. Die Höhenfunktion ist dann ein Skalarfeld, das jedem Punkt auf der Landkarte (gekennzeichnet durch eine x- und eine y-Koordinate) eine Höhe zuordnet. Der Gradient dieses Skalarfelds in einem Punkt ist ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs der Höhenfunktion weist und der Betrag des Gradienten entspricht der Stärke dieses Anstiegs. Der Gradient steht dabei in jedem Punkt senkrecht auf der Höhenlinie (Niveaumenge) der Höhenfunktion durch diesen Punkt. In einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt ist der Gradient gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Diese sogenannte Richtungsableitung ist – im Unterschied zum Gradienten – ein Skalar. Läuft man im Gebiet in (infinitesimal) kleinen Trippelschritten von einem Punkt a zum Punkt b und summiert das Produkt aus Schrittlänge und Richtungsableitung in Richtung des Schritts, erhält man im Zielpunkt b als Ergebnis die Höhendifferenz zum Startpunkt a. Diese Höhendifferenz ist offensichtlich wegunabhängig. Fallen insbesondere Start- und Endpunkt zusammen, so hat man am Ende seine Höhe nicht verändert, egal welchen Weg man durch das Gebiet eingeschlagen hat.

Eigenschaften Bearbeiten

Darstellung als Volumenableitung Bearbeiten

Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand und dem Volumen dann kann der Gradient des Skalarfelds im Punkt mittels der Volumenableitung durch

berechnet werden. Dabei bezeichnet das äußere vektorielle Flächenelement von wobei der nach außen zeigende Normalenvektor und das skalare Flächenelement ist.

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet auf den Punkt zusammengezogen, sodass sein Inhalt im Volumenintegral unten gegen null geht. Ersetzt man durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet wählt.

Rechenregeln Bearbeiten

Für alle Konstanten und Skalarfelder gilt:

Zusammenhang mit der Richtungsableitung Bearbeiten

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes in Richtung eines normierten Vektors genauer:

Ist in einer Umgebung von differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von mit dem Gradienten von berechnen:

Letztere Form ist nicht auf Skalarfelder beschränkt und auf Vektor- oder Tensorfelder n-ter Stufe anwendbar und wird insbesondere in der Strömungsmechanik vielfältig angewendet.

Integrabilitätsbedingung Bearbeiten

Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder in Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle und :

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der rotations­freiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ (präziser: der Funktion ). Die bzw. sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege im das Linienintegral verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung

für ein differenzierbares Vektorfeld ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion mit (vgl. Totales Differential#Integrabilitätsbedingung). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von (z. B. Sternförmigkeit) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe Poincaré-Lemma).

Nützliche Formeln Bearbeiten

Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor verwendet.

Im letzten Beispiel wirkt der Gradient nur auf und nicht auf und wird deshalb auch als geschrieben.

Anwendungen Bearbeiten

Konservative Kräfte Bearbeiten

In der Physik lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines Potentials darstellen. Beispiele dafür sind:

  • die Gravitationskraft
die für eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Masse M
lautet, oder

In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt, dass für Probemassen bzw. Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit entlang eines beliebigen Weges durch das Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängt, siehe #Integralsätze.

Transportphänomene Bearbeiten

Zahlreiche Transportphänomene lassen sich darauf zurückführen, dass sich die dazugehörigen Ströme als Gradient eines Skalarfeldes ausdrücken lassen, wobei der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor als Transportkoeffizient oder Leitfähigkeit bezeichnet wird.

Ein Beispiel dafür ist der Wärmestrom in der Thermodynamik, für den

gilt, wobei die Wärmeleitfähigkeit ist.

In der Fluidmechanik versteht man unter einer Potentialströmung eine Strömung, bei der die Geschwindigkeit Gradient eines Potentialfeldes ist, siehe Geschwindigkeitspotential.

Bildverarbeitung Bearbeiten

Ein Problem in der Bildverarbeitung ist es, in einem Bild zusammenhängende Flächen zu erkennen. Da ein Bild diskrete Werte enthält, benutzt man Filter wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Ein Filter ist dabei eine Matrix, mit der das Bild gefaltet wird (siehe Diskrete Faltung). Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.

Weitere Anwendungen Bearbeiten

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Gradienten von Vektoren und Tensoren Bearbeiten

Wie im Abschnitt #Definition schon bemerkt, wird der Gradient auch auf Vektoren und Tensoren angewendet. Der Gradient eines Skalarfeldes (Tensorfeld nullter Stufe) ergibt ein Vektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist. Allgemein führt Gradientenbildung eines Tensorfeldes n-ter Stufe auf ein Tensorfeld der Stufe n+1.

Die Koeffizienten der Gradienten der kovarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems sind die Christoffelsymbole.

Insbesondere in der Kontinuumsmechanik und Fluidmechanik werden die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern vielfältig genutzt, denn die oben genannten #Eigenschaften lassen sich ohne Weiteres auf Gradienten von Vektorfeldern übertragen.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Für eine glatte Funktion auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist der Gradient von dasjenige Vektorfeld , mit dem für jedes Vektorfeld die Gleichung

gilt, wobei das durch definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an ist und (oft auch bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt die Richtungsableitung von in Richtung , ausgewertet in , zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte von einer offenen Teilmenge von auf eine offene Teilmenge von ist gegeben durch:

wobei die -te Komponente von in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

Analog zum Fall hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

Der Ausdruck ist also das der 1-Form unter dem mittels der Metrik definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Grimsehl: Lehrbuch der Physik. Band 1: Mechanik, Wärmelehre, Akustik. 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.
  2. M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 10.
  3. C. B. Lang, N. Pucker: Mathematische Methoden in der Physik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49312-0, S. 420, doi:10.1007/978-3-662-49313-7., Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 43, doi:10.1007/978-3-642-24119-2.
  4. Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 2 (Eig bis Inn). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 216, doi:10.1007/978-3-662-53504-2.
  5. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren
  6. ↑ Werner (2019), S. 433.
  7. Altenbach (2012), S. 45.
  8. C. B. Lang, N. Pucker: Mathematische Methoden in der Physik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49312-0, S. 420 f., doi:10.1007/978-3-662-49313-7. und Altenbach (2012), S. 43.
  9. Werner (2019), S. 313.

Literatur Bearbeiten

  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. praxisnahe, anschauliche Einführung; elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-42018-5, doi:10.1007/978-3-642-56339-3.
  • Konrad Königsberger: Analysis. 4. überarbeitete Auflage. Band 2. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 3-540-43580-8, doi:10.1007/978-3-662-05699-8.
  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
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Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten die den Verlauf von physikalischen Grossen beschreiben Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern das Gradientenfeld genannt wird Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrossen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren 1 Zwei Skalarfelder dargestellt als Grauschattierung dunklere Farbung entspricht grosserem Funktionswert Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehorigen Gradienten In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt P displaystyle P der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der grossten Anderung Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der grossten Anderungsrate an diesem Punkt an Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion h x y displaystyle h x y die jedem Ort die Hohe an dieser Stelle zuordnet dann ist der Gradient von h displaystyle h an der Stelle x y displaystyle x y ein Vektor der in die Richtung des grossten Hohenanstiegs von h displaystyle h zeigt Der Betrag dieses Vektors gibt die grosste Steigung an diesem Punkt an Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektor und Tensoranalysis Teilgebieten der mehrdimensionalen Analysis untersucht Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet und zwar mit dem Nabla Operator displaystyle nabla bisweilen auch displaystyle vec nabla oder displaystyle underline nabla um anzudeuten dass der Nabla Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Koordinatendarstellung 2 1 Kartesische Koordinaten 2 1 1 Rechenbeispiel 2 2 Zylinder und Kugelkoordinaten 2 3 Orthogonale Koordinaten 2 4 Allgemein krummlinige Koordinaten 3 Geometrische Interpretation 4 Eigenschaften 4 1 Darstellung als Volumenableitung 4 2 Rechenregeln 4 3 Zusammenhang mit der Richtungsableitung 4 4 Integrabilitatsbedingung 4 5 Nutzliche Formeln 5 Anwendungen 5 1 Konservative Krafte 5 2 Transportphanomene 5 3 Bildverarbeitung 5 4 Weitere Anwendungen 6 Verallgemeinerungen 6 1 Gradienten von Vektoren und Tensoren 6 2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 7 Weblinks 8 Einzelnachweise 9 LiteraturDefinition BearbeitenAuf R n displaystyle mathbb R n nbsp sei das Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp gegeben Der Gradient grad displaystyle operatorname grad nbsp der total differenzierbaren Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp im Punkt a R n displaystyle vec a in mathbb R n nbsp ist der durch die Forderung d f a h grad f a h h R n displaystyle mathrm d f vec a vec h langle operatorname grad f vec a vec h rangle quad vec h in mathbb R n nbsp eindeutig bestimmte Vektor grad f a displaystyle operatorname grad f vec a nbsp Der Operator d displaystyle mathrm d nbsp ist das totale Differential bzw die Cartan Ableitung Der Gradient hat fur differenzierbare Funktionen f displaystyle f nbsp die definierende Eigenschaft 2 f y f a g r a d f a y a O y a displaystyle f vec y f vec a mathrm grad f vec a vec y vec a mathcal O vec y vec a nbsp fur y a displaystyle vec y to vec a nbsp Das Landau Symbol O x displaystyle mathcal O x nbsp steht fur Terme die langsamer als x displaystyle x nbsp wachsen und h displaystyle ldots vec h nbsp stellt eine lineare Funktion von h displaystyle vec h nbsp dar Wenn der Gradient existiert ist er eindeutig und kann aus g r a d f a h d d s f a s h s 0 lim s 0 f a s h f a s h f displaystyle mathrm grad f vec a vec h left frac mathrm d mathrm d s f vec a s vec h right s 0 lim s to 0 frac f vec a s vec h f vec a s vec h cdot nabla f nbsp berechnet werden wo displaystyle nabla nbsp der Nabla Operator ist So werden auch Gradienten fur 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V left rho varphi z right nbsp grad V V r e r 1 r V f e f V z e z displaystyle operatorname grad V frac partial V partial rho hat e rho frac 1 rho frac partial V partial varphi hat e varphi frac partial V partial z hat e z nbsp Darstellung in dreidimensionalen Kugelkoordinaten V V r ϑ f displaystyle V V left r vartheta varphi right nbsp grad V V r e r 1 r V ϑ e ϑ 1 r sin ϑ V f e f displaystyle operatorname grad V frac partial V partial r hat e r frac 1 r frac partial V partial vartheta hat e vartheta frac 1 r sin vartheta frac partial V partial varphi hat e varphi nbsp Dies sind Spezialfalle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Fur diese Verallgemeinerung siehe Aussere Ableitung Orthogonale Koordinaten Bearbeiten In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung grad f a 1 h a f q a e q a displaystyle operatorname grad f sum a frac 1 h a frac partial f partial q a hat e q a nbsp wobei die h a displaystyle h a nbsp den Betrag und e q a displaystyle hat e q a nbsp die Richtung des Vektors r q a displaystyle tfrac partial vec r partial q a nbsp angeben Allgemein krummlinige Koordinaten Bearbeiten In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung grad f a f q a G a displaystyle operatorname grad f sum a frac partial f partial q a vec G a nbsp worin G a displaystyle vec G a nbsp der Gradient der Koordinate q a displaystyle q a nbsp ist Geometrische Interpretation BearbeitenEine anschauliche Bedeutung hat der Gradient im schon Eingangs erwahnten Fall von zweidimensionalen Landkarten in denen Hohenangaben eingetragen sind 4 Die Hohenfunktion ist dann ein Skalarfeld das jedem Punkt auf der Landkarte gekennzeichnet durch eine x und eine y Koordinate eine Hohe zuordnet Der Gradient dieses Skalarfelds in einem Punkt ist ein Vektor der in Richtung des steilsten Anstiegs der Hohenfunktion weist und der Betrag des Gradienten entspricht der Starke dieses Anstiegs Der Gradient steht dabei in jedem Punkt senkrecht auf der Hohenlinie Niveaumenge der Hohenfunktion durch diesen Punkt In einem lokalen Minimum oder Maximum Extremum oder an einem Sattelpunkt ist der Gradient gerade der Nullvektor vorausgesetzt dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt Mit Hilfe des Gradienten lasst sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln Diese sogenannte Richtungsableitung ist im Unterschied zum Gradienten ein Skalar Lauft man im Gebiet in infinitesimal kleinen Trippelschritten von einem Punkt a zum Punkt b und summiert das Produkt aus Schrittlange und Richtungsableitung in Richtung des Schritts erhalt man im Zielpunkt b als Ergebnis die Hohendifferenz zum Startpunkt a Diese Hohendifferenz ist offensichtlich wegunabhangig Fallen insbesondere Start und Endpunkt zusammen so hat man am Ende seine Hohe nicht verandert egal welchen Weg man durch das Gebiet eingeschlagen hat Eigenschaften BearbeitenDarstellung als Volumenableitung Bearbeiten Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauss kann der Gradient ahnlich wie die Divergenz Quellendichte und die Rotation Wirbeldichte als Volumenableitung dargestellt werden Diese Darstellung hat den Vorteil dass sie koordinatenunabhangig ist Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert Ist V displaystyle mathcal V nbsp ein Raumgebiet mit stuckweise glattem Rand V displaystyle partial mathcal V nbsp und dem Volumen V displaystyle V nbsp dann kann der Gradient des Skalarfelds f V R displaystyle f colon mathcal V to mathbb R nbsp im Punkt p V displaystyle p in mathcal V nbsp mittels der Volumenableitung durch grad f lim V 0 V f d A V displaystyle operatorname grad f lim V rightarrow 0 frac oint partial mathcal V f mathrm d vec A V nbsp berechnet werden Dabei bezeichnet d A n n d A displaystyle mathrm d vec A tfrac vec n mid vec n mid mathrm d A nbsp das aussere vektorielle Flachenelement von V displaystyle partial mathcal V nbsp wobei n displaystyle vec n nbsp der nach aussen zeigende Normalenvektor und d A displaystyle mathrm d A nbsp das skalare Flachenelement ist 5 Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet V displaystyle mathcal V nbsp auf den Punkt P displaystyle P nbsp zusammengezogen sodass sein Inhalt V displaystyle V nbsp im Volumenintegral unten gegen null geht Ersetzt man f displaystyle f nbsp durch einen Druck erscheint der Gradient als Kraftdichte Die Koordinatendarstellungen ergeben sich aus der Volumenableitung wenn man das jeweilige Volumenelement beispielsweise Kugel oder Zylinder als Raumgebiet V displaystyle mathcal V nbsp wahlt Rechenregeln Bearbeiten Fur alle Konstanten c R displaystyle c in mathbb R nbsp und Skalarfelder u v R n R displaystyle u v colon mathbb R n to mathbb R nbsp gilt grad c 0 displaystyle operatorname grad c vec 0 nbsp Linearitat grad c u c grad u displaystyle operatorname grad c cdot u c cdot operatorname grad u nbsp grad u v grad u grad v displaystyle operatorname grad u v operatorname grad u operatorname grad v nbsp Produktregel grad u v u grad v v grad u displaystyle operatorname grad u v u operatorname grad v v operatorname grad u nbsp Kettenregel grad u v d u d v grad v displaystyle operatorname grad big u v big frac mathrm d u mathrm d v operatorname grad v nbsp grad u n n u n 1 grad u n R 0 displaystyle operatorname grad u n nu n 1 operatorname grad u quad n in mathbb R neq 0 nbsp Siehe auch Nutzliche Formeln Integralsatze a b g r a d u r d r u b u a displaystyle int vec a vec b mathrm grad big u vec r big cdot mathrm d vec r u vec b u vec a nbsp Dabei ist das Skalarprodukt und der Weg von a displaystyle vec a nbsp nach b displaystyle vec b nbsp beliebig Diese Wegunabhangigkeit zeichnet Gradientenfelder aus 6 siehe auch Konservative Krafte V g r a d u d V A u n d A displaystyle int V mathrm grad u mathrm d V int A u hat n mathrm d A nbsp A n g r a d u d A C u d r displaystyle int A hat n times mathrm grad u mathrm d A int C u mathrm d vec r nbsp Hier ist das Kreuzprodukt u displaystyle u nbsp ein zweimal stetig differenzierbares Feld und n displaystyle hat n nbsp der nach aussen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der geschlossenen Oberflache A displaystyle A nbsp des Volumens V displaystyle V nbsp 7 und C displaystyle C nbsp die stuckweise glatte geschlossene Berandungskurve der Flache A displaystyle A nbsp 6 Aus dem ersten Volumenintegral folgt die Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung wenn das Volumen so klein wird dass in ihm der Gradient naherungsweise konstant ist Zusammenhang mit der Richtungsableitung Bearbeiten Hauptartikel Richtungsableitung Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung also den Anstieg eines Skalarfeldes f r displaystyle varphi left vec r right nbsp in Richtung eines normierten Vektors v displaystyle vec v nbsp genauer D v f f v lim t 0 f r t v f r t displaystyle D vec v varphi frac partial varphi partial vec v lim t to 0 frac varphi vec r t vec v varphi vec r t nbsp Ist f displaystyle varphi nbsp in einer Umgebung von r displaystyle vec r nbsp differenzierbar dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von v displaystyle vec v nbsp mit dem Gradienten von f displaystyle varphi nbsp berechnen D v f f v grad f v v f displaystyle D vec v varphi frac partial varphi partial vec v operatorname grad varphi cdot vec v vec v cdot nabla varphi nbsp Letztere Form ist nicht auf Skalarfelder beschrankt und auf Vektor oder Tensorfelder n ter Stufe anwendbar und wird insbesondere in der Stromungsmechanik vielfaltig angewendet Integrabilitatsbedingung Bearbeiten Eine wichtige Beziehung fur differenzierbare Gradientenfelder G x 1 x n grad f x 1 x n displaystyle mathbf G x 1 dotsc x n operatorname grad f x 1 dotsc x n nbsp in n displaystyle n nbsp Dimensionen ist die Aussage dass diese nach dem Satz von Schwarz immer integrabel sind und zwar in folgendem Sinne Es gilt fur alle i displaystyle i nbsp und k displaystyle k nbsp i k 1 n displaystyle i k 1 dotsc n nbsp G i x k G k x i 0 displaystyle frac partial G i partial x k frac partial G k partial x i equiv 0 nbsp Diese direkt nachprufbare Beziehung in drei Dimensionen identisch mit der rotations freiheit des Feldes ist notwendig fur die Existenz einer Potentialfunktion f displaystyle f nbsp praziser der Funktion ϕ f displaystyle phi f nbsp Die G i displaystyle G i nbsp bzw G k displaystyle G k nbsp sind die Komponenten des Vektorfeldes Die Integrabilitatsbedingung impliziert ferner dass fur alle geschlossenen Wege W displaystyle W nbsp im R n displaystyle mathbb R n nbsp das Linienintegral W G d r displaystyle textstyle oint W mathbf G cdot mathrm d mathbf r nbsp verschwindet was in der Mechanik bzw der Elektrodynamik grosse Bedeutung hat Lokal gilt auch das Umgekehrte Die Integrabilitatsbedingung G i x k G k x i 0 displaystyle frac partial G i partial x k frac partial G k partial x i equiv 0 nbsp fur ein differenzierbares Vektorfeld G displaystyle mathbf G nbsp ist auch hinreichend fur die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion f displaystyle f nbsp mit G x 1 x n grad f x 1 x n displaystyle mathbf G x 1 dotsc x n operatorname grad f x 1 dotsc x n nbsp vgl Totales Differential Integrabilitatsbedingung Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von G displaystyle G nbsp z B Sternformigkeit kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden siehe Poincare Lemma Nutzliche Formeln Bearbeiten Folgende Gradienten treten haufig in der Physik auf Es wird der Ortsvektor r r e r displaystyle vec r r hat e r nbsp verwendet grad r e r r r displaystyle operatorname grad r hat e r frac vec r r nbsp grad U r U r e r displaystyle operatorname grad U r frac partial U partial r hat e r nbsp grad 1 r 1 r 2 grad r e r r 2 r r 3 displaystyle operatorname grad frac 1 r frac 1 r 2 operatorname grad r frac hat e r r 2 frac vec r r 3 nbsp grad 1 r r 1 r r 2 grad r r r r r r 3 displaystyle operatorname grad frac 1 vec r vec r prime frac 1 vec r vec r prime 2 operatorname grad vec r vec r prime frac vec r vec r prime vec r vec r prime 3 nbsp Im letzten Beispiel wirkt der Gradient nur auf r displaystyle vec r nbsp und nicht auf r displaystyle vec r prime nbsp und wird deshalb auch als r displaystyle nabla vec r nbsp geschrieben Anwendungen BearbeitenKonservative Krafte Bearbeiten Hauptartikel Konservative Kraft In der Physik lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines Potentials darstellen Beispiele dafur sind die GravitationskraftF G r a v i t a t i o n x y z m grad F x y z displaystyle vec F mathrm Gravitation x y z m operatorname grad Phi x y z nbsp dd die fur eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Masse MF G r a v i t a t i o n r m grad F r grad G M m r G M m r 3 r displaystyle vec F mathrm Gravitation r m operatorname grad Phi r operatorname grad frac GMm r frac GMm r 3 vec r nbsp dd lautet oderstatische elektrische Felder E displaystyle vec E nbsp in der ElektrodynamikE x y z grad ϕ x y z displaystyle vec E x y z operatorname grad phi x y z nbsp dd In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt dass fur Probemassen bzw Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit W S F r d r textstyle W int S vec F vec r cdot mathrm d vec r nbsp entlang eines beliebigen Weges S displaystyle S nbsp durch das Kraftfeld nur vom Anfangs und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhangt siehe Integralsatze Transportphanomene Bearbeiten Zahlreiche Transportphanomene lassen sich darauf zuruckfuhren dass sich die dazugehorigen Strome als Gradient eines Skalarfeldes ausdrucken lassen wobei der dabei auftretende Proportionalitatsfaktor als Transportkoeffizient oder Leitfahigkeit bezeichnet wird Ein Beispiel dafur ist der Warmestrom j w displaystyle vec j w nbsp in der Thermodynamik fur den j w l grad T displaystyle vec j w lambda operatorname grad T nbsp gilt wobei l displaystyle lambda nbsp die Warmeleitfahigkeit ist In der Fluidmechanik versteht man unter einer Potentialstromung eine Stromung bei der die Geschwindigkeit Gradient eines Potentialfeldes ist siehe Geschwindigkeitspotential Bildverarbeitung Bearbeiten Hauptartikel Kantendetektion Ein Problem in der Bildverarbeitung ist es in einem Bild zusammenhangende Flachen zu erkennen Da ein Bild diskrete Werte enthalt benutzt man Filter wie den Sobel Operator um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten Ein Filter ist dabei eine Matrix mit der das Bild gefaltet wird siehe Diskrete Faltung Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar Weitere Anwendungen Bearbeiten So wie Gauss Newton Verfahren zur Nullstellensuche von Funktionen verwendet wird wird fur mehrdimensionale Optimierungsprobleme in der Numerik das Gradientenverfahren eingesetzt Ein Druckgradientenmikrofon nutzt die Druckdifferenzen zwischen raumlichen Punkten aus Verallgemeinerungen BearbeitenGradienten von Vektoren und Tensoren Bearbeiten Siehe auch Gradient eines Vektorfeldes Wie im Abschnitt Definition schon bemerkt wird der Gradient auch auf Vektoren und Tensoren angewendet Der Gradient eines Skalarfeldes Tensorfeld nullter Stufe ergibt ein Vektorfeld das ein Tensorfeld erster Stufe ist Allgemein fuhrt Gradientenbildung eines Tensorfeldes n ter Stufe auf ein Tensorfeld der Stufe n 1 8 Die Koeffizienten der Gradienten der kovarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems sind die Christoffelsymbole 9 Insbesondere in der Kontinuumsmechanik und Fluidmechanik werden die Gradienten von Skalar und Vektorfeldern vielfaltig genutzt denn die oben genannten Eigenschaften lassen sich ohne Weiteres auf Gradienten von Vektorfeldern ubertragen Riemannsche Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Fur eine glatte Funktion f displaystyle f nbsp auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp ist der Gradient von f displaystyle f nbsp dasjenige Vektorfeld f displaystyle nabla f nbsp mit dem fur jedes Vektorfeld X displaystyle X nbsp die Gleichung g f X X f d h g x f x X x X f x displaystyle g nabla f X partial X f qquad mathrm d h quad g x nabla f x X x partial X f x nbsp gilt wobei g x displaystyle g x cdot cdot nbsp das durch g displaystyle g nbsp definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an x displaystyle x nbsp ist und X f displaystyle partial X f nbsp oft auch X f displaystyle X f nbsp bezeichnet diejenige Funktion ist die jedem Punkt x M displaystyle x in M nbsp die Richtungsableitung von f displaystyle f nbsp in Richtung X displaystyle X nbsp ausgewertet in x displaystyle x nbsp zuordnet Mit anderen Worten in einer Karte f displaystyle varphi nbsp von einer offenen Teilmenge von M displaystyle M nbsp auf eine offene Teilmenge von R n displaystyle mathbb R n nbsp ist X f x displaystyle partial X f x nbsp gegeben durch j 1 n X j f x x j f f 1 f x displaystyle sum j 1 n X j varphi x frac partial partial x j f circ varphi 1 Big varphi x nbsp wobei X j displaystyle X j nbsp die j displaystyle j nbsp te Komponente von X displaystyle X nbsp in diesen Koordinaten bedeutet In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form f g i k f x k x i displaystyle nabla f g ik frac partial f partial x k frac partial partial x i nbsp Analog zum Fall M R n displaystyle M mathbb R n nbsp hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der ausseren Ableitung vermittels X f x d f x X x displaystyle partial X f x df x X x nbsp Der Ausdruck f displaystyle nabla f nbsp ist also das der 1 Form d f displaystyle mathrm d f nbsp unter dem mittels der Metrik g displaystyle g nbsp definierten musikalischen Isomorphismus sharp g T M T M displaystyle sharp sharp g colon T M to TM nbsp entsprechende Vektorfeld Der Zusammenhang zwischen ausserer Ableitung und Gradienten fur Funktionen auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp ist der Spezialfall fur die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik Weblinks BearbeitenDruckgradient und Schallschnelle sind nicht das Gleiche PDF 144 kB Wie krumme ich Nabla und Delta Herleitung des Nablaoperators fur orthonormal krummlinige Koordinaten auf matheplanet com Einzelnachweise Bearbeiten Ernst Grimsehl Lehrbuch der Physik Band 1 Mechanik Warmelehre Akustik 15 Auflage herausgegeben von Walter Schallreuter Teubner Leipzig 1954 S 579 M E Gurtin The Linear Theory of Elasticity In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VI2 a Bandherausgeber C Truesdell Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 S 10 C B Lang N Pucker Mathematische Methoden in der Physik Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 49312 0 S 420 doi 10 1007 978 3 662 49313 7 Holm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 43 doi 10 1007 978 3 642 24119 2 Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 2 Auflage Band 2 Eig bis Inn Springer Spektrum Verlag Mannheim 2017 ISBN 978 3 662 53503 5 S 216 doi 10 1007 978 3 662 53504 2 Bronstein Semendjajew Musiol Muhlig Taschenbuch der Mathematik Verlag Harri Deutsch Frankfurt 8 Aufl 2012 Abschn 13 2 Raumliche Differentialoperatoren a b Werner 2019 S 433 Altenbach 2012 S 45 C B Lang N Pucker Mathematische Methoden in der Physik Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 49312 0 S 420 f doi 10 1007 978 3 662 49313 7 und Altenbach 2012 S 43 Werner 2019 S 313 Literatur BearbeitenAdolf J Schwab Begriffswelt der Feldtheorie praxisnahe anschauliche Einfuhrung elektromagnetische Felder Maxwellsche Gleichungen Gradient Rotation Divergenz 6 unveranderte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2002 ISBN 3 540 42018 5 doi 10 1007 978 3 642 56339 3 Konrad Konigsberger Analysis 4 uberarbeitete Auflage Band 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8 doi 10 1007 978 3 662 05699 8 Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gradient Mathematik amp oldid 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