In Kugelkoordinaten oder raumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben Bei Punkten auf einer Kugeloberflache Sphare um den Koordinatenursprung ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt konstant Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel sie werden dann als spharische Koordinaten oder Kugelflachenkoordinaten 1 2 bezeichnet Der Begriff Kugelkoordinaten kann als Oberbegriff fur den allgemeinen Fall und die spharischen Koordinaten angesehen werden Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum Sie lassen sich auch weiter auf Raume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Ubliche Konvention 1 1 Definition 1 2 Umrechnungen 2 Anwendungen 3 Andere Konventionen 4 Koordinatenlinien und Koordinatenflachen 5 Transformation von Differentialen 5 1 Jacobi Matrix 5 2 Differentiale Volumenelement Flachenelement Linienelement 5 3 Metrik und Rotationsmatrix 6 Transformation von Vektorfeldern und Operatoren 6 1 Transformation der Vektorraumbasis 6 2 Transformation eines Vektorfeldes 6 3 Transformation der partiellen Ableitungen 6 4 Transformation des Nabla Operators 6 5 Transformation des Laplace Operators 7 Verallgemeinerung auf n dimensionale Kugelkoordinaten 7 1 Jacobi Matrix 7 1 1 Beispiele 7 2 Beispiel 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseUbliche Konvention BearbeitenDefinition Bearbeiten Kugelkoordinaten r 8 f r theta varphi eines Punktes P P und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x y z x y z Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl eines Zentrums O O Ursprung einer gerichteten Gerade durch das Zentrum Polachse die die Polrichtung oder Zenitrichtung angibt und durch diese festgelegt die Aquatorebene die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verlauft und einer Bezugsrichtung in der Aquatorebene Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewahlt die z Achse als Polachse und damit die x y Ebene als Aquatorebene und die x Achse als Bezugsrichtung In der Version der Kugelkoordinaten die in der Mathematik und in der Physik ublich ist wird ein Punkt P P durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt r r der Radius ist der Abstand des Punktes P P von O O hiermit wird die Kugeloberflache festgelegt auf der sich P P befindet 8 theta oder ϑ vartheta 3 der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel 4 ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke O P OP gezahlt von 0 displaystyle 0 bis p pi 0 bis 180 hierdurch wird der Ort des Punktes P P auf eine Kreislinie der Kugeloberflache festgelegt f varphi oder ϕ phi 3 der Azimutwinkel 4 ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke O P OP gezahlt von p pi bis p pi 180 bis 180 oder von 0 bis 2 p 2 pi 0 bis 360 gegen den Uhrzeigersinn Hierdurch wird der Ort des Punktes P P auf der Kreislinie eindeutig definiert Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt P P mit den Kugelkoordinaten r 8 f r theta varphi Die beiden Winkelgrossen 8 theta und f varphi werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet Umrechnungen Bearbeiten Jedem Koordinatentripel r 8 f r theta varphi wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet Parametrisierung Wahlt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden x r sin 8 cos f y r sin 8 sin f z r cos 8 displaystyle begin array cll x amp amp r cdot sin theta cdot cos varphi y amp amp r cdot sin theta cdot sin varphi z amp amp r cdot cos theta end array Bei diesen Gleichungen konnen fur r r 8 theta und f varphi beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind muss man den Wertebereich der Koordinaten einschranken Ublicherweise wird der Radius r r auf nichtnegative Werte beschrankt der Winkel 8 theta auf das Intervall 0 p 0 pi bzw 0 180 und der Winkel f varphi entweder auf das Intervall p p pi pi bzw 180 180 oder das Intervall 0 2 p 0 2 pi bzw 0 360 Auch dann gibt es ausgeartete Punkte fur die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind Fur Punkte auf der z Achse ist der Winkel f varphi nicht festgelegt also beliebig Fur den Ursprung ist auch 8 theta beliebig Um Eindeutigkeit zu erreichen kann man fur diese Punkte f 0 varphi 0 festlegen und fur den Ursprung zusatzlich 8 0 theta 0 Fur die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten r 8 f r theta varphi aus den kartesischen Koordinaten x y z x y z durch die folgenden Gleichungen berechnen 5 r x 2 y 2 z 2 r sqrt x 2 y 2 z 2 8 arccos z x 2 y 2 z 2 arccos z r arccot z x 2 y 2 displaystyle theta arccos frac z sqrt x 2 y 2 z 2 arccos frac z r operatorname arccot frac z sqrt x 2 y 2 f atan2 y x arctan y x wenn x gt 0 p 2 sgn y wenn x 0 arctan y x p wenn x lt 0 y 0 arctan y x p wenn x lt 0 y lt 0 displaystyle varphi operatorname atan2 y x begin cases arctan left frac y x right amp text wenn x gt 0 frac pi 2 operatorname sgn y amp text wenn x 0 arctan left frac y x right pi amp text wenn x lt 0 land y geq 0 arctan left frac y x right pi amp text wenn x lt 0 land y lt 0 end cases Die angegebenen Gleichungen fur den Winkel f varphi gelten wenn f varphi zwischen p pi und p pi gewahlt wird Wahlt man f varphi zwischen 0 und 2 p 2 pi so sind sie geeignet zu modifizieren In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten Winkel meist im Bogenmass angegeben Anwendungen BearbeitenKugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet die rotationssymmetrisch bezuglich eines Punktes sind Beispiele sind Volumenintegrale uber Kugeln die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder wie z B das Gravitationsfeld eines kugelformigen Himmelskorpers das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel siehe Beispiele zum Oberflachenintegral Die betrachteten Grossen hangen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab was viele Formeln vereinfacht Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace Gleichung oder die Helmholtzgleichung konnen in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelost werden Andere Konventionen BearbeitenDie obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik Manchmal werden die Zeichen 8 theta und f varphi aber im umgekehrten Sinne verwendet insbesondere in der amerikanischen Literatur Der Polarwinkel 8 theta ist nicht die geographische Breite sondern lasst sich mit der Kobreite identifizieren Die geographische Breite ist der Winkel zwischen der Aquatorialebene und dem Ortsvektor und nimmt Werte zwischen 90 displaystyle 90 circ und 90 90 circ an Wird sie mit ϕ phi bezeichnet so ist ϕ 90 8 8 90 ϕ displaystyle phi 90 circ theta theta 90 circ phi Hingegen kann man das oben benutzte f varphi ohne weiteres mit der geographischen Lange l lambda ostlich von Greenwich gleichsetzen siehe geographische Koordinaten Die obige Konstruktion ist in gewisser Hinsicht inkonsistent mit dem Aufbau der ebenen Polarkoordinaten Fur manche Probleme ist es praktischer die Darstellung x r cos ϕ cos f displaystyle x r cos phi cos varphi y r cos ϕ sin f displaystyle y r cos phi sin varphi z r sin ϕ displaystyle z r sin phi quad zu benutzen In dieser Darstellung entspricht ϕ phi der geographischen Breite Die Rucktransformation des Punktes bzw Vektors p vec p in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit ϕ arcsin z r displaystyle phi arcsin z r f atan2 y x displaystyle varphi operatorname atan2 y x wobei r p displaystyle r vec p Koordinatenlinien und Koordinatenflachen BearbeitenAus der Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor r vec r r x y z r sin 8 cos f r sin 8 sin f r cos 8 displaystyle vec r begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix r sin theta cos varphi r sin theta sin varphi r cos theta end pmatrix ergeben sich die Koordinatenlinien indem man jeweils zwei der drei Koordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi fest lasst und die dritte den Kurvenparameter darstellt die Koordinatenflachen indem man eine der drei Koordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi fest lasst und die beiden anderen die Flache parametrisieren Fur Kugelkoordinaten sind die Koordinatenlinien durch den Punkt r 0 8 0 f 0 displaystyle r 0 mid theta 0 mid varphi 0 fur den Parameter r r eine Halbgerade die im Koordinatenursprung beginnt fur den Parameter 8 theta ein Halbkreis Meridian mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius r 0 r 0 fur den Parameter f varphi ein Kreis Breitenkreis mit Radius r 0 sin 8 0 displaystyle r 0 sin theta 0 senkrecht zur z Achse Als Koordinatenflache durch den Punkt r 0 8 0 f 0 displaystyle r 0 mid theta 0 mid varphi 0 ergibt sich fur konstanten Radius r 0 r 0 eine Kugelflache mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt fur festen Winkel 8 0 theta 0 eine Kegeloberflache mit der Spitze im Ursprung und der Polachse als Kegelachse die fur 8 0 p 2 displaystyle theta 0 pi 2 zu einer Ebene durch den Aquator wird und fur 8 0 0 displaystyle theta 0 0 zu einer Geraden durch den Nordpol und fur 8 0 p displaystyle theta 0 pi zu einer Geraden durch den Sudpol entartet fur konstanten Wert von f 0 varphi 0 eine Halbebene mit der Polachse als Rand Zwei unterschiedliche Koordinatenflachen durch einen Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie Koordinatenlinien und Koordinatenflachen dienen dazu die lokalen Basisvektoren zu berechnen In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unterschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarianten und kontravarianten Basisvektoren die kovarianten Basisvektoren an einem Punkt sind jeweils tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet die kontravarianten Basisvektoren an einem Punkt stehen jeweils senkrecht auf den Koordinatenflachen Transformation von Differentialen BearbeitenJacobi Matrix Bearbeiten Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi Matrix beschrieben Fur die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese J x y z r 8 f sin 8 cos f r cos 8 cos f r sin 8 sin f sin 8 sin f r cos 8 sin f r sin 8 cos f cos 8 r sin 8 0 displaystyle J frac partial x y z partial r theta varphi begin pmatrix sin theta cos varphi amp r cos theta cos varphi amp r sin theta sin varphi sin theta sin varphi amp r cos theta sin varphi amp r sin theta cos varphi cos theta amp r sin theta amp 0 end pmatrix Die zugehorige Funktionaldeterminante lautet det J r 2 sin 8 det J r 2 sin theta Man berechnet die Jacobi Matrix der entgegengesetzten Transformation am einfachsten als Inverse von J J J 1 r 8 f x y z sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 1 r cos 8 cos f 1 r cos 8 sin f 1 r sin 8 1 r sin f sin 8 1 r cos f sin 8 0 J 1 frac partial r theta varphi partial x y z begin pmatrix sin theta cos varphi amp sin theta sin varphi amp cos theta frac 1 r cos theta cos varphi amp frac 1 r cos theta sin varphi amp frac 1 r sin theta frac 1 r frac sin varphi sin theta amp frac 1 r frac cos varphi sin theta amp 0 end pmatrix Einige Komponenten dieser Matrix sind Bruche an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei r 0 textstyle r 0 und bei sin 8 0 textstyle sin theta 0 also 8 0 textstyle theta 0 oder p textstyle pi erkennt Weniger gebrauchlich ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten J 1 x r y r z r x z r 2 x 2 y 2 y z r 2 x 2 y 2 x 2 y 2 r 2 x 2 y 2 y x 2 y 2 x x 2 y 2 0 J 1 begin pmatrix frac x r amp frac y r amp frac z r frac xz r 2 sqrt x 2 y 2 amp frac yz r 2 sqrt x 2 y 2 amp frac x 2 y 2 r 2 sqrt x 2 y 2 frac y x 2 y 2 amp frac x x 2 y 2 amp 0 end pmatrix Differentiale Volumenelement Flachenelement Linienelement Bearbeiten Die Jacobi Matrix erlaubt es die Umrechnung von Differentialen ubersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben d x d y d z J d r d 8 d f displaystyle begin pmatrix mathrm d x mathrm d y mathrm d z end pmatrix J cdot begin pmatrix mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi end pmatrix beziehungsweise d r d 8 d f J 1 d x d y d z begin pmatrix mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi end pmatrix J 1 cdot begin pmatrix mathrm d x mathrm d y mathrm d z end pmatrix Das Volumenelement d V d x d y d z mathrm d V mathrm d x mathrm d y mathrm d z lasst sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante det J r 2 sin 8 det J r 2 sin theta umrechnen d V r 2 sin 8 d f d 8 d r displaystyle mathrm d V r 2 sin theta mathrm d varphi mathrm d theta mathrm d r Durch Differentiation d V d r displaystyle frac mathrm d V mathrm d r erhalt man fur das Flachenelement d A mathrm d A auf einer Sphare mit Radius r r d A r 2 sin 8 d f d 8 mathrm d A r 2 sin theta mathrm d varphi mathrm d theta Das Linienelement d s mathrm d s errechnet man gemass d s 2 d x 2 d y 2 d z 2 d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 mathrm d s 2 mathrm d x 2 mathrm d y 2 mathrm d z 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 r 2 sin 2 theta mathrm d varphi 2 Metrik und Rotationsmatrix Bearbeiten Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement d s mathrm d s spiegelt sich wider dass der metrische Tensor g J T J 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 8 g J T J begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp r 2 amp 0 0 amp 0 amp r 2 sin 2 theta end pmatrix auch in Kugelkoordinaten keine Ausserdiagonalelemente hat Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix h diag 1 r r sin 8 h operatorname diag 1 r r sin theta Mit Hilfe dieser Matrix lasst sich die Jacobi Matrix als J S h displaystyle J Sh schreiben wobei S S die Rotationsmatrix S sin 8 cos f cos 8 cos f sin f sin 8 sin f cos 8 sin f cos f cos 8 sin 8 0 S begin pmatrix sin theta cos varphi amp cos theta cos varphi amp sin varphi sin theta sin varphi amp cos theta sin varphi amp cos varphi cos theta amp sin theta amp 0 end pmatrix ist Transformation von Vektorfeldern und Operatoren Bearbeiten Kugelkoordinaten mit zugehoriger vom Ort abhangigen Orthogonalbasis e r e 8 e f mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur fur Punkte ausserhalb der z Achse fur die die Jacobi Determinante ungleich null ist Transformation der Vektorraumbasis Bearbeiten Der Basisvektor e f mathbf e varphi zur Koordinate f varphi gibt an in welche Richtung sich ein Punkt P r 8 f displaystyle P r theta varphi bewegt wenn die Koordinate f varphi um einen infinitesimalen Betrag d f d varphi verandert wird e f P f mathbf e varphi sim frac partial mathrm P partial varphi Daraus erhalt man e f P f x f e x y f e y z f e z r sin 8 sin f e x r sin 8 cos f e y mathbf e varphi sim frac partial mathrm P partial varphi frac partial x partial varphi mathbf e x frac partial y partial varphi mathbf e y frac partial z partial varphi mathbf e z r sin theta sin varphi mathbf e x r sin theta cos varphi mathbf e y Um eine orthonormale Basis zu erhalten muss e f displaystyle e varphi noch auf die Lange 1 1 normiert werden e f sin f e x cos f e y mathbf e varphi sin varphi mathbf e x cos varphi mathbf e y Auf gleiche Weise erhalt man die Basisvektoren e r e r und e 8 displaystyle e theta e r sin 8 cos f e x sin 8 sin f e y cos 8 e z mathbf e r sin theta cos varphi mathbf e x sin theta sin varphi mathbf e y cos theta mathbf e z e 8 cos 8 cos f e x cos 8 sin f e y sin 8 e z mathbf e theta cos theta cos varphi mathbf e x cos theta sin varphi mathbf e y sin theta mathbf e z Als Spaltenvektoren geschrieben e r sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 e 8 cos 8 cos f cos 8 sin f sin 8 e f sin f cos f 0 mathbf e r begin pmatrix sin theta cos varphi sin theta sin varphi cos theta end pmatrix qquad mathbf e theta begin pmatrix cos theta cos varphi cos theta sin varphi sin theta end pmatrix qquad mathbf e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge e r e 8 e f mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi ein Rechtssystem Die zugehorigen Richtungen werden auch radial meridional und azimutal genannt Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften z B Geographie Geologie oder Geophysik eine zentrale Rolle sondern auch in Mathematik Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen Hertzscher Dipol durch eine in z Richtung aufgespannte Antenne wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt wahrend elektrisches bzw magnetisches Feld in meridionaler bzw azimutaler Richtung schwingen Mithilfe der oben eingefuhrten Rotationsmatrix S S lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen e r e 8 e f e x e y e z S mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi mathbf e x mathbf e y mathbf e z cdot S In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann e x e y e z e r e 8 e f S T mathbf e x mathbf e y mathbf e z mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi cdot S T Dabei wird verwendet dass S S orthogonal ist und deshalb S 1 S T S 1 S T Transformation eines Vektorfeldes Bearbeiten Ein Vektor als ein geometrisches Objekt muss vom Koordinatensystem unabhangig sein A x e x A y e y A z e z A A r e r A 8 e 8 A f e f A x mathbf e x A y mathbf e y A z mathbf e z mathbf A A r mathbf e r A theta mathbf e theta A varphi mathbf e varphi Diese Bedingung wird erfullt durch A x A y A z S A r A 8 A f begin pmatrix A x A y A z end pmatrix S cdot begin pmatrix A r A theta A varphi end pmatrix beziehungsweise A r A 8 A f S T A x A y A z begin pmatrix A r A theta A varphi end pmatrix S T cdot begin pmatrix A x A y A z end pmatrix Transformation der partiellen Ableitungen Bearbeiten Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren aber ohne Normierung Man kann genau wie oben rechnen nur lasst man den Punkt P P im Zahler weg tatsachlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt und verwendet die Jacobi Matrix J S h displaystyle J Sh anstelle der Rotationsmatrix S S Die Transformation lautet also r 8 f x y z J left frac partial partial r frac partial partial theta frac partial partial varphi right left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right cdot J und in die Gegenrichtung x y z r 8 f J 1 left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right left frac partial partial r frac partial partial theta frac partial partial varphi right cdot J 1 Transformation des Nabla Operators Bearbeiten Der Nabla Operator nabla hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form e x x e y y e z z mathbf nabla mathbf e x frac partial partial x mathbf e y frac partial partial y mathbf e z frac partial partial z Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren Man findet e r r e 8 1 r 8 e f 1 r sin 8 f displaystyle mathbf nabla mathbf e r frac partial partial r mathbf e theta frac 1 r frac partial partial theta mathbf e varphi frac 1 r sin theta frac partial partial varphi In dieser Form kann der transformierte Nabla Operator unmittelbar angewandt werden um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen ist hingegen zu berucksichtigen dass nabla nicht nur auf die Koeffizienten A r A 8 A f A r A theta A varphi wirkt sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren e r e 8 e f mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi A 1 r 2 r r 2 A r 1 r sin 8 8 sin 8 A 8 1 r sin 8 f A f mathbf nabla cdot mathbf A frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 A r frac 1 r sin theta frac partial partial theta sin theta A theta frac 1 r sin theta frac partial partial varphi A varphi Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen ist dasselbe zu berucksichtigen A 1 r sin 8 8 A f sin 8 A 8 f e r 1 r 1 sin 8 A r f r r A f e 8 1 r r r A 8 A r 8 e f displaystyle mathbf nabla times mathbf A 1 over r sin theta left partial over partial theta A varphi sin theta partial A theta over partial varphi right mathbf e r 1 over r left 1 over sin theta partial A r over partial varphi partial over partial r rA varphi right mathbf e theta 1 over r left partial over partial r rA theta partial A r over partial theta right mathbf e varphi Transformation des Laplace Operators Bearbeiten Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator nabla einsetzt findet man den Laplace Operator D 2 1 r 2 r r 2 r 1 r 2 sin 8 8 sin 8 8 1 r 2 sin 2 8 2 f 2 displaystyle mathbf Delta mathbf nabla 2 frac 1 r 2 frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right frac 1 r 2 sin theta frac partial partial theta left sin theta frac partial partial theta right frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 bzw D 2 r 2 2 r r 1 r 2 2 8 2 1 r 2 cos 8 sin 8 8 1 r 2 sin 2 8 2 f 2 displaystyle mathbf Delta frac partial 2 partial r 2 frac 2 r frac partial partial r frac 1 r 2 frac partial 2 partial theta 2 frac 1 r 2 frac cos theta sin theta frac partial partial theta frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 Verallgemeinerung auf n dimensionale Kugelkoordinaten BearbeitenEine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf n n Dimensionen x 1 r cos ϕ 1 x 2 r sin ϕ 1 cos ϕ 2 x 3 r sin ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ 3 x n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 x n r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 begin aligned x 1 amp r cos phi 1 x 2 amp r sin phi 1 cos phi 2 x 3 amp r sin phi 1 sin phi 2 cos phi 3 amp vdots x n 1 amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 x n amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 end aligned Die Winkel entwickeln sich nach tan ϕ n 1 x n x n 1 tan ϕ n 2 x n 2 x n 1 2 x n 2 tan ϕ 1 x n 2 x n 1 2 x 2 2 x 1 begin aligned tan phi n 1 amp frac x n x n 1 tan phi n 2 amp frac sqrt x n 2 x n 1 2 x n 2 amp vdots tan phi 1 amp frac sqrt x n 2 x n 1 2 cdots x 2 2 x 1 end aligned Durch Umnummerierung erhalt man eine Rekursionsformel fur die Winkel x n r cos ϕ n 1 x n 1 r sin ϕ n 1 cos ϕ n 2 x n 2 r sin ϕ n 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 3 x 2 r sin ϕ n 1 sin ϕ 2 cos ϕ 1 x 1 r sin ϕ n 1 sin ϕ 2 sin ϕ 1 begin aligned x n amp r cos phi n 1 x n 1 amp r sin phi n 1 cos phi n 2 x n 2 amp r sin phi n 1 sin phi n 2 cos phi n 3 amp vdots x 2 amp r sin phi n 1 cdots sin phi 2 cos phi 1 x 1 amp r sin phi n 1 cdots sin phi 2 sin phi 1 end aligned Woraus sich die folgenden Winkel ergeben L k sgn x k x k 2 L k 1 2 x k x k x k 2 L k 1 2 left Vert vec L k right Vert operatorname sgn x k sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 frac x k left Vert x k right Vert sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 mit L 0 0 left Vert vec L 0 right Vert 0 und tan ϕ k x k 2 L k 1 2 x k 1 L k x k 1 tan phi k frac sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 x k 1 frac left Vert vec L k right Vert x k 1 Der Radius ist r L n r left Vert vec L n right Vert Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate wobei arctan p 2 arctan pm infty pm tfrac pi 2 ϕ k arctan L k x k 1 p 1 wenn x k 1 lt 0 k n 1 arctan L k x k 1 2 wenn nicht 1 nicht 3 0 3 wenn x k 1 L k 0 displaystyle begin aligned phi k begin cases arctan left frac left Vert vec L k right Vert x k 1 right pi amp text 1 wenn x k 1 lt 0 land k n 1 arctan left frac left Vert vec L k right Vert x k 1 right amp text 2 wenn text nicht 1 land text nicht 3 0 amp text 3 wenn x k 1 left Vert vec L k right Vert 0 end cases end aligned Dabei fallt auf dass L k begin aligned vec L k end aligned immer ein zweidimensionaler Vektor ist fur k gt 0 displaystyle begin aligned k gt 0 end aligned Jacobi Matrix Bearbeiten Die Jacobi Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezuglich der als oberes gegebenen Nummerierung J cos ϕ 1 r sin ϕ 1 0 0 0 sin ϕ 1 cos ϕ 2 r cos ϕ 1 cos ϕ 2 r sin ϕ 1 sin ϕ 2 0 0 0 sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 r cos ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 r cos ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 displaystyle J left begin matrix cos phi 1 amp r sin phi 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 sin phi 1 cos phi 2 amp r cos phi 1 cos phi 2 amp r sin phi 1 sin phi 2 amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp 0 sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 amp r cos phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 amp cdots amp cdots amp cdots amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 amp r cos phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 amp cdots amp cdots amp cdots amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 end matrix right Ihre Determinante betragt det J n r n 1 sin ϕ 1 n 2 sin ϕ 2 n 3 sin ϕ n 2 r n 1 k 2 n 1 sin ϕ n k k 1 n 2 displaystyle det J n r n 1 sin phi 1 n 2 sin phi 2 n 3 cdots sin phi n 2 displaystyle r n 1 cdot prod k 2 n 1 left sin phi n k right k 1 quad n geq 2 Das Integral uber den Betrag dieser Determinante lasst sich mit der Gammafunktion G Gamma angeben 0 R 0 2 p 0 p 0 p det J n d ϕ 1 d ϕ n 2 d ϕ n 1 d r 2 p R n n k 2 n 1 0 p sin ϕ n k k 1 d ϕ n k 2 p R n n k 2 n 1 p G k 2 G k 1 2 p n R n G n 2 1 n 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi dots int 0 pi det J n text d phi 1 dots text d phi n 2 text d phi n 1 text d r frac 2 pi R n n cdot prod k 2 n 1 int 0 pi sin phi n k k 1 text d phi n k frac 2 pi R n n cdot prod k 2 n 1 frac sqrt pi Gamma left frac k 2 right Gamma left frac k 1 2 right frac sqrt pi n R n Gamma left frac n 2 1 right quad n geq 2 Dies entspricht dem Kugelvolumen einer n n dimensionalen Hyperkugel V n R p n R n G n 2 1 displaystyle V n R frac sqrt pi n R n Gamma left frac n 2 1 right Beispiele Bearbeiten 2D 0 R 0 2 p r d ϕ 1 d r p R 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi r mathrm d phi 1 mathrm d r pi R 2 3D 0 R 0 2 p 0 p r 2 sin ϕ 2 d ϕ 2 d ϕ 1 d r 4 p R 3 3 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi r 2 sin phi 2 text d phi 2 text d phi 1 text d r frac 4 pi R 3 3 4D 0 R 0 2 p 0 p 0 p r 3 sin 2 ϕ 1 sin ϕ 2 d ϕ 1 d ϕ 2 d ϕ 3 d r p 2 R 4 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi int 0 pi r 3 sin 2 phi 1 sin phi 2 text d phi 1 text d phi 2 text d phi 3 text d r frac pi 2 R 4 2 Beispiel Bearbeiten Zuordnung am Beispiel n 3 n 3 mit den gelaufigen Koordinatenachsen x y z x y z x 3 z r cos ϕ 2 x 2 x r sin ϕ 2 cos ϕ 1 x 1 y r sin ϕ 2 sin ϕ 1 begin aligned x 3 amp z r cos phi 2 x 2 amp x r sin phi 2 cos phi 1 x 1 amp y r sin phi 2 sin phi 1 end aligned Die Winkel sind dann tan ϕ 2 L 2 x 3 x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 y 2 z tan ϕ 1 L 1 x 2 x 1 2 x 2 y x displaystyle begin aligned tan phi 2 frac left Vert vec L 2 right Vert x 3 amp frac sqrt x 2 2 x 1 2 x 3 frac sqrt x 2 y 2 z tan phi 1 frac left Vert vec L 1 right Vert x 2 amp frac sqrt x 1 2 x 2 frac y x end aligned Literatur BearbeitenW Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 Springer Vieweg ISBN 978 3 658 25271 7 Weblinks BearbeitenMatroids Matheplanet Einfuhrung in die Vektoranalysis als PDF von Eckard SpechtEinzelnachweise Bearbeiten Richard Doerfling Mathematik fur Ingenieure und Techniker Oldenbourg Verlag Seite 169 F W Schafke Einfuhrung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik Springer 1963 ISBN 978 3 642 94867 1 Seite 129 a b Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik Fehler und Ausgleichsrechnung 4 verbesserte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2001 ISBN 3 528 34937 9 a b Zylinder und Kugelkoordinaten Memento vom 17 Dezember 2012 im Internet Archive PDF 59 kB Skript an der TU Munchen Kugelkoordinaten Mathematik Online Lexikon der Universitat Stuttgart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelkoordinaten amp oldid 233832225
