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Koordinatenlinie Eine in einem Koordinatensystem ist eine Kurve auf der alle Koordinaten bis auf eine konstant sind In k

Koordinatenlinie

Eine Koordinatenlinie in einem Koordinatensystem ist eine Kurve, auf der alle Koordinaten bis auf eine konstant sind. In krummlinigen Koordinatensystemen sind die lokalen Basisvektoren tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet und können auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden. Stehen diese Basisvektoren stets paarweise aufeinander senkrecht, wie z. B. Nord-Süd-, Ost-West- und Lotrichtung, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem.

Definition für kartesische Koordinaten im R3 Bearbeiten

Sei ein Punkt des . Die Koordinatenlinien durch diesen Punkt sind die drei Kurven

Das bedeutet: zwei der drei Koordinaten sind konstant und die dritte ist der Kurvenparameter.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Die Definition der Koordinatenlinie kann in entsprechender Weise – alle bis auf eine Koordinate bleiben jeweils konstant – auf andere Koordinatensysteme und Räume höherer Dimension sowie auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden. An Koordinatensingularitäten in krummlinigen Koordinaten entarten Koordinatenlinien zu Punkten.

Koordinatenlinien in speziellen Koordinatensystemen Bearbeiten

  • Geradlinige Koordinatensysteme:
  • Krummlinige Koordinatensysteme:

Lokale Basisvektoren Bearbeiten

In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien. Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Winkel zwischen den Basisvektoren bestimmt werden. Die Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten erweisen sich dabei als orthogonale Koordinatensysteme.

Mit Hilfe der lokalen Basisvektoren lassen sich außerdem der metrische Tensor sowie das Linien-, Flächen- und Volumenelement für die Integralrechnung bestimmen. In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet. Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

Für Beispiele siehe die Artikel über die jeweiligen Koordinatensysteme.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.
  • W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7.
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Eine Koordinatenlinie in einem Koordinatensystem ist eine Kurve auf der alle Koordinaten bis auf eine konstant sind In krummlinigen Koordinatensystemen sind die lokalen Basisvektoren tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet und konnen auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden Stehen diese Basisvektoren stets paarweise aufeinander senkrecht wie z B Nord Sud Ost West und Lotrichtung so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem Inhaltsverzeichnis 1 Definition fur kartesische Koordinaten im R3 2 Verallgemeinerung 3 Koordinatenlinien in speziellen Koordinatensystemen 4 Lokale Basisvektoren 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition fur kartesische Koordinaten im R3 BearbeitenSei x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 mid y 0 mid z 0 nbsp ein Punkt des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Die Koordinatenlinien durch diesen Punkt sind die drei Kurven k 1 x x y 0 z 0 x R k 2 y x 0 y z 0 y R k 3 z x 0 y 0 z z R displaystyle vec k 1 x begin pmatrix x y 0 z 0 end pmatrix x in mathbb R quad vec k 2 y begin pmatrix x 0 y z 0 end pmatrix y in mathbb R quad vec k 3 z begin pmatrix x 0 y 0 z end pmatrix z in mathbb R nbsp Das bedeutet zwei der drei Koordinaten sind konstant und die dritte ist der Kurvenparameter Verallgemeinerung BearbeitenDie Definition der Koordinatenlinie kann in entsprechender Weise alle bis auf eine Koordinate bleiben jeweils konstant auf andere Koordinatensysteme und Raume hoherer Dimension sowie auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden An Koordinatensingularitaten in krummlinigen Koordinaten entarten Koordinatenlinien zu Punkten Koordinatenlinien in speziellen Koordinatensystemen BearbeitenGeradlinige Koordinatensysteme In kartesischen Koordinatensystemen und affinen Koordinatensystemen sind alle Koordinatenlinien Geraden die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen Krummlinige Koordinatensysteme In einer Ebene mit Polarkoordinaten r f displaystyle r varphi nbsp sind Koordinatenlinien Geraden durch den Ursprung bzw Kreise um den Ursprung Der Koordinatenursprung selbst ist ein zum Punkt entarteter Kreis r 0 displaystyle r 0 nbsp Die Koordinate f displaystyle varphi nbsp ist dort beliebig andert aber die Position nicht Koordinatenlinien in Zylinderkoordinaten r f z displaystyle r varphi z nbsp sind Geraden die die z Achse senkrecht schneiden Kreise um die z Achse bzw Parallelen zur z Achse Punkte auf der z Achse sind entartete Kreise f displaystyle varphi nbsp beliebig Koordinatenlinien in Kugelkoordinaten r f 8 displaystyle r varphi theta nbsp sind Geraden durch den Ursprung Kreise um die Polachse bzw Kreise um den Ursprung die von der Polachse halbiert werden Punkte auf der Polachse sind entartete Kreise der Ursprung selbst sogar vielfach f displaystyle varphi nbsp oder 8 displaystyle theta nbsp beliebig Lokale Basisvektoren BearbeitenIn geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis fur den gesamten Vektorraum in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden Die lokalen Basisvektoren verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Winkel zwischen den Basisvektoren bestimmt werden Die Polar Zylinder und Kugelkoordinaten erweisen sich dabei als orthogonale Koordinatensysteme Mit Hilfe der lokalen Basisvektoren lassen sich ausserdem der metrische Tensor sowie das Linien Flachen und Volumenelement fur die Integralrechnung bestimmen In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflachen Fur Beispiele siehe die Artikel uber die jeweiligen Koordinatensysteme Siehe auch BearbeitenKoordinatenflache Kovariante Basis bei krummlinigen Koordinaten Kontravariante Basis bei krummlinigen Koordinaten FunktionaldeterminanteLiteratur BearbeitenK Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 W Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 Springer Vieweg ISBN 978 3 658 25271 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatenlinie amp oldid 229756775