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Koordinatensingularität In der Physik spricht man von einer wenn in einem Koordinatensystem aufgrund seiner besonderen E

Koordinatensingularität

In der Physik spricht man von einer Koordinatensingularität, wenn in einem Koordinatensystem aufgrund seiner besonderen Eigenschaften für einen bestimmten Punkt keine eindeutigen Koordinaten angegeben werden können. So sind zum Beispiel an Nord- und Südpol der Erde eindeutige Angaben zur geografischen Länge weder möglich noch erforderlich, da sich alle Längenkreise in diesem Punkt schneiden. Anders als eine physikalische Singularität ist eine Koordinatensingularität für einen Beobachter ohne Auffälligkeit, da sie nur aufgrund der Eigenschaften des Koordinatensystems erscheint. Sie verschwindet bei Anwendung eines geeigneteren Koordinatensystems.

Koordinatensingularitäten an Nord- und Südpol einer Sphäre bei Verwendung geographischer Koordinaten

Definition Bearbeiten

Eine Koordinatensingularität liegt an den Punkten vor, an denen eine Größe ihren zulässigen Wertebereich verlässt oder nicht eindeutig ist, sich dies aber durch die Wahl eines anderen Koordinatensystems beheben lässt.

Beschreibung Bearbeiten

Koordinatensingularitäten können in verschiedenen Situationen auftreten. Beispielsweise entsteht eine Koordinatensingularität an einem Punkt einer -dimensionalen Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums mit oder einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit dieser Dimension, wenn dieser Punkt in dem gewählten Koordinatensystem keine eindeutigen Koordinaten hat. Die Natur einer solchen Koordinatensingularität erkennt man, wenn man ein anderes Koordinatensystem betrachtet, in dem der Punkt eindeutige Koordinaten besitzt. Im Fall des euklidischen Raums können dies kartesische Koordinaten sein, im Fall von Mannigfaltigkeiten kann dies mit einer Karte geschehen. Dann gibt es eine Koordinatentransformation der Form

die allerdings an einer Koordinatensingularität nicht invertierbar ist. Ist die Koordinatentransformation komponentenweise differenzierbar, was bei gängigen Koordinatensystemen der Fall ist, dann ist die Jacobi-Matrix

an einer Koordinatensingularität singulär, daher die Bezeichnung „Koordinatensingularität“.

Beispiele Bearbeiten

Polarkoordinaten Bearbeiten

Polarkoordinaten

Im Polarkoordinatensystem wird jeder Punkt der Ebene durch eine Radialkoordinate und eine Winkelkoordinate beschrieben. Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erfolgt durch die Koordinatentransformation

Im Nullpunkt erhält man dabei eine Koordinatensingularität: ist , so ist das Ergebnis der Transformation unabhängig von der Winkelkoordinate . In Polarkoordinaten hat der Nullpunkt damit keine eindeutige Darstellung. Erweitert man Polarkoordinaten um eine Höhenkoordinate , die den Abstand von der Ebene des Polarkoordinatensystems angibt,

erhält man Zylinderkoordinaten des Raumes, die an allen Punkten singulär sind.

Kugelkoordinaten Bearbeiten

Kugelkoordinaten

Im Kugelkoordinatensystem wird jeder Punkt des Raums durch eine Radialkoordinate und zwei Winkelkoordinaten und beschrieben. Die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten erfolgt durch die Koordinatentransformation

Man erhält durch diese Transformation die folgenden Koordinatensingularitäten:

  • ist , so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt auf der positiven z-Achse unabhängig von der Winkelkoordinate
  • ist , so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt auf der negativen z-Achse unabhängig von der Winkelkoordinate
  • ist , so ist das Ergebnis der Transformation der Nullpunkt unabhängig von beiden Winkelkoordinaten und

In Kugelkoordinaten hat somit die gesamte z-Achse keine eindeutige Darstellung. Durch Setzen von erhält man sphärische Koordinaten (geographische Koordinaten) auf der Kugeloberfläche, die nur an den beiden Polen und singulär sind.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Franz Embacher: Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik. 2. überarbeitete Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0948-3, S. 167 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Hans Jörg Dirschmid: Tensoren und Felder. 1. Auflage. Springer, Wien 1996, ISBN 3-211-82754-4, S. 492 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Thomas Filk, Domenico Giulini: Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit. 1. Auflage. Beck, München 2004, ISBN 3-406-52187-8, S. 243 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hans-Jürgen Schmidt: Einsteins Arbeiten in Bezug auf die moderne Kosmologie. 2005, S. 2 (Online [PDF; 146 kB]).
  2. Hilmar W. Duerbeck, Wolfgang R. Dick (Hrsg.): Einsteins Kosmos: Untersuchungen zur Geschichte der Kosmologie. 2005, ISBN 3-8171-1770-1, S. 110.
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In der Physik spricht man von einer Koordinatensingularitat wenn in einem Koordinatensystem aufgrund seiner besonderen Eigenschaften fur einen bestimmten Punkt keine eindeutigen Koordinaten angegeben werden konnen So sind zum Beispiel an Nord und Sudpol der Erde eindeutige Angaben zur geografischen Lange weder moglich noch erforderlich da sich alle Langenkreise in diesem Punkt schneiden Anders als eine physikalische Singularitat ist eine Koordinatensingularitat fur einen Beobachter ohne Auffalligkeit da sie nur aufgrund der Eigenschaften des Koordinatensystems erscheint Sie verschwindet bei Anwendung eines geeigneteren Koordinatensystems Koordinatensingularitaten an Nord und Sudpol einer Sphare bei Verwendung geographischer Koordinaten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beschreibung 3 Beispiele 3 1 Polarkoordinaten 3 2 Kugelkoordinaten 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Koordinatensingularitat liegt an den Punkten vor an denen eine Grosse ihren zulassigen Wertebereich verlasst oder nicht eindeutig ist sich dies aber durch die Wahl eines anderen Koordinatensystems beheben lasst 1 2 Beschreibung BearbeitenKoordinatensingularitaten konnen in verschiedenen Situationen auftreten Beispielsweise entsteht eine Koordinatensingularitat an einem Punkt einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Untermannigfaltigkeit des euklidischen Raums R m displaystyle mathbb R m nbsp mit m n displaystyle m geq n nbsp oder einer abstrakten Mannigfaltigkeit dieser Dimension wenn dieser Punkt in dem gewahlten Koordinatensystem keine eindeutigen Koordinaten v 1 v n displaystyle v 1 ldots v n nbsp hat Die Natur einer solchen Koordinatensingularitat erkennt man wenn man ein anderes Koordinatensystem betrachtet in dem der Punkt eindeutige Koordinaten x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp besitzt Im Fall des euklidischen Raums konnen dies kartesische Koordinaten sein im Fall von Mannigfaltigkeiten kann dies mit einer Karte geschehen Dann gibt es eine Koordinatentransformation T displaystyle T nbsp der Form x 1 x n T v 1 v n displaystyle x 1 ldots x n T v 1 ldots v n nbsp die allerdings an einer Koordinatensingularitat nicht invertierbar ist Ist die Koordinatentransformation T displaystyle T nbsp komponentenweise differenzierbar was bei gangigen Koordinatensystemen der Fall ist dann ist die Jacobi Matrix J T x 1 x n v 1 v n displaystyle J T frac partial x 1 ldots x n partial v 1 ldots v n nbsp an einer Koordinatensingularitat singular daher die Bezeichnung Koordinatensingularitat Beispiele BearbeitenPolarkoordinaten Bearbeiten nbsp Polarkoordinaten r 8 displaystyle r theta nbsp Im Polarkoordinatensystem wird jeder Punkt der Ebene durch eine Radialkoordinate r R displaystyle r in mathbb R nbsp und eine Winkelkoordinate 8 p p displaystyle theta in pi pi nbsp beschrieben Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten x y R 2 displaystyle x y in mathbb R 2 nbsp erfolgt durch die Koordinatentransformation x r cos 8 displaystyle x r cdot cos theta nbsp y r sin 8 displaystyle y r cdot sin theta nbsp Im Nullpunkt 0 0 displaystyle 0 0 nbsp erhalt man dabei eine Koordinatensingularitat ist r 0 displaystyle r 0 nbsp so ist das Ergebnis der Transformation unabhangig von der Winkelkoordinate 8 displaystyle theta nbsp In Polarkoordinaten hat der Nullpunkt damit keine eindeutige Darstellung Erweitert man Polarkoordinaten um eine Hohenkoordinate h displaystyle h nbsp die den Abstand von der Ebene des Polarkoordinatensystems angibt z h displaystyle z h nbsp erhalt man Zylinderkoordinaten des Raumes die an allen Punkten 0 0 z displaystyle 0 0 z nbsp singular sind Kugelkoordinaten Bearbeiten nbsp Kugelkoordinaten r ϕ 8 displaystyle r phi theta nbsp Im Kugelkoordinatensystem wird jeder Punkt des Raums durch eine Radialkoordinate r R displaystyle r in mathbb R nbsp und zwei Winkelkoordinaten ϕ p p displaystyle phi in pi pi nbsp und 8 0 p displaystyle theta in 0 pi nbsp beschrieben Die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten x y z R 3 displaystyle x y z in mathbb R 3 nbsp erfolgt durch die Koordinatentransformation x r sin 8 cos f displaystyle x r cdot sin theta cdot cos varphi nbsp y r sin 8 sin f displaystyle y r cdot sin theta cdot sin varphi nbsp z r cos 8 displaystyle z r cdot cos theta nbsp Man erhalt durch diese Transformation die folgenden Koordinatensingularitaten ist 8 0 displaystyle theta 0 nbsp so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt 0 0 r displaystyle 0 0 r nbsp auf der positiven z Achse unabhangig von der Winkelkoordinate f displaystyle varphi nbsp ist 8 p displaystyle theta pi nbsp so ist das Ergebnis der Transformation der Punkt 0 0 r displaystyle 0 0 r nbsp auf der negativen z Achse unabhangig von der Winkelkoordinate f displaystyle varphi nbsp ist r 0 displaystyle r 0 nbsp so ist das Ergebnis der Transformation der Nullpunkt 0 0 0 displaystyle 0 0 0 nbsp unabhangig von beiden Winkelkoordinaten f displaystyle varphi nbsp und 8 displaystyle theta nbsp In Kugelkoordinaten hat somit die gesamte z Achse keine eindeutige Darstellung Durch Setzen von r 1 displaystyle r 1 nbsp erhalt man spharische Koordinaten geographische Koordinaten auf der Kugeloberflache die nur an den beiden Polen 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp und 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp singular sind Siehe auch BearbeitenSchwarzschild MetrikLiteratur BearbeitenFranz Embacher Mathematische Grundlagen fur das Lehramtsstudium Physik 2 uberarbeitete Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2011 ISBN 978 3 8348 0948 3 S 167 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Hans Jorg Dirschmid Tensoren und Felder 1 Auflage Springer Wien 1996 ISBN 3 211 82754 4 S 492 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Thomas Filk Domenico Giulini Am Anfang war die Ewigkeit auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit 1 Auflage Beck Munchen 2004 ISBN 3 406 52187 8 S 243 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Einzelnachweise Bearbeiten Hans Jurgen Schmidt Einsteins Arbeiten in Bezug auf die moderne Kosmologie 2005 S 2 Online PDF 146 kB Hilmar W Duerbeck Wolfgang R Dick Hrsg Einsteins Kosmos Untersuchungen zur Geschichte der Kosmologie 2005 ISBN 3 8171 1770 1 S 110 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatensingularitat amp oldid 223995423