In der Mathematik und Geodäsie versteht man unter einem Polarkoordinatensystem (auch: Kreiskoordinatensystem) ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt in einer Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt und durch den Winkel zu einer festen Richtung festgelegt wird.
Der feste Punkt wird als Pol bezeichnet; er entspricht dem Ursprung bei einem kartesischen Koordinatensystem. Der vom Pol in der festgelegten Richtung ausgehende Strahl heißt Polarachse. Der Abstand vom Pol wird meist mit oder bezeichnet und heißt Radius oder Radialkoordinate, der Winkel wird mit oder bezeichnet und heißt Winkelkoordinate, Polarwinkel, Azimut oder Argument.
Polarkoordinaten bilden einen Spezialfall von orthogonalen krummlinigen Koordinaten. Sie sind hilfreich, wenn sich das Verhältnis zwischen zwei Punkten leichter durch Winkel und Abstände beschreiben lässt, als dies mit - und -Koordinaten der Fall wäre. In der Geodäsie sind Polarkoordinaten die häufigste Methode zur Einmessung von Punkten (Polarmethode). In der Funknavigation wird das Prinzip oft als „Rho-Theta“ (für Distanz- und Richtungsmessung) bezeichnet.
In der Mathematik wird die Winkelkoordinate im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) gemessen. Wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem benutzt, so dient in der Regel dessen Koordinatenursprung als Pol und die -Achse als Polarachse. Die Winkelkoordinate wird also von der -Achse aus in Richtung der -Achse gemessen. In der Geodäsie und in der Navigation wird das Azimut von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen.
Polarkoordinatenpapier ist mit einem Polarkoordinatensystem bedruckt.
Geschichte Bearbeiten
Die Begriffe Winkel und Radius wurden bereits von den Menschen des Altertums im ersten Jahrtausend vor Christus verwendet. Der griechische Astronom Hipparchos (190–120 v. Chr.) erstellte eine Tafel von trigonometrischen Sehnenfunktionen, um die Länge der Sehne für die einzelnen Winkel zu finden. Mit Hilfe dieser Grundlage war es ihm möglich, die Polarkoordinaten zu nutzen, um damit die Position bestimmter Sterne festlegen zu können. Sein Werk umfasste jedoch nur einen Teil des Koordinatensystems.
In seiner Abhandlung Über Spiralen beschreibt Archimedes eine Spirallinie mit einer Funktion, deren Radius sich abhängig von seinem Winkel ändert. Die Arbeit des Griechen umfasste jedoch noch kein volles Koordinatensystem.
Es gibt verschiedene Beschreibungen, um das Polarkoordinatensystem als Teil eines formalen Koordinatensystems zu definieren. Die gesamte Historie zu diesem Thema wird in dem Aufsatz Origin of Polar Coordinates (Ursprung der Polarkoordinaten) des Harvard-Professors Julian Coolidge zusammengefasst und erläutert. Demnach führten Grégoire de Saint-Vincent und Bonaventura Cavalieri diese Konzeption unabhängig voneinander in der Mitte des 17. Jahrhunderts ein. Saint-Vincent schrieb im Jahre 1625 auf privater Basis über dieses Thema und veröffentlichte seine Arbeit 1647, während Cavalieri seine Ausarbeitung 1635 veröffentlichte, wobei eine korrigierte Fassung 1653 erschien. Cavalieri benutzte Polarkoordinaten anfangs, um ein Problem in Bezug auf die Fläche der Archimedischen Spirale zu lösen. Etwas später verwendete Blaise Pascal Polarkoordinaten, um die Länge von parabolischen Winkeln zu berechnen.
In dem Werk Method of Fluxions (Fluxionsmethode) (geschrieben 1671, veröffentlicht 1736) betrachtet Sir Isaac Newton die Transformation zwischen Polarkoordinaten, auf die er sich als „Seventh Manner; For Spirals“, (Siebte Methode; Für Spiralen) bezog, und neun anderen Koordinatensystemen.
Es folgte Jacob Bernoulli, der in der Fachzeitschrift Acta Eruditorum (1691) ein System verwendete, das aus einer Geraden und einem Punkt auf dieser Geraden bestand, die er Polarachse bzw. Pol nannte. Die Koordinaten wurden darin durch den Abstand von dem Pol und dem Winkel zu der Polarachse festgelegt. Bernoullis Arbeit reichte bis zu der Formulierung des Krümmungskreises von Kurven, die er durch die genannten Koordinaten ausdrückte.
Der heute gebräuchliche Begriff Polarkoordinaten wurde von Gregorio Fontana schließlich eingeführt und in italienischen Schriften des 18. Jahrhunderts verwendet. Im Folgenden übernahm George Peacock im Jahre 1816 diese Bezeichnung in die englische Sprache, als er die Arbeit von Sylvestre Lacroix Differential and Integral Calculus (Differential und Integralberechnung) in seine Sprache übersetzte.
Alexis-Claude Clairaut hingegen war der erste, der über Polarkoordinaten in drei Dimensionen nachdachte, deren Entwicklung jedoch erst dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler gelang.
Polarkoordinaten in der Ebene: Kreiskoordinaten Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Die Polarkoordinaten eines Punktes in der euklidischen Ebene (ebene Polarkoordinaten) werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.
Das Polarkoordinatensystem ist dadurch eindeutig festgelegt, dass ein ausgezeichneter Punkt, auch Pol genannt, den Ursprung/Nullpunkt des Koordinatensystems bildet. Ferner wird ein von ihm ausgehender Strahl als sogenannte Polachse ausgezeichnet. Letztlich muss noch eine Richtung (von zwei möglichen), die senkrecht zu dieser Polachse ist, als positiv definiert werden, um den Drehsinn / die Drehrichtung / die Orientierung festzulegen. Nun lässt sich ein Winkel, der Polarwinkel, zwischen einem beliebigen Strahl, der durch den Pol geht, und dieser ausgezeichneten Polachse definieren. Er ist nur bis auf ganzzahlige Umdrehungen um den Pol eindeutig, unabhängig davon, was als Winkelmaß für ihn gewählt wird. Auf der Polachse selbst erfolgt noch eine beliebige, aber feste Skalierung, um die radiale Einheitslänge zu definieren. Nun kann jedem Paar ein Punkt der Ebene eindeutig zugeordnet werden, wobei man die erste Komponente als radiale Länge und die zweite als polaren Winkel ansieht. Solch ein Zahlenpaar bezeichnet man als (nicht notwendigerweise eindeutige) Polarkoordinaten eines Punktes in dieser Ebene.
Die Koordinate , eine Länge, wird als Radius (in der Praxis auch als Abstand) und die Koordinate als (Polar)winkel oder, in der Praxis (gelegentlich) auch als Azimut bezeichnet.
In der Mathematik wird meistens der Winkel im Gegenuhrzeigersinn als positiv definiert, wenn man senkrecht von oben auf die Ebene (Uhr) schaut. Also geht die Drehrichtung von rechts nach oben (und weiter nach links). Als Winkelmaß wird dabei der Radiant als Winkeleinheit bevorzugt, weil es dann analytisch am elegantesten zu handhaben ist. Die Polarachse zeigt in grafischen Darstellungen des Koordinatensystems typischerweise nach rechts.
Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten Bearbeiten
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten Bearbeiten
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie das Polarkoordinatensystem, dabei die -Achse in der Richtung der Polarachse, und schließlich die positive -Achse in Richtung des positiven Drehsinnes wählt – wie in der Abbildung oben rechts dargestellt –, so ergibt sich für die kartesischen Koordinaten und eines Punktes:
Mit komplexen Zahlen und komplexwertigen Funktionen lässt sich dies schreiben als
Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten Bearbeiten
Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger, weil man mathematisch gesehen dabei immer auf eine (nicht den gesamten Wertebereich des Vollwinkels umfassende) trigonometrische Umkehrfunktion angewiesen ist. Zunächst kann aber der Radius mit dem Satz des Pythagoras einfach wie folgt berechnet werden:
Bei der Bestimmung des Winkels müssen zwei Besonderheiten der Polarkoordinaten berücksichtigt werden:
- Für ist der Winkel nicht eindeutig bestimmt, sondern könnte jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Für eine eindeutige Transformationsvorschrift wird er häufig zu 0 definiert. Die nachfolgenden Formeln sind zur Vereinfachung ihrer Herleitung und Darstellung unter der Voraussetzung angegeben.
- Für ist der Winkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von bestimmt, da die Winkel und (für ) den gleichen Punkt beschreiben. Zum Zwecke einer einfachen und eindeutigen Transformationsvorschrift wird der Winkel auf ein halboffenes Intervall der Länge beschränkt. Üblicherweise werden dazu je nach Anwendungsgebiet die Intervalle oder gewählt.
Für die Berechnung von kann jede der Gleichungen
benutzt werden. Allerdings ist der Winkel dadurch nicht eindeutig bestimmt, auch nicht im Intervall oder , weil keine der drei Funktionen , und in diesen Intervallen injektiv ist. Die letzte Gleichung ist außerdem für nicht definiert. Deshalb ist eine Fallunterscheidung nötig, die davon abhängt, in welchem Quadranten sich der Punkt befindet, das heißt von den Vorzeichen von und .
Mit komplexen Zahlen und komplexwertigen Funktionen lässt sich die Transformation schreiben als
Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π] bzw. (−180°,180°] Bearbeiten
Mit Hilfe des Arkustangens kann wie folgt im Intervall bzw. bestimmt werden:
Einige Programmiersprachen (so zuerst Fortran 77) und Anwendungsprogramme (etwa Microsoft Excel) bieten eine Arkustangens-Funktion mit zwei Argumenten an, welche die dargestellten Fallunterscheidungen intern berücksichtigt und für beliebige Werte von und berechnet.
Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man den Punkt in der kartesischen Ebene als komplexe Zahl auffasst und den Winkel
mittels der Argument-Funktion berechnet oder den Imaginärteil des Logarithmus von nimmt.
Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:
Durch Ausnutzen der Tatsache, dass in einem Kreis ein Mittelpunktswinkel stets doppelt so groß ist wie der zugehörige Umfangswinkel, kann das Argument auch mit Hilfe der Arkustangens-Funktion mit weniger Fallunterscheidungen berechnet werden:
Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π) bzw. [0, 360°) Bearbeiten
Die Berechnung des Winkels im Intervall bzw. kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall berechnet wird und, nur falls er negativ ist, noch um vergrößert wird:
Durch Abwandlung der ersten obenstehenden Formel kann wie folgt direkt im Intervall bestimmt werden:
Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:
Verschiebung des Winkels Bearbeiten
Bei geodätischen oder anderen Berechnungen können sich Azimute mit Werten außerhalb des üblichen Intervalls mit der unteren Grenze (oder auch ) ergeben. Die Gleichung
verschiebt in das gewünschte Intervall, sodass also gilt. Dabei ist die zur nächsten Ganzzahl abrundende Floor-Funktion, also für jedes reelle die größte ganze Zahl, die nicht größer als ist.
Koordinatenlinien Bearbeiten
Die beiden Koordinatenlinien durch den Punkt mit sind die Kurven
also eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt, sowie ein Kreis mit dem Radius und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt.
Lokale Basisvektoren und Orthogonalität Bearbeiten
In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren und an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus den Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor
nach den Koordinaten und :
Die Basisvektoren haben die Längen
und sind zueinander orthogonal, denn es gilt:
Die entsprechenden Koordinatenlinien schneiden sich also rechtwinklig, die Polarkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.
In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet.
Metrischer Tensor Bearbeiten
Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren:
Nach den Rechnungen im vorigen Abschnitt ist damit
Funktionaldeterminante Bearbeiten
Aus den Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erhält man für die Funktionaldeterminante als Determinante der Jacobi-Matrix:
Flächenelement Bearbeiten
Mit der Funktionaldeterminante ergibt sich für das Flächenelement in Polarkoordinaten:
Wie das nebenstehende Bild zeigt, lässt sich das Flächenelement als ein differentielles Rechteck mit der Breite und der Höhe interpretieren.
Linienelement Bearbeiten
Aus den obigen Transformationsgleichungen
folgen
Für das kartesische Linienelement gilt
wofür in Polarkoordinaten folgt:
Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten Bearbeiten
Mit den lokalen Basiseinheitsvektoren
ergibt sich für den Ortsvektor :
Ist der Ortsvektor abhängig von der Zeit, so müssen die Variablen und und damit auch die lokalen Basisvektoren abgeleitet werden:
Mit der Produktregel ergibt sich somit für den Geschwindigkeitsvektor :
Eine entsprechende Rechnung führt für die Beschleunigung zu dem Ergebnis
Räumliche Polarkoordinaten: Zylinder-, Kegel- und Kugelkoordinaten Bearbeiten
Zylinderkoordinaten Bearbeiten
Zylinderkoordinaten oder zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes senkrecht über (oder unter) der Ebene des Polarkoordinatensystems und wird im Allgemeinen mit bezeichnet. Die Koordinate beschreibt jetzt nicht mehr den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der -Achse.
Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten Bearbeiten
Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die -Achsen zusammenfallen, die -Achse in Richtung zeigt und der Winkel von der -Achse zur -Achse wächst (rechtsgerichtet ist), dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:
Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für und die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.
Für Punkte auf der z-Achse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung: hier ist , aber beliebig.
Koordinatenlinien und Koordinatenflächen Bearbeiten
Für die Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor
ergeben sich für einen Punkt
- die Koordinatenlinien, indem man jeweils zwei der drei Koordinaten fest lässt und die dritte den Kurvenparameter darstellt
- die Koordinatenflächen, indem man eine der drei Koordinaten fest lässt und die beiden anderen die Fläche parametrisieren.
Jeweils zwei Koordinatenflächen schneiden sich in einer Koordinatenlinie. Koordinatenlinien und Koordinatenflächen dienen dazu, die lokalen Basisvektoren (siehe unten) zu berechnen.
Durch den Punkt mit verlaufen drei Koordinatenlinien. Es handelt sich dabei
- für als Kurvenparameter um eine Halbgerade, die im Punkt beginnt und senkrecht zur z-Achse verläuft
- für als Kurvenparameter um einen Kreis senkrecht zur z-Achse mit dem Mittelpunkt und Radius
- für als Kurvenparameter um eine Gerade parallel zur z-Achse.
Als Koordinatenflächen durch den Punkt mit ergeben sich
- für konstanten Radius eine Zylinderfläche mit der z-Achse als Zylinderachse
- für festen Winkel eine Halbebene mit der z-Achse als Rand
- für konstanten Wert von eine Ebene senkrecht zur z-Achse.
Lokale Basisvektoren und Orthogonalität Bearbeiten
In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren , und an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus deren Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor nach den Koordinaten , und :
Die Basisvektoren haben die Längen
und sind zueinander orthogonal. Eine Normierung ergibt die Einheitsvektoren:
Die Basisvektoren , und sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet. Die kontravarianten Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.
Metrischer Tensor Bearbeiten
Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren:
Nach den vorangegangenen Rechnungen ist damit
Funktionaldeterminante Bearbeiten
Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:
Folglich ergibt sich für das Volumenelement :
Das entspricht auch der Quadratwurzel des Betrags der Determinante des metrischen Tensors, mit dessen Hilfe die Koordinatentransformation berechnet werden kann (siehe dazu Laplace-Beltrami-Operator).
Vektoranalysis Bearbeiten
Die folgenden Darstellungen des Nabla-Operators können in der gegebenen Form direkt auf skalare oder vektorwertige Felder in Zylinderkoordinaten angewendet werden. Man verfährt hierbei analog zur Vektoranalysis in kartesischen Koordinaten.
Gradient Bearbeiten
Die Darstellung des Gradienten überträgt sich wie folgt von kartesischen in Zylinderkoordinaten:
Divergenz Bearbeiten
Bei der Divergenz kommen noch weitere Terme hinzu, die sich aus den Ableitungen der von , und abhängigen Einheitsvektoren ergeben:
Rotation Bearbeiten
Die Darstellung der Rotation ist wie folgt:
Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Zylinderkoordinaten Bearbeiten
Mit den lokalen Basiseinheitsvektoren
ergibt sich für den Ortsvektor :
Ist der Ortsvektor abhängig von der Zeit, so müssen die Variablen , und und damit auch die davon abhängigen lokalen Basisvektoren abgeleitet werden:
Mit der Produktregel ergibt sich somit für den Geschwindigkeitsvektor :
Eine entsprechende Rechnung führt für die Beschleunigung zu dem Ergebnis
Kegelkoordinaten (Koordinaten-Transformation) Bearbeiten
Parameterdarstellung Bearbeiten
Die Parameterdarstellung des Kegels kann man wie folgt beschreiben. Mit der Abbildung lassen sich die Kegelkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Mit der Abbildung lassen sich die kartesischen Koordinaten in Kegelkoordinaten umrechnen.
Die Parameter eines Kegelsegments seien gegeben durch (siehe nebenstehende Abbildung):
Dann lassen sich die Grenzen in Kegelparametern wie folgt ausdrücken:
Die Parameter eines soliden Kegelsegmentes bewegen sich also im Bereich:
Für die entsprechende Mantelfläche dieses Kegelsegmentes gilt folgende Parameterdarstellung:
Flächennormalenvektor Bearbeiten
Der Flächennormalenvektor ist orthogonal zur Mantelfläche des Kegels. Er wird benötigt, um z. B. Flussberechnungen durch die Mantelfläche durchzuführen. Den Flächeninhalt der Mantelfläche lässt sich als Doppelintegral über die Norm des Flächennormalenvektors berechnen.
Einheitsvektoren der Kegelkoordinaten in kartesischen Komponenten Bearbeiten
Die Einheitsvektoren in kartesischen Komponenten erhält man durch Normierung der Tangentenvektoren der Parametrisierung. Der Tangentenvektor ergibt sich durch die erste partielle Ableitung nach der jeweiligen Variablen. Diese drei Einheitsvektoren bilden eine Normalbasis. Es handelt sich hierbei nicht um eine Orthonormalbasis, da nicht alle Einheitsvektoren orthogonal zueinander sind.
Transformationsmatrizen Bearbeiten
Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) Bearbeiten
Die Funktionalmatrix und ihre Inverse werden benötigt, um später die partiellen Ableitungen zu transformieren.
Transformationsmatrix S Bearbeiten
Die Transformationsmatrix wird benötigt, um die Einheitsvektoren und Vektorfelder zu transformieren. Die Matrix setzt sich aus den Einheitsvektoren der Parametrisierung als Spaltenvektoren zusammen. Genaueres findet man unter dem Artikel Basiswechsel.
Transformation der partiellen Ableitungen Bearbeiten
Die partiellen Ableitungen lassen sich mit der inversen Jacobi-Matrix transformieren.
Als Ergebnis erhält man:
Transformation der Einheitsvektoren Bearbeiten
Die Einheitsvektoren lassen sich mit der inversen Transformationsmatrix transformieren.
Als Ergebnis erhält man:
Transformation von Vektorfeldern Bearbeiten
Vektorfelder lassen sich durch Matrixmultiplikation mit der Transformationsmatrix transformieren.
Als Ergebnis erhält man:
Oberflächen- und Volumendifferential Bearbeiten
Das Volumendifferential lässt sich über die Determinante der Jacobi-Matrix angeben. Dies bietet die Möglichkeit z. B. das Volumen eines Kegels per Dreifachintegral zu berechnen.
Das Oberflächendifferential lässt sich mit der Norm des Flächennormalenvektors angeben. Damit kann man z. B. per Doppelintegral den Flächeninhalt der Mantelfläche bestimmen.
Transformierte Vektor-Differentialoperatoren Bearbeiten
Nabla-Operator Bearbeiten
Eine Darstellung des Nabla-Operators in Kegelkoordinaten erhält man, indem man die transformierten Einheitsvektoren und partielle Ableitungen in den kartesischen Nabla-Operator einsetzt:
Gradient Bearbeiten
Den Gradienten in Kegelkoordinaten erhält man, indem man den transformieren Nabla-Operator auf ein Skalarfeld in Kegelkoordinaten anwendet.