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arctan2 Die mathematische Funktion auch atan2 ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie dies

arctan2

Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.

Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Information, um den Funktionswert in einem Wertebereich von (also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken.

Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion die beiden kartesischen Koordinaten als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel , der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen


erfüllt.


Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch anstatt

Das kommt von der Definitionsmenge der Funktion der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer Null, der multiplikativen Gruppe Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag

Lösung: Zwei Argumente Bearbeiten

Zwei vom Ursprung verschiedene Punkte und spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf demselben Strahl durch liegen. Dann sind sie bezüglich der durch

definierten Relation äquivalent. Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe, wenn der Strahl um oder , also genau in den Gegenstrahl, weitergedreht ist. Informationstheoretisch betrachtet lässt der Tangens die Vorzeicheninformation von (rot in den Formeln) unter den Tisch fallen:

 

man nehme nur .

Abb. 1: Graph der Arkustangensfunktion  über .
In blauen römischen Ziffern die jeweils 2 Quadranten in der Ziel-Ebene für positives oder negatives .
Die 2 Asymptoten in −·−·−.

Da der Tangens mit periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt, muss für seine Umkehrung (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden) sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlänge eingeschränkt werden – in diesem Artikel auf das Intervall (s. Abb. 1). Das hat zur Folge, dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein größeres Bild als haben kann. Dabei ist die ganze reelle Achse als Definitionsbereich des Arkustangens zulässig, weil das Bild des Tangens unter gerade ist.

Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo (bspw. im Intervall wie der Abb. 3) und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können.

Implementierungen Bearbeiten

Die erste Implementierung war nicht später als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran. Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden.

Die Funktion hat häufig den Namen , so bei den Programmiersprachen Fortran 77, C, C++, Java, Python, Matlab, R, iWork Numbers, LibreOffice Calc. In vielen dieser Programmiersprachen (nicht bspw. bei LibreOffice Calc) ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt, also die -Koordinate das erste Argument – und das, obwohl es hier auf die Polarachse, die üblicherweise mit der -Achse identifiziert wird, in ganz besonderem Maße ankommt. Denn es hat gleich Null zu sein für genau die Punkte auf dieser Achse. Deshalb sollte es, wenn es um die übliche -Ebene geht, bei der Erstnennung der -Achse bleiben; die -Achse ergänzt dabei nur noch die Richtung, in welche der Polarwinkel zunimmt. In Common Lisp, wo optionale Argumente existieren, erlaubt die -Funktion, die -Koordinate als optionales zweites Argument zu übergeben, wobei die Standardannahme ist.

Ein weiterer vorkommender Name ist , so bei den Tabellenkalkulationen Excel und OpenOffice Calc.

In Mathematica ist eine Funktion definiert, bei der das erste Argument weggelassen werden kann.

Seit der Einführung des FPU-Befehlssatzes x87 von Intel im Jahr 1980 kennen die x87-Prozessoren einen Befehl mit im Prinzip derselben Reihenfolge der Operanden und demselben Ergebnis.

Formel Bearbeiten

Die sechs Fälle der Funktionsdefinition

      oder  
für (Quadranten und )
  für (Quadrant )
für (oberer⁄unterer Rand der Bildmenge)
für (Quadrant )
für
für
Abb. 2: 5 Punkte ● (Halbgeraden, Strahlen) in der (x|y)-Ebene und ihr -Hauptwert

mit als der „gelochten“ Ebene lassen sich zur Formel

vereinigen. Die Funktion ist bis auf den Fall (die Sprungstelle, s. u.) punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:

Dem Argument wird manchmal der Funktionswert zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.

Der Genauigkeitsverlust der Division wegen lässt sich für bspw. durch die Umformung

verringern (s. jedoch auch den Abschnitt #Genauigkeitskontrolle).

Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels Bearbeiten

Abb. 3: Graph von  über  für .
In blauer römischer Ziffer derjenige Ziel-Quadrant des Polarwinkels , der dem -Quell-Quadranten entspricht.
Die 2 Asymptoten in −·−·−.

Bei zunehmendem Polarwinkel , das heißt bei einer Drehung im mathematischen Sinn (und entgegen dem Uhrzeigersinn), so bei der Wanderung vom Quadranten (entspricht ) über die Quadranten (entspricht ) und (entspricht ) zum Quadranten (entspricht ), beginnt eine Periode in der Abb. 3 unten am (Strahl durch und den) Punkt

,

von wo es auf dem roten Graphen von links unten nach rechts oben (immer in „ONO-Richtung“) weitergeht. Wie üblich soll in der Nähe der Null infinitesimal unterhalb und infinitesimal oberhalb bedeuten. Die Drehung führt weiter in den Quadranten über den (auf der 1. Winkelhalbierenden liegenden und in der Abb. 3 durch eine kleine rote Kreisfläche markierten) Punkt

,

zum Punkt

,

der einer der Polstellen des Tangens entspricht und deshalb für den Arkustangens ein unendlich ferner Punkt ist. Der -Wert wechselt (auf der waagrechten und strich-punktierten Asymptote) von nach , ein Sachverhalt, den auch der rote Kringel rechts im Quadranten als -Senke und der rote Knubbel links im Quadranten als -Quelle ausdrücken soll. Aus Sicht der Funktion geschieht aber nichts weiter, als dass der -Wert sich von zu ändert.

Die weitere Drehung führt durch den Quadranten über den markierten Punkt

zum Punkt

,

der im Koordinatenursprung liegt, und von dort durch den Quadranten über den markierten Punkt

,

zum Punkt

.

Dieser Punkt entspricht der anderen Polstelle des Tangens. Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke im Quadranten mit der Quelle im Quadranten statt wie oben beim Argument . Die weitere Drehung durch den Quadranten führt über den markierten Punkt

schließlich zur Sprungstelle

.

Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel entweder dem Fall in der Zeile darüber oder dem darunter zugeschlagen werden, wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also , oder eben umgekehrt .

Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten, dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden, dass

  • die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt (einem beliebigen Strahl) des Definitionsbereichs liegt;
  • auch bei einer Drehung über die Periodenlänge hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu- bzw. abnimmt. Hier kommt die Umlaufzahl ins Spiel.

Beispielsweise können in Anwendungen, bei denen es auf die Stetigkeit innerhalb einer Halbebene ankommt, folgende Formeln nützlich sein:

      für (Quadranten und )
      für (Quadranten und )
für (Quadranten und )
für (Quadranten und )
für (Quadranten und )
      für (Quadranten und )
      für (Quadranten und )

Die 7 Zeilen sind so angeordnet, dass die Werte zweier über einander stehender Funktionen im gemeinsamen Definitionsgebiet übereinstimmen. Wegen der Sprungstelle von beim Strahl ist Gleichheit mit einer der stetigen Funktionen nicht möglich.

Isomorphie zur Kreisgruppe Bearbeiten

Die präzise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild- wie auf der Bild-Seite zusätzlicher Hilfsabbildungen.

Auf der Definitionsmenge von kann man (in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen) die Verknüpfung

definieren. Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Äquivalenzrelation , und die Faktormenge

erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element und der Inversenbildung

Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung

weil äquivalente Repräsentanten denselben -Wert liefern. Aus der Summenformel des Arkustangens folgt

Wendet man auf die Funktion die Funktion

an, dann ergibt sich ein Homomorphismus mit

auf die Kreisgruppe , dessen Kern das neutrale Element mit ist. Sind und mit der natürlichen Topologie ausgestattet, dann ist in beiden Richtungen stetig, mithin ein Homöomorphismus.

Genauigkeitskontrolle Bearbeiten

Mit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel lässt sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe (des Arkustangens) kontrollieren und ggf. verbessern.

Der Winkel von zeichnet sich dadurch aus, dass er ein ganzzahliger Bruchteil, nämlich ein Achtel, des vollen Winkels von ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht. Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten, dass ihre Begrenzungen (die definitionsgemäß stets Strahlen sind) parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Bei Oktanten kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu. Die Feststellung, zu welchem der acht Oktanten ein Punkt gehört, ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach.

Im Folgenden wird versucht, einen beliebigen Strahl resp. Winkel mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall zu drehen. Dann ist nämlich der Absolutbetrag des Arguments in der Taylorreihe des Arkustangens .

In einer ersten Drehung wird der Strahl um gedreht, d. h. der Strahl

gebildet. Der Oktant, in den dieser Strahl fällt, sei der -te, und die Nummerierung der Oktanten sei so gewählt, dass der erste das Winkelintervall abdeckt:

Nummer des Oktanten
seine untere und obere Begrenzung
 
die obere als Strahl
die obere als Polarwinkel

Vom derart bestimmten Oktanten wird der obere begrenzende Strahl genommen, der durch einen Punkt aus der in der Tabelle gezeigten Menge von Strahlen charakterisiert werden kann. (Alle diese Punkte haben ganzzahlige Koordinaten, und beim ersten Oktanten ist bspw. .) Dann ist oder

Es folgt eine Drehung von , die zweite, jetzt um , so dass

im gewünschten Winkelintervall ist. Um diese zweite Drehung von mit ganzzahligem muss das Ergebnis, wenn der Arkustangens berechnet ist, korrigiert werden.

Die erste Drehung muss nur ungefähr betragen. Wenn sie davon etwas abweicht, etwa oder auch beträgt, dann wird der Strahl möglicherweise nicht so gut in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall eingepasst. Das Konvergenzverhalten verschlechtert sich aber wegen nur geringfügig auf .

Nach der zweiten Drehung kann die Taylorreihe (an der Entwicklungsstelle )

entwickelt und die abschließende Korrektur

vorgenommen werden.

  1. Der Ausgangsstrahl sei , was einem Winkel von ca. entspricht. Durch die -Addition von kommen wir auf , also in den -ten Oktanten. Dessen obere Begrenzung liegt bei . Wir bilden die Differenz und berechnen mit und korrigieren mit zum Endergebnis .
  2. Der Ausgangsstrahl sei , was einem Winkel von ca. entspricht. Durch die -Addition von kommen wir auf , also in den -ten Oktanten. Das obere Ende des Oktanten liegt bei . Da dieser Oktant die Sprungstelle enthält, setzen wir bei diesem -ten Oktanten im Fall den Korrekturwinkel auf . Wir bilden die Differenz
Veröffentlichungsdatum:
Die mathematische Funktion arctan2 auch atan2 ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente im Gegensatz zum normalen Arkustangens welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat Damit hat sie genugend Information um den Funktionswert in einem Wertebereich von 360 displaystyle 360 circ also allen vier Quadranten ausgeben zu konnen und muss sich nicht wie der normale Arkustangens auf zwei Quadranten beschranken Der volle Wertebereich wird haufig benotigt beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten wenn der Funktion arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y 1 f displaystyle varphi die beiden kartesischen Koordinaten x y displaystyle x y als Argumente gegeben werden erhalt man den Polarwinkel f displaystyle varphi der sich im richtigen Quadranten befindet d h der die Beziehungen x r cos f displaystyle x r cos varphi und y r sin f displaystyle y r sin varphi mit r x 2 y 2 displaystyle r textstyle sqrt x 2 y 2 erfullt Ein mathematisch nutzlicher Zusatzeffekt ist dass Winkel bei denen der Tangens eine Polstelle hat namlich die Winkel 90 p 2 displaystyle pm 90 circ pm pi 2 durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden konnen namlich durch p 2 arctan2 0 1 displaystyle pm pi 2 operatorname arctan2 0 pm 1 anstatt arctan displaystyle operatorname arctan pm infty Das kommt von der Definitionsmenge E R 2 0 0 displaystyle E mathbb R 2 setminus 0 0 der Funktion arctan2 displaystyle operatorname arctan2 der gelochten Ebene welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe C displaystyle mathbb C times der komplexen Zahlen ohne die Null Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe S displaystyle mathbb S der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor grosser Null der multiplikativen Gruppe R displaystyle mathbb R Erstere Gruppe lasst sich durch den Polarwinkel f displaystyle varphi parametrisieren zweitere durch den positiven Betrag r displaystyle r Inhaltsverzeichnis 1 Losung Zwei Argumente 2 Implementierungen 3 Formel 4 Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels 5 Isomorphie zur Kreisgruppe 6 Genauigkeitskontrolle 7 Verbindung zum komplexen Logarithmus 8 Ableitungen 9 Siehe auch 10 Weblinks 11 Einzelnachweise und AnmerkungenLosung Zwei Argumente BearbeitenZwei vom Ursprung O 0 0 displaystyle mathsf O 0 0 nbsp verschiedene Punkte P 1 x 1 y 1 displaystyle mathsf P 1 x 1 y 1 nbsp und P 2 x 2 y 2 displaystyle mathsf P 2 x 2 y 2 nbsp spezifizieren denselben Polarwinkel wenn sie auf demselben Strahl durch O displaystyle mathsf O nbsp liegen Dann sind sie bezuglich der durch x 1 0 y 1 0 displaystyle x 1 neq 0 vee y 1 neq 0 nbsp x 1 y 1 x 2 y 2 displaystyle x 1 y 1 sim x 2 y 2 nbsp l gt 0 x 2 l x 1 y 2 l y 1 displaystyle Longleftrightarrow exists lambda color Red gt 0 colon x 2 lambda x 1 wedge y 2 lambda y 1 nbsp definierten Relation aquivalent 2 Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe wenn der Strahl um 180 displaystyle pm 180 circ nbsp oder p displaystyle pm pi nbsp also genau in den Gegenstrahl weitergedreht ist Informationstheoretisch betrachtet lasst der Tangens die Vorzeicheninformation von l displaystyle lambda nbsp rot in den Formeln unter den Tisch fallen x 1 0 x 2 0 displaystyle x 1 neq 0 wedge x 2 neq 0 nbsp tan y 1 x 1 tan y 2 x 2 displaystyle tan left frac y 1 x 1 right tan left frac y 2 x 2 right nbsp l 0 x 2 l x 1 y 2 l y 1 displaystyle Longleftrightarrow exists lambda color Red gtrless 0 colon x 2 lambda x 1 wedge y 2 lambda y 1 nbsp man nehme nur l x 2 x 1 displaystyle lambda tfrac x 2 x 1 nbsp nbsp Abb 1 Graph der Arkustangensfunktion f arctan t displaystyle varphi operatorname arctan t nbsp uber t R displaystyle t in infty infty mathbb R nbsp In blauen romischen Ziffern die jeweils 2 Quadranten in der Ziel Ebene fur positives oder negatives t displaystyle t nbsp Die 2 Asymptoten in Da der Tangens mit p displaystyle pi nbsp periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt muss fur seine Umkehrung Spiegelung an der 1 Winkelhalbierenden sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlange eingeschrankt werden in diesem Artikel auf das Intervall p 2 p 2 displaystyle pi 2 pi 2 nbsp s Abb 1 Das hat zur Folge dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein grosseres Bild als p 2 p 2 displaystyle pi 2 pi 2 nbsp haben kann Dabei ist die ganze reelle Achse R displaystyle mathbb R nbsp als Definitionsbereich des Arkustangens zulassig weil das Bild des Tangens unter p 2 p 2 displaystyle pi 2 pi 2 nbsp gerade R displaystyle mathbb R nbsp ist Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genugend Information hat um den Polarwinkel modulo 2 p Z displaystyle 2 pi mathbb Z nbsp bspw im Intervall p p displaystyle pi pi nbsp wie der Abb 3 und in allen vier Quadranten zuruckgeben zu konnen Implementierungen BearbeitenDie erste Implementierung war nicht spater als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran 3 Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden Die Funktion hat haufig den Namen atan2 y x displaystyle operatorname atan2 y x nbsp so bei den Programmiersprachen Fortran 77 4 C C Java Python Matlab R iWork Numbers 5 LibreOffice Calc 6 In vielen dieser Programmiersprachen nicht bspw bei LibreOffice Calc ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt also die y displaystyle y nbsp Koordinate das erste Argument und das obwohl es hier auf die Polarachse die ublicherweise mit der x displaystyle x nbsp Achse identifiziert wird in ganz besonderem Masse ankommt Denn es hat arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y nbsp gleich Null zu sein fur genau die Punkte x y displaystyle x y nbsp auf dieser Achse Deshalb sollte es wenn es um die ubliche x y displaystyle x y nbsp Ebene geht bei der Erstnennung der x displaystyle x nbsp Achse bleiben die y displaystyle y nbsp Achse erganzt dabei nur noch die Richtung in welche der Polarwinkel zunimmt In Common Lisp wo optionale Argumente existieren erlaubt die atan y x displaystyle operatorname atan y x nbsp Funktion die x displaystyle x nbsp Koordinate als optionales zweites Argument zu ubergeben 7 wobei die Standardannahme x 1 displaystyle x 1 nbsp ist Ein weiterer vorkommender Name ist arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y nbsp so bei den Tabellenkalkulationen Excel 8 und OpenOffice Calc In Mathematica ist eine Funktion ArcTan x y displaystyle operatorname ArcTan x y nbsp definiert bei der das erste Argument x displaystyle x nbsp weggelassen werden kann Seit der Einfuhrung des FPU Befehlssatzes x87 von Intel im Jahr 1980 kennen die x87 Prozessoren einen Befehl FPATAN displaystyle operatorname FPATAN nbsp mit im Prinzip derselben Reihenfolge der Operanden und demselben Ergebnis 9 Zur Beachtung In diesem Artikel wird die Reihenfolge x y displaystyle x y nbsp und der Name arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y nbsp verwendet Formel BearbeitenDie sechs Falle der Funktionsdefinition arctan2 displaystyle operatorname arctan2 colon nbsp E displaystyle E nbsp displaystyle to nbsp p p displaystyle pi pi nbsp oder p p displaystyle pi pi nbsp K P 2 displaystyle text K to text P 2 nbsp x y displaystyle x y nbsp 1 displaystyle mapsto nbsp displaystyle begin cases end cases nbsp arctan y x displaystyle arctan left tfrac y x right nbsp fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp Quadranten I displaystyle color Blue mathrm I nbsp und I V displaystyle color Blue mathrm IV nbsp arctan y x p displaystyle arctan left tfrac y x right pi nbsp fur x lt 0 y gt 0 displaystyle x lt 0 y gt 0 nbsp Quadrant I I displaystyle color Blue mathrm II nbsp p displaystyle pm pi nbsp fur x lt 0 y 0 displaystyle x lt 0 y 0 nbsp oberer 10 unterer Rand der Bildmenge arctan y x p displaystyle arctan left tfrac y x right pi nbsp fur x lt 0 y lt 0 displaystyle x lt 0 y lt 0 nbsp Quadrant I I I displaystyle color Blue mathrm III nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp fur x 0 y gt 0 displaystyle x 0 y gt 0 nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp fur x 0 y lt 0 displaystyle x 0 y lt 0 nbsp nbsp Abb 2 5 Punkte Halbgeraden Strahlen in der x y Ebene und ihr arctan2 displaystyle operatorname arctan2 nbsp Hauptwertmit E R 2 0 0 displaystyle E mathbb R 2 setminus 0 0 nbsp als der gelochten Ebene lassen sich zur Formel arctan2 x y arctan y x sgn x 2 1 sgn x 2 sgn y 2 sgn y 1 p displaystyle begin aligned amp operatorname arctan2 x y quad quad arctan left tfrac y x right operatorname sgn x 2 amp quad tfrac 1 operatorname sgn x 2 left mp operatorname sgn y 2 operatorname sgn y pm 1 right pi end aligned nbsp vereinigen Die Funktion ist bis auf den Fall x lt 0 y 0 x y 1 0 displaystyle x lt 0 y 0 iff x y sim 1 0 nbsp die Sprungstelle s u punktsymmetrisch am Ursprung in Formeln arctan2 x y arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y operatorname arctan2 x y nbsp Dem Argument x y 0 0 displaystyle x y 0 0 nbsp wird manchmal der Funktionswert 0 displaystyle 0 nbsp zugeordnet wie auch andere Sonderfalle bspw Not a Number unterschiedlich behandelt werden Der Genauigkeitsverlust der Division y x displaystyle tfrac y x nbsp wegen lasst sich fur 0 lt x y displaystyle 0 lt x ll y nbsp bspw durch die Umformung arctan y x arctan x y sgn y p 2 displaystyle arctan bigl tfrac y x bigr arctan bigl tfrac x y bigr operatorname sgn y tfrac pi 2 nbsp verringern s jedoch auch den Abschnitt Genauigkeitskontrolle Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels Bearbeiten nbsp Abb 3 Graph von f arctan2 x y atan2 y x displaystyle varphi operatorname arctan2 x y operatorname atan2 y x nbsp uber x 1 y y x displaystyle x 1 y y x nbsp fur x 1 4 y displaystyle x gtrapprox tfrac 1 4 y nbsp In blauer romischer Ziffer derjenige Ziel Quadrant des Polarwinkels f displaystyle varphi nbsp der dem x y displaystyle x y nbsp Quell Quadranten entspricht Die 2 Asymptoten in Bei zunehmendem Polarwinkel f displaystyle varphi nbsp das heisst bei einer Drehung im mathematischen Sinn und entgegen dem Uhrzeigersinn so bei der Wanderung vom Quadranten I I I displaystyle mathrm III nbsp entspricht f p p 2 displaystyle varphi in pi pi 2 nbsp uber die Quadranten I V displaystyle mathrm IV nbsp 11 entspricht f p 2 0 displaystyle varphi in pi 2 0 nbsp und I displaystyle mathrm I nbsp entspricht f 0 p 2 displaystyle varphi in 0 pi 2 nbsp zum Quadranten I I displaystyle mathrm II nbsp entspricht f p 2 p displaystyle varphi in pi 2 pi nbsp beginnt eine Periode in der Abb 3 unten am Strahl durch O displaystyle mathsf O nbsp und den Punkt 12 f displaystyle varphi nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp y x displaystyle tfrac y x nbsp p displaystyle pi nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp I I I displaystyle color Blue rm III nbsp von wo es auf dem roten Graphen von links unten nach rechts oben immer in ONO Richtung weitergeht Wie ublich soll in der Nahe der Null 0 displaystyle 0 nbsp infinitesimal unterhalb und 0 displaystyle 0 nbsp infinitesimal oberhalb bedeuten Die Drehung fuhrt weiter in den Quadranten I I I displaystyle mathrm III nbsp uber den auf der 1 Winkelhalbierenden liegenden und in der Abb 3 durch eine kleine rote Kreisflache markierten Punkt 3 p 4 displaystyle tfrac 3 pi 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp I I I displaystyle color Blue rm III nbsp zum Punkt x displaystyle x color Red bullet nbsp y displaystyle y color Red bullet nbsp y x displaystyle tfrac y color Red bullet x color Red bullet nbsp f displaystyle varphi nbsp x o displaystyle x color Red mathsf o nbsp y o displaystyle y color Red mathsf o nbsp y o x o displaystyle tfrac y color Red mathsf o x color Red mathsf o nbsp I V displaystyle color Blue rm IV nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle infty nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle infty nbsp I I I displaystyle color Blue rm III nbsp displaystyle longleftarrow nbsp der einer der Polstellen p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp des Tangens entspricht und deshalb fur den Arkustangens arctan displaystyle operatorname arctan nbsp ein unendlich ferner Punkt ist Der x 1 y y x displaystyle x 1 y y x nbsp Wert wechselt auf der waagrechten und strich punktierten Asymptote von displaystyle infty nbsp nach displaystyle infty nbsp ein Sachverhalt den auch der rote Kringel rechts im Quadranten I I I displaystyle mathrm III nbsp als displaystyle infty nbsp Senke und der rote Knubbel links im Quadranten I V displaystyle mathrm IV nbsp als displaystyle infty nbsp Quelle ausdrucken soll Aus Sicht der Funktion arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y nbsp geschieht aber nichts weiter als dass der x displaystyle x nbsp Wert sich von 0 displaystyle 0 nbsp zu 0 displaystyle 0 nbsp andert Die weitere Drehung fuhrt durch den Quadranten I V displaystyle mathrm IV nbsp uber den markierten Punkt I V displaystyle color Blue rm IV nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp p 4 displaystyle tfrac pi 4 nbsp zum Punkt I V displaystyle color Blue rm IV nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp I displaystyle color Blue rm I nbsp displaystyle longrightarrow nbsp der im Koordinatenursprung O displaystyle mathsf O nbsp liegt und von dort durch den Quadranten I displaystyle mathrm I nbsp uber den markierten Punkt p 4 displaystyle tfrac pi 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp I displaystyle color Blue rm I nbsp zum Punkt I I displaystyle color Blue rm II nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle infty nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle infty nbsp I displaystyle color Blue rm I nbsp displaystyle longleftarrow nbsp Dieser Punkt entspricht der anderen Polstelle p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp des Tangens Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke im Quadranten I displaystyle mathrm I nbsp mit der Quelle im Quadranten I I displaystyle mathrm II nbsp statt wie oben beim Argument 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Die weitere Drehung durch den Quadranten I I displaystyle mathrm II nbsp fuhrt uber den markierten Punkt I I displaystyle color Blue rm II nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 3 p 4 displaystyle tfrac 3 pi 4 nbsp schliesslich zur Sprungstelle I I displaystyle color Blue rm II nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp p displaystyle pi nbsp Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel K P 2 displaystyle text K to text P 2 nbsp entweder dem Fall in der Zeile daruber oder dem darunter zugeschlagen werden wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist also p p displaystyle pi pi nbsp oder eben umgekehrt p p displaystyle pi pi nbsp Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden dass die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt einem beliebigen Strahl des Definitionsbereichs R 2 0 0 displaystyle mathbb R 2 setminus 0 0 nbsp liegt auch bei einer Drehung uber die Periodenlange 2 p displaystyle 2 pi nbsp hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu bzw abnimmt Hier kommt die Umlaufzahl ins Spiel Beispielsweise konnen in Anwendungen bei denen es auf die Stetigkeit innerhalb einer Halbebene ankommt folgende Formeln nutzlich sein arctan2 3 x y displaystyle operatorname arctan2 3 x y nbsp arctan x y 3 p 2 displaystyle arctan bigl tfrac x y bigr tfrac 3 pi 2 nbsp arctan2 x y 2 p displaystyle operatorname arctan2 x y 2 pi nbsp fur y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp Quadranten I displaystyle color Blue rm I nbsp und I I displaystyle color Blue rm II nbsp arctan2 2 x y displaystyle operatorname arctan2 2 x y nbsp arctan y x p displaystyle arctan left tfrac y x right pi nbsp arctan2 x y mod 2 p Z displaystyle equiv operatorname arctan2 x y text mod 2 pi mathbb Z nbsp fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp Quadranten I I displaystyle color Blue rm II nbsp und I I I displaystyle color Blue rm III nbsp arctan2 1 x y displaystyle operatorname arctan2 1 x y nbsp arctan x y p 2 displaystyle arctan bigl tfrac x y bigr tfrac pi 2 nbsp arctan2 x y displaystyle left begin matrix end matrix right rbrace operatorname arctan2 x y qquad qquad left lbrace begin matrix end matrix right nbsp fur y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp Quadranten I I I displaystyle color Blue rm III nbsp und I V displaystyle color Blue rm IV nbsp arctan2 0 x y displaystyle operatorname arctan2 0 x y nbsp arctan y x displaystyle arctan left tfrac y x right nbsp fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp Quadranten I V displaystyle color Blue rm IV nbsp und I displaystyle color Blue rm I nbsp arctan2 1 x y displaystyle operatorname arctan2 1 x y nbsp arctan x y p 2 displaystyle arctan bigl tfrac x y bigr tfrac pi 2 nbsp fur y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp Quadranten I displaystyle color Blue rm I nbsp und I I displaystyle color Blue rm II nbsp arctan2 2 x y displaystyle operatorname arctan2 2 x y nbsp arctan y x p displaystyle arctan left tfrac y x right pi nbsp arctan2 x y mod 2 p Z displaystyle equiv operatorname arctan2 x y text mod 2 pi mathbb Z nbsp fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp Quadranten I I displaystyle color Blue rm II nbsp und I I I displaystyle color Blue rm III nbsp arctan2 3 x y displaystyle operatorname arctan2 3 x y nbsp arctan x y 3 p 2 displaystyle arctan bigl tfrac x y bigr tfrac 3 pi 2 nbsp arctan2 x y 2 p displaystyle operatorname arctan2 x y 2 pi nbsp fur y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp Quadranten I I I displaystyle color Blue rm III nbsp und I V displaystyle color Blue rm IV nbsp Die 7 Zeilen sind so angeordnet dass die Werte zweier uber einander stehender Funktionen im gemeinsamen Definitionsgebiet ubereinstimmen Wegen der Sprungstelle von arctan2 x y displaystyle operatorname arctan2 x y nbsp beim Strahl 1 0 displaystyle sim 1 0 nbsp ist Gleichheit mit einer der stetigen Funktionen arctan2 2 x y displaystyle operatorname arctan2 mp 2 x y nbsp nicht moglich Isomorphie zur Kreisgruppe BearbeitenDie prazise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild wie auf der Bild Seite zusatzlicher Hilfsabbildungen Auf der Definitionsmenge E R 2 0 0 displaystyle E mathbb R 2 setminus 0 0 nbsp von arctan2 displaystyle operatorname arctan2 nbsp kann man in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen die Verknupfung x y x y x x y y x y y x displaystyle x y tilde x y xx yy xy yx nbsp definieren 13 Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Aquivalenzrelation displaystyle sim nbsp und die Faktormenge F E displaystyle F E sim nbsp erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 1 0 displaystyle overline 1 0 nbsp und der Inversenbildung x y x y displaystyle tilde overline x y overline x y nbsp 14 Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung arctan2 F p p x y arctan2 x y displaystyle begin array rlll operatorname arctan2 colon amp F amp to amp pi pi amp overline x y amp mapsto amp operatorname arctan2 x y end array nbsp weil aquivalente Reprasentanten denselben arctan2 displaystyle operatorname arctan2 nbsp Wert liefern Aus der Summenformel des Arkustangens folgt arctan2 x y x y arctan2 x x y y x y y x arctan2 x y arctan2 x y mod 2 p Z displaystyle begin array rlll operatorname arctan2 left x y tilde x y right amp equiv operatorname arctan2 xx yy xy yx amp equiv operatorname arctan2 x y operatorname arctan2 x y quad bmod 2 pi mathbb Z end array nbsp Wendet man auf die Funktion arctan2 displaystyle operatorname arctan2 nbsp die Funktion mod 2 p p p R 2 p Z f f 2 p Z displaystyle begin array rlll operatorname mod 2 pi colon amp pi pi amp to amp mathbb R 2 pi mathbb Z amp varphi amp mapsto amp varphi 2 pi mathbb Z end array nbsp an dann ergibt sich ein Homomorphismus m mod 2 p arctan2 displaystyle mu operatorname mod 2 pi circ operatorname arctan2 nbsp mit m F R 2 p Z S x y x y m x y m x y displaystyle begin array rlll mu colon amp F amp to amp mathbb R 2 pi mathbb Z amp amp cong mathbb S amp overline x y tilde overline x y amp mapsto amp mu x y mu x y end array nbsp auf die Kreisgruppe S displaystyle mathbb S nbsp dessen Kern das neutrale Element 1 0 displaystyle overline 1 0 nbsp mit m 1 0 2 p Z displaystyle mu overline 1 0 2 pi mathbb Z nbsp ist Sind F displaystyle F nbsp und R 2 p Z displaystyle mathbb R 2 pi mathbb Z nbsp mit der naturlichen Topologie ausgestattet dann ist m displaystyle mu nbsp in beiden Richtungen stetig mithin ein Homoomorphismus Genauigkeitskontrolle BearbeitenMit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel K P 2 displaystyle text K to text P 2 nbsp lasst sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe des Arkustangens kontrollieren und ggf verbessern Der Winkel von 45 displaystyle 45 circ nbsp zeichnet sich dadurch aus dass er ein ganzzahliger Bruchteil namlich ein Achtel des vollen Winkels von 360 displaystyle 360 circ nbsp ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten dass ihre Begrenzungen die definitionsgemass stets Strahlen sind parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen Bei Oktanten 15 kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu Die Feststellung zu welchem der acht Oktanten ein Punkt x y E displaystyle x y in E nbsp gehort ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach Schreibweise In diesem werden in den Beziehungen zwischen Strahlen und Winkeln die gewohnten Operatoren lt gt displaystyle lt gt nbsp mit der darubergeschriebenen Tilde lt gt displaystyle tilde tilde tilde tilde lt tilde gt nbsp verwendet um auszudrucken dass ein Strahl eine Aquivalenzklasse mod displaystyle text mod sim nbsp ist Und bei den Vergleichsoperatoren lt gt displaystyle tilde lt tilde gt nbsp wird der Strahl stets mit dem ihm mod 2 p Z displaystyle text mod 2 pi mathbb Z nbsp am nachsten liegenden Winkel verglichen Um Verwechslungen mit Koordinaten x y displaystyle x y nbsp zu vermeiden wird in den Dezimaldarstellungen statt des Kommas der Dezimalpunkt verwendet Im Folgenden wird versucht einen beliebigen Strahl x y displaystyle x y nbsp resp Winkel f displaystyle varphi nbsp mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall 22 5 f 2 22 5 displaystyle 22 5 circ leq varphi 2 leq 22 5 circ nbsp zu drehen Dann ist namlich der Absolutbetrag des Arguments y 2 x 2 displaystyle tfrac y 2 x 2 nbsp in der Taylorreihe des Arkustangens y 2 x 2 tan 22 5 displaystyle left tfrac y 2 x 2 right leq tan 22 5 circ nbsp 2 1 0 41421 displaystyle sqrt 2 1 approx 0 41421 nbsp In einer ersten Drehung wird der Strahl x y E displaystyle x y in E nbsp um 22 5 displaystyle 22 5 circ nbsp gedreht d h der Strahl x 0 y 0 x y 1 2 1 x y 22 5 displaystyle x 0 y 0 x y tilde 1 sqrt 2 1 x y tilde 22 5 circ nbsp gebildet Der Oktant in den dieser Strahl fallt sei der k displaystyle k nbsp te und die Nummerierung der Oktanten sei so gewahlt dass der erste das Winkelintervall 0 45 displaystyle 0 circ 45 circ nbsp abdeckt Nummer k displaystyle k nbsp des Oktanten seine untere und obere Begrenzung displaystyle nbsp 180 13 3 5 9 2 0 4 1 5 0 0 4 1 5 9 2 0 13 3 5 18 4 0 displaystyle displaystyle 180 overbrace displaystyle circ 13 displaystyle 3 5 overbrace displaystyle circ 9 displaystyle 2 0 overbrace displaystyle circ 4 displaystyle 1 5 overbrace displaystyle circ quad displaystyle 0 0 overbrace displaystyle circ quad 4 displaystyle 1 5 overbrace displaystyle circ quad 9 displaystyle 2 0 overbrace displaystyle circ quad 13 displaystyle 3 5 overbrace displaystyle circ quad 18 displaystyle 4 displaystyle 0 circ nbsp die obere als Strahl x 1 y 1 x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 big begin smallmatrix x 1 y 1 end smallmatrix big nbsp displaystyle in nbsp displaystyle Big nbsp 1 1 displaystyle big begin smallmatrix 1 1 end smallmatrix big nbsp 0 1 displaystyle big begin smallmatrix 0 1 end smallmatrix big nbsp 1 1 displaystyle big begin smallmatrix 1 1 end smallmatrix big nbsp 1 0 displaystyle big begin smallmatrix 1 0 end smallmatrix big nbsp 1 1 displaystyle big begin smallmatrix 1 1 end smallmatrix big nbsp 0 1 displaystyle big begin smallmatrix 0 1 end smallmatrix big nbsp 1 1 displaystyle big begin smallmatrix 1 1 end smallmatrix big nbsp 1 0 displaystyle big begin smallmatrix 1 0 end smallmatrix big nbsp displaystyle Big nbsp die obere als Polarwinkel f 1 displaystyle varphi 1 nbsp displaystyle nbsp 3 p 4 displaystyle tfrac 3 pi 4 nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp p 4 displaystyle tfrac pi 4 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp p 4 displaystyle tfrac pi 4 nbsp p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp 3 p 4 displaystyle tfrac 3 pi 4 nbsp p displaystyle pm pi nbsp Vom derart bestimmten Oktanten wird der obere begrenzende Strahl genommen der durch einen Punkt x 1 y 1 E displaystyle x 1 y 1 in E nbsp aus der in der Tabelle gezeigten Menge von Strahlen charakterisiert werden kann Alle diese Punkte haben ganzzahlige Koordinaten und beim ersten Oktanten ist bspw x 1 y 1 1 1 45 displaystyle x 1 y 1 tilde 1 1 tilde 45 circ nbsp Dann ist x 1 y 1 45 x 0 y 0 x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 tilde 45 circ tilde leq x 0 y 0 tilde leq x 1 y 1 nbsp oder x 1 y 1 22 5 x 0 y 0 22 5 x y x 1 y 1 22 5 displaystyle x 1 y 1 tilde 22 5 circ quad tilde leq quad x 0 y 0 tilde 22 5 circ x y quad tilde leq quad x 1 y 1 tilde 22 5 circ nbsp Es folgt eine Drehung von x y displaystyle x y nbsp die zweite jetzt um x 1 y 1 displaystyle tilde x 1 y 1 nbsp so dass 22 5 x 2 y 2 x y x 1 y 1 22 5 displaystyle 22 5 circ quad tilde leq quad x 2 y 2 x y tilde x 1 y 1 quad tilde leq quad 22 5 circ nbsp im gewunschten Winkelintervall ist Um diese zweite Drehung von f 1 arctan2 x 1 y 1 displaystyle varphi 1 operatorname arctan2 x 1 y 1 nbsp k 45 k p 4 displaystyle k cdot 45 circ k cdot tfrac pi 4 nbsp mit ganzzahligem k displaystyle k nbsp muss das Ergebnis wenn der Arkustangens berechnet ist korrigiert werden Die erste Drehung muss nur ungefahr 22 5 displaystyle 22 5 circ nbsp betragen Wenn sie davon etwas abweicht etwa 5 2 21 8 displaystyle 5 2 tilde 21 8 circ nbsp oder auch 70 29 22 5035 displaystyle 70 29 tilde 22 5035 circ nbsp betragt dann wird der Strahl x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp moglicherweise nicht so gut in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall eingepasst Das Konvergenzverhalten verschlechtert sich aber wegen 1 1 5 2 7 3 displaystyle 1 1 tilde 5 2 tilde 7 3 nbsp nur geringfugig auf y 2 x 2 max 2 5 3 7 3 7 0 42857 displaystyle left tfrac y 2 x 2 right leq max left left tfrac 2 5 right left tfrac 3 7 right right tfrac 3 7 approx 0 42857 nbsp Nach der zweiten Drehung kann die Taylorreihe an der Entwicklungsstelle 0 displaystyle 0 nbsp f 2 arctan2 x 2 y 2 arctan y 2 x 2 displaystyle varphi 2 operatorname arctan2 x 2 y 2 arctan left tfrac y 2 x 2 right nbsp entwickelt und die abschliessende Korrektur f f 2 f 1 arctan2 x y displaystyle varphi varphi 2 varphi 1 operatorname arctan2 x y nbsp vorgenommen werden BeispieleDer Ausgangsstrahl sei x y 5 27 displaystyle x y 5 27 nbsp was einem Winkel von ca 100 displaystyle 100 circ nbsp entspricht Durch die displaystyle tilde nbsp Addition von 5 2 displaystyle 5 2 nbsp kommen wir auf x 0 y 0 1 5 79 displaystyle x 0 y 0 1 5 tilde 79 circ nbsp also in den 2 displaystyle 2 nbsp ten Oktanten Dessen obere Begrenzung liegt bei f 1 2 45 p 2 0 1 x 1 y 1 displaystyle varphi 1 2 cdot 45 circ tfrac pi 2 tilde 0 1 x 1 y 1 nbsp Wir bilden die Differenz x 2 y 2 x y x 1 y 1 5 27 0 1 27 5 displaystyle x 2 y 2 x y tilde x 1 y 1 5 27 tilde 0 1 27 5 nbsp und berechnen f 2 arctan2 27 5 arctan 5 27 10 displaystyle varphi 2 operatorname arctan2 27 5 arctan left tfrac 5 27 right approx 10 circ nbsp mit 5 27 0 185 displaystyle tfrac 5 27 approx 0 185 nbsp und korrigieren mit f 1 p 2 displaystyle varphi 1 tfrac pi 2 nbsp zum Endergebnis f 100 displaystyle varphi approx 100 circ nbsp Der Ausgangsstrahl sei 19 4 displaystyle 19 4 nbsp was einem Winkel von ca 168 displaystyle 168 circ nbsp entspricht Durch die displaystyle tilde nbsp Addition von 5 2 displaystyle 5 2 nbsp kommen wir auf 103 18 170 displaystyle 103 18 tilde 170 circ nbsp also in den 4 displaystyle 4 nbsp ten Oktanten Das obere Ende des Oktanten liegt bei f 1 4 45 p 1 0 x 1 y 1 displaystyle varphi 1 4 cdot 45 circ pi tilde 1 0 x 1 y 1 nbsp Da dieser Oktant die Sprungstelle 1 0 displaystyle 1 0 nbsp enthalt setzen wir bei diesem 4 displaystyle 4 nbsp ten Oktanten im Fall y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp den Korrekturwinkel auf f 1 p displaystyle varphi 1 pi nbsp Wir bilden die Differenz 19 4 1