In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.
Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen Bearbeiten
Sei eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von . Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparamter-Untergruppen.
Beispiele Bearbeiten
- Die stetigen Gruppenhomomorphismen von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen für ein festes .
- Die stetigen Gruppenhomomorphismen von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen für ein festes .
Literatur Bearbeiten
- John Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969