In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird Fur eine Funktion f A B displaystyle f colon A to B ist das Urbild einer Menge M B displaystyle M subseteq B jene Teilmenge der Definitionsmenge A displaystyle A deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge M displaystyle M der Zielmenge B displaystyle B abgebildet werden Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge M displaystyle M abgebildet Man sagt dann auch Urbild von M displaystyle M unter f displaystyle f Das Urbild des Elementes 0 displaystyle 0 oder der einelementigen Teilmenge 0 B displaystyle 0 subseteq B ist die dreielementige Menge 2 3 5 A displaystyle 2 3 5 subseteq A Das Urbild eines einzelnen Elements b displaystyle b der Zielmenge ist die aus allen a A displaystyle a in A mit f a b displaystyle f a b bestehende Teilmenge der Definitionsmenge Das Urbild der Bildmenge im f f A B displaystyle operatorname im f f A subseteq B und naturlich erst recht der ganzen Zielmenge B displaystyle B ist genau die Definitionsmenge A displaystyle A da Funktionen linkstotal sind also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge und genau ein Element der Bildmenge zuordnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Injektivitat Surjektivitat Bijektivitat 3 2 Mengenoperationen und eigenschaften 3 3 Bild und Urbild 3 4 Urbild und Komposition 4 Siehe auch 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei f A B displaystyle f colon A to B nbsp eine Funktion und M displaystyle M nbsp eine Teilmenge von B displaystyle B nbsp Dann bezeichnet man die Menge f 1 M x A f x M displaystyle f 1 M left x in A mid f x in M right nbsp als das Urbild von M unter f Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion f 1 P B P A displaystyle f 1 colon mathcal P B to mathcal P A nbsp die jedem Element M displaystyle M nbsp der Potenzmenge P B displaystyle mathcal P B nbsp der Zielmenge B displaystyle B nbsp das Urbild f 1 M displaystyle f 1 M nbsp als Element der Potenzmenge P A displaystyle mathcal P A nbsp der Definitionsmenge A displaystyle A nbsp zuordnet Das Urbild einer einelementigen Menge M b displaystyle M b nbsp schreibt man auch als f 1 b f 1 b x A f x b displaystyle f 1 b f 1 b x in A mid f x b nbsp und nennt es das Urbild von b unter f Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung uber diesem Element genannt insbesondere im Zusammenhang mit Faserbundeln Beispiele BearbeitenFur die Funktion f Z Z displaystyle f colon mathbb Z to mathbb Z nbsp ganze Zahlen mit f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp gilt f 1 4 2 2 displaystyle f 1 4 2 2 nbsp f 1 0 0 displaystyle f 1 0 0 nbsp f 1 3 displaystyle f 1 3 emptyset nbsp f 1 1 displaystyle f 1 1 emptyset nbsp f 1 1 4 2 1 1 2 displaystyle f 1 1 4 2 1 1 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenInjektivitat Surjektivitat Bijektivitat Bearbeiten Unter einer bijektiven Funktion f A B displaystyle f colon A to B nbsp ist das Urbild jedes Elements genau einelementig Die Abbildung f 1 B A displaystyle f 1 colon B to A nbsp die jedem Element von B displaystyle B nbsp das einzige also eindeutig bestimmte Element seines Urbildes zuordnet heisst Umkehrfunktion von f displaystyle f nbsp Man bezeichnet sie also wie auch die Urbildfunktion mit f 1 displaystyle f 1 nbsp Das kann leicht zu Missverstandnissen fuhren wenn man nicht ausfuhrlich f 1 B A displaystyle f 1 colon B to A nbsp fur die Umkehrfunktion und f 1 P B P A displaystyle f 1 colon mathcal P B to mathcal P A nbsp fur die Urbildfunktion schreibt und so beide deutlich unterscheidet Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements hochstens einelementig also einelementig oder leer Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig also nichtleer Mengenoperationen und eigenschaften Bearbeiten Es sei f A B displaystyle f colon A to B nbsp eine Funktion und M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp seien Teilmengen von B displaystyle B nbsp Dann gilt f 1 displaystyle f 1 emptyset emptyset nbsp f 1 B A displaystyle f 1 B A nbsp f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M cup N f 1 M cup f 1 N nbsp f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M cap N f 1 M cap f 1 N nbsp Insbesondere haben also disjunkte Mengen disjunkte Urbilder Die letzten beiden Aussagen uber Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern f 1 M c f 1 M c displaystyle f 1 M rm c f 1 M rm c nbsp Dabei bezeichnet X c displaystyle X rm c nbsp das Komplement G X g G g X displaystyle G setminus X left g in G mid g not in X right nbsp von X displaystyle X nbsp in der jeweiligen Grundmenge G displaystyle G nbsp f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M setminus N f 1 M setminus f 1 N nbsp M N f 1 M f 1 N displaystyle M subseteq N Rightarrow f 1 M subseteq f 1 N nbsp Bild und Urbild Bearbeiten Es sei f A B displaystyle f colon A to B nbsp eine Funktion M displaystyle M nbsp eine Teilmenge von A displaystyle A nbsp und N displaystyle N nbsp eine Teilmenge von B displaystyle B nbsp Dann gilt f M N M f 1 N displaystyle f M subseteq N iff M subseteq f 1 N nbsp d h es liegt eine Galoisverbindung vor M f 1 f M displaystyle M subseteq f 1 f M nbsp Ist f displaystyle f nbsp injektiv dann gilt die Gleichheit f f 1 N N displaystyle f f 1 N subseteq N nbsp Ist f displaystyle f nbsp surjektiv dann gilt die Gleichheit Hinreichend ist schon N f A displaystyle N subseteq f A nbsp dass also N displaystyle N nbsp eine Teilmenge des Bildes im f f A f a a A displaystyle operatorname im f f A f a mid a in A nbsp von f displaystyle f nbsp ist Urbild und Komposition Bearbeiten Fur beliebige Mengen A B C displaystyle A B C nbsp und beliebige Funktionen f A B g B C displaystyle f colon A to B g colon B to C nbsp bezeichne g f A C displaystyle g circ f colon A to C nbsp die Komposition von g displaystyle g nbsp mit f displaystyle f nbsp Dann gilt fur jede Teilmenge C C displaystyle C subseteq C nbsp g f 1 C f 1 g 1 C f 1 g 1 C displaystyle g circ f 1 C f 1 circ g 1 C f 1 g 1 C nbsp Siehe auch BearbeitenKern Algebra Homomorphiesatz Bild Mathematik Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Urbild Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Urbild Mathematik amp oldid 230600350
