Komplement Mengenlehre In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente d

Komplement (Mengenlehre)

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In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement und das absolute Komplement.

Relatives Komplement Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind und Mengen, dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus , welche nicht in enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

und man sagt „ ohne “ oder „relatives Komplement von in “. Das Komplement entspricht also der Subtraktion von Mengen. „Relativ“ heißt es deshalb, weil das Komplement einer Menge stets in Relation zu einer weiteren Menge angegeben wird.

Das relative Komplement kann auch so definiert werden, dass eine Teilmenge von sein soll. Grund hierfür ist, dass für die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in von Relevanz sind, die gleichzeitig auch Elemente in sind. Die Definitionen sind insofern äquivalent, als dass für beliebige Mengen und stets gilt, d. h. es gibt mit eine Teilmenge von , deren Komplement in dem Komplement von (welches nicht notwendigerweise Teilmenge von ist) in entspricht.

Beispiele Bearbeiten

Für (reelle Zahlen) und (rationale Zahlen), ist die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften Bearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien , und Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

Absolutes Komplement Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Das Komplement von A in U

Ist ein Universum definiert, so wird für jede Menge das relative Komplement von in auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von genannt und als (manchmal auch als , oder auch als , bzw. wenn fest ist) notiert, es ist also:

Beispiel Bearbeiten

Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist häufig der Ergebnisraum als Universum gesetzt. Für ein Ereignis ist dessen Gegenereignis das Komplement von . Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

Eigenschaften Bearbeiten

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien und Teilmengen des Universums , dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

Komplementgesetze:

Ist , so ist

Involution:

Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn eine echte nichtleere Teilmenge von ist, eine Partition von ist.

Siehe auch Bearbeiten

Dualitätsprinzip der Mengenlehre

Literatur Bearbeiten

Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

Komplement (Mengenlehre). Abgerufen am 18. Mai 2022.
Relatives Komplement oder die Differenz zwischen Mengen (Video). Abgerufen am 18. Mai 2022.
↑ Komplement | Mathebibel. Abgerufen am 18. Mai 2022.
Grundmenge und absolutes Komplement (Video). Abgerufen am 18. Mai 2022.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 01, 2023, 16:14 pm

In der Mengentheorie und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene Komplemente definiert Das relative Komplement und das absolute Komplement 1 Inhaltsverzeichnis 1 Relatives Komplement 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Eigenschaften 2 Absolutes Komplement 2 1 Definition 2 2 Beispiel 2 3 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseRelatives Komplement BearbeitenDefinition Bearbeiten nbsp Das relative Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefarbt Sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Mengen dann ist das relative Komplement auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt die Menge genau der Elemente aus B displaystyle B nbsp welche nicht in A displaystyle A nbsp enthalten sind Die formale Definition des relativen Komplements ist B A x B x A displaystyle B setminus A left x in B mid x not in A right nbsp und man sagt B displaystyle B nbsp ohne A displaystyle A nbsp oder relatives Komplement von A displaystyle A nbsp in B displaystyle B nbsp Das Komplement entspricht also der Subtraktion von Mengen Relativ heisst es deshalb weil das Komplement einer Menge A displaystyle A nbsp stets in Relation zu einer weiteren Menge B displaystyle B nbsp angegeben wird Das relative Komplement kann auch so definiert werden dass A displaystyle A nbsp eine Teilmenge von B displaystyle B nbsp sein soll Grund hierfur ist dass fur die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in A displaystyle A nbsp von Relevanz sind die gleichzeitig auch Elemente in B displaystyle B nbsp sind Die Definitionen sind insofern aquivalent als dass fur beliebige Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp stets B A B A B displaystyle B setminus A B setminus A cap B nbsp gilt d h es gibt mit A B displaystyle A cap B nbsp eine Teilmenge von B displaystyle B nbsp deren Komplement in B displaystyle B nbsp dem Komplement von A displaystyle A nbsp welches nicht notwendigerweise Teilmenge 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nbsp Beispiel Bearbeiten Ist das Universum zum Beispiel die Menge der naturlichen Zahlen so ist das absolute Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist haufig der Ergebnisraum W displaystyle Omega nbsp als Universum gesetzt Fur ein Ereignis A W displaystyle A subseteq Omega nbsp ist dessen Gegenereignis A displaystyle bar A nbsp das Komplement von A displaystyle A nbsp Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses Wurfel zeigt eine 5 oder 6 das Ereignis Wurfel zeigt eine Zahl kleiner gleich 4 Eigenschaften Bearbeiten Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet Seien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Teilmengen des Universums U displaystyle U nbsp dann gelten folgende Identitaten De Morgansche Regeln A B C A C B C displaystyle left A cup B right rm C A rm C cap B rm C nbsp A B C A C B C displaystyle left A cap B right rm C A rm C cup B rm C nbsp Komplementgesetze A A C U displaystyle A cup A rm C U nbsp A A C displaystyle A cap A rm C emptyset nbsp C U displaystyle emptyset rm C U nbsp U C displaystyle U rm C emptyset nbsp Ist A B displaystyle A subseteq B nbsp so ist B C A C displaystyle B rm C subseteq A rm C nbsp Involution A C C A displaystyle A rm C rm C A nbsp Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen A B A B C displaystyle A setminus B A cap B rm C nbsp A B C A C B displaystyle A setminus B rm C A rm C cup B nbsp Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen dass wenn A displaystyle A nbsp eine echte nichtleere Teilmenge von U displaystyle U nbsp ist A A C displaystyle A A rm C nbsp eine Partition von U displaystyle U nbsp ist Siehe auch BearbeitenDualitatsprinzip der MengenlehreLiteratur BearbeitenOliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo 2 verbesserte und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2004 ISBN 3 540 20401 6 Einzelnachweise Bearbeiten Komplement Mengenlehre Abgerufen am 18 Mai 2022 Relatives Komplement oder die Differenz zwischen Mengen Video Abgerufen am 18 Mai 2022 a b Komplement Mathebibel Abgerufen am 18 Mai 2022 Grundmenge und absolutes Komplement Video Abgerufen am 18 Mai 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplement Mengenlehre amp oldid 230692750