Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, können als Mengen definiert werden. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen.
Geschichte Bearbeiten
19. Jahrhundert Bearbeiten
Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den Jahren 1874 bis 1897 begründet. Statt des Begriffs Menge benutzte er anfangs Wörter wie „Inbegriff“ oder „Mannigfaltigkeit“; von Mengen und Mengenlehre sprach er erst später. 1895 formulierte er folgende Mengendefinition:
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Cantor klassifizierte die Mengen, insbesondere die unendlichen, nach ihrer Mächtigkeit. Für endliche Mengen ist das die Anzahl ihrer Elemente. Er nannte zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie sich bijektiv aufeinander abbilden lassen, das heißt, wenn es eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen ihren Elementen gibt. Die so definierte Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation und die Mächtigkeit oder Kardinalzahl einer Menge M ist nach Cantor die Äquivalenzklasse der zu M gleichmächtigen Mengen. Er beobachtete wohl als Erster, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt. Die Menge der natürlichen Zahlen und alle dazu gleichmächtigen Mengen heißen nach Cantor abzählbar, alle anderen unendlichen Mengen heißen überabzählbar.
- Die Mengen der natürlichen, der rationalen (Cantors erstes Diagonalargument) und der algebraischen Zahlen sind abzählbar und damit gleichmächtig.
- Die Menge der reellen Zahlen hat größere Mächtigkeit als die der natürlichen Zahlen, ist also nichtabzählbar (Cantors zweites Diagonalargument).
- Die Menge aller Untermengen einer Menge M (ihre Potenzmenge) hat stets größere Mächtigkeit als M, das ist als Satz von Cantor bekannt.
- Von je zwei Mengen ist mindestens eine gleichmächtig zu einer Untermenge der anderen. Das wird mit Hilfe der von Cantor ausführlich behandelten Wohlordnung bewiesen.
- Es gibt überabzählbar viele Mächtigkeiten.
Cantor benannte das Kontinuumproblem: „Gibt es eine Mächtigkeit zwischen derjenigen der Menge der natürlichen Zahlen und derjenigen der Menge der reellen Zahlen?“ Er selbst versuchte es zu lösen, blieb aber erfolglos. Später stellte sich heraus, dass die Frage grundsätzlich nicht entscheidbar ist. Neben Cantor war Richard Dedekind ein wichtiger Wegbereiter der Mengenlehre. Er sprach von Systemen statt von Mengen und entwickelte 1872 eine mengentheoretische Konstruktion der reellen Zahlen und 1888 eine verbale mengentheoretische Axiomatisierung der natürlichen Zahlen. Er formulierte hier als erster das Extensionalitätsaxiom der Mengenlehre.
Giuseppe Peano, der Mengen als Klassen bezeichnete, schuf bereits 1889 den ersten formalen Klassenlogik-Kalkül als Basis für seine Arithmetik mit den Peano-Axiomen, die er erstmals in einer präzisen mengentheoretischen Sprache formulierte. Er entwickelte damit die Grundlage für die heutige Formelsprache der Mengenlehre und führte viele gebräuchliche Symbole ein, vor allem das Elementzeichen , das als „ist Element von“ verbalisiert wird. Dabei ist der kleine Anfangsbuchstabe ε (Epsilon) des Wortes ἐστί (griechisch „ist“).
Eine andere mengentheoretische Begründung der Arithmetik versuchte Gottlob Frege wenig später in seinem Kalkül von 1893. In diesem entdeckte Bertrand Russell 1902 einen Widerspruch, der als Russellsche Antinomie bekannt wurde. Dieser Widerspruch und auch andere entstehen aufgrund einer uneingeschränkten Mengenbildung, weshalb die Frühform der Mengenlehre später als naive Mengenlehre bezeichnet wurde. Cantors Mengendefinition beabsichtigt aber keine solche naive Mengenlehre, wie sein Beweis der Allklasse als Nichtmenge durch die zweite Cantorsche Antinomie belegt.
Cantors Mengenlehre wurde von seinen Zeitgenossen in ihrer Bedeutung kaum erkannt und keineswegs als revolutionärer Fortschritt angesehen, sondern stieß bei manchen Mathematikern, etwa bei Leopold Kronecker, auf Ablehnung. Noch mehr geriet sie in Misskredit, als Antinomien bekannt wurden, so dass etwa Henri Poincaré spottete: „Die Logik ist gar nicht mehr steril – sie zeugt jetzt Widersprüche.“
20. Jahrhundert Bearbeiten
Im 20. Jahrhundert setzten sich Cantors Ideen immer mehr durch; gleichzeitig vollzog sich innerhalb der sich entwickelnden Mathematischen Logik eine Axiomatisierung der Mengenlehre, mittels derer zuvor herrschende Widersprüche überwunden werden konnten.
1903/1908 entwickelte Bertrand Russell seine Typentheorie, in der Mengen stets einen höheren Typ als ihre Elemente haben, damit problematische Mengenbildungen unmöglich würden. Er wies den ersten Ausweg aus den Widersprüchen und zeigte in den Principia Mathematica von 1910–1913 auch ein Stück der Leistungsfähigkeit der angewandten Typentheorie. Letztlich erwies sie sich aber als unzulänglich für Cantors Mengenlehre und konnte sich wegen ihrer Kompliziertheit nicht durchsetzen.
Handlicher und erfolgreicher war dagegen die von Ernst Zermelo 1907 entwickelte axiomatische Mengenlehre, die er gezielt zur widerspruchsfreien Begründung der Mengenlehre von Cantor und Dedekind schuf. Abraham Fraenkel bemerkte 1921, dass dazu zusätzlich sein Ersetzungsaxiom nötig sei. Zermelo fügte es in sein Zermelo-Fraenkel-System von 1930 ein, das er kurz ZF-System nannte. Er konzipierte es auch für Urelemente, die keine Mengen sind, aber als Mengenelemente in Frage kommen und Cantors „Objekte unserer Anschauung“ einkalkulieren. Die heutige Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist dagegen nach Fraenkels Vorstellung eine reine Mengenlehre, deren Objekte ausschließlich Mengen sind.
Da das Zermelo-Fraenkel-System von 1930 auch das Auswahlaxiom enthält (englisch „Axiom of Choice“), wird es als ZFC bezeichnet und mit ZF das Axiomensystem, welches das Auswahlaxiom nicht enthält.
Viele Mathematiker setzten aber statt auf eine konsequente Axiomatisierung auf eine pragmatische Mengenlehre, die Problem-Mengen mied, so etwa die oft aufgelegten Mengenlehren von Felix Hausdorff ab 1914 oder von Erich Kamke ab 1928. Nach und nach wurde es immer mehr Mathematikern bewusst, dass die Mengenlehre eine unentbehrliche Grundlage für die Strukturierung der Mathematik ist. Das ZFC-System bewährte sich in der Praxis, weshalb es als Basis der modernen Mathematik von der Mehrheit der Mathematiker anerkannt ist; keinerlei Widersprüche konnten mehr aus dem ZFC-System abgeleitet werden. Die Widerspruchsfreiheit konnte allerdings nur für die Mengenlehre mit endlichen Mengen nachgewiesen werden, aber nicht für das komplette ZFC-System, das Cantors Mengenlehre mit unendlichen Mengen enthält; nach Gödels Unvollständigkeitssatz von 1931 ist ein solcher Nachweis der Widerspruchsfreiheit prinzipiell nicht möglich. Gödels Entdeckungen steckten nur Hilberts Programm, die Mathematik und Mengenlehre auf eine nachweislich widerspruchsfreie axiomatische Basis zu stellen, eine Grenze, aber hinderten den Erfolg der Mengenlehre in keiner Weise, so dass von einer Grundlagenkrise der Mathematik, von der Anhänger des Intuitionismus sprachen, in Wirklichkeit nichts zu spüren war.
Die endgültige Anerkennung der ZFC-Mengenlehre in der Praxis zog sich allerdings noch über längere Zeit hin. Die Mathematiker-Gruppe mit Pseudonym Nicolas Bourbaki trug wesentlich zu dieser Anerkennung bei; sie wollte die Mathematik auf Basis der Mengenlehre einheitlich neu darstellen und setzte dies ab 1939 in zentralen Mathematikgebieten erfolgreich um. In den 1960er Jahren wurde es dann allgemein bekannt, dass sich die ZFC-Mengenlehre als Grundlage der Mathematik eignet. Es gab sogar einen vorübergehenden Zeitraum, in dem die Mengenlehre in der Grundschule behandelt wurde.
Parallel zur Erfolgsgeschichte der Mengenlehre blieb jedoch die Diskussion der Mengenaxiome in der Fachwelt aktuell. Es entstanden auch alternative axiomatische Mengenlehren, etwa 1937 die sich nicht an Cantor oder Zermelo-Fraenkel, sondern an der Typentheorie orientierende Mengenlehre von Willard Van Orman Quine aus dessen New Foundations (NF), 1940 die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, die ZFC auf Klassen verallgemeinert, oder 1955 die Ackermann-Mengenlehre, die neu an Cantors Mengendefinition anknüpfte.
Definitionen Bearbeiten
In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat (sprich ist Element von) die einzige notwendige Grundrelation. Alle mengentheoretischen Begriffe und Aussagen werden aus ihr mit logischen Operatoren der Prädikatenlogik definiert.
Nach John von Neumann kann man die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre wie folgt definieren:
Damit sollte klar sein, wie man mittels obiger Definitionen alle weiteren Begriffe der Mathematik auf den Mengenbegriff zurückführen kann.
Gesetzmäßigkeiten Bearbeiten
Die Menge ist bezüglich der Relation partiell geordnet, denn für alle gilt:
- Reflexivität:
- Antisymmetrie: Aus und folgt
- Transitivität: Aus und folgt
Die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv:
- Assoziativgesetz:
- und
- Kommutativgesetz:
- und
- Distributivgesetz:
- und
- De Morgansche Gesetze:
- und
- Absorptionsgesetz:
- und
Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Assoziativgesetze:
- und
- Distributivgesetze:
- und
- und
- und
Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Assoziativgesetz:
- Kommutativgesetz:
- Distributivgesetz:
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
- Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
- Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
- Erich Kamke: Mengenlehre. 7. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1971, ISBN 3-11-003911-7.
- Kenneth Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
- Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
- Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.
- (online frei zugänglich über die Website des Autors)
- André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
- Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
Weblinks Bearbeiten
- Christian Spannagel: Mengenlehre. Vorlesungsreihe, 2010.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481. Online-Version. Siehe Textstelle mit der Mengendefinition von Georg Cantor.png für Bild der entsprechenden Textstelle.
- Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig 1872.
- Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888.
- Giuseppe Peano: Arithmetices Principia nova methodo exposita. Turin 1889.
- Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: „Mengen – Relationen – Funktionen“ (3. Auflage, 2007), ISBN 978-3-8351-0162-3.
- Brief von Cantor an Dedekind vom 31. August 1899, in: Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. ed. E. Zermelo, Berlin 1932, S. 448.