Die Ackermann Mengenlehre ist eine axiomatische Mengenlehre die 1955 von Wilhelm Ackermann angegeben wurde Er versuchte in ihr Cantors Mengendefinition in ein prazises Axiomensystem umzusetzen Die Ackermann Mengenlehre erweitert die Zermelo Fraenkel Mengenlehre ZFC um Klassen dort Gesamtheiten unterscheidet sich aber von der bekannteren Neumann Bernays Godel Mengenlehre dadurch dass echte Klassen auch Elemente anderer Klassen sein konnen und es daher auch kleine echte Klassen gibt Die ZFC Axiome gelten dort nur in einem echten Teilbereich der das Fundierungsaxiom erfullt man kann ihn mit Neumanns kumulativer Hierarchie aussondern Die Ackermann Mengenlehre enthalt daher einen erweiterten Mengenbereich mit nicht fundierten Mengen und kann als Verallgemeinerung der ublichen ZFC Mengenlehre und der Zermelo Mengenlehre angesehen werden Inhaltsverzeichnis 1 Die Ackermann Axiome 2 Varianten 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDie Ackermann Axiome BearbeitenAckermanns bemerkenswert einfaches Axiomensystem beruht auf der Pradikatenlogik erster Stufe mit Identitat der zweistelligen Elementrelation displaystyle in nbsp und dem einstelligen Pradikat ist Menge displaystyle text ist Menge nbsp und hat je ein Axiomenschema und ein Axiom fur Klassen und fur Mengen Klassen Komprehension Klassen von Mengen sind existent Fur einstellige Pradikate f displaystyle varphi nbsp gilt A f A A ist Menge B C C B f C displaystyle forall A colon varphi A to A text ist Menge to exists B colon forall C colon C in B leftrightarrow varphi C nbsp Die Klasse B displaystyle B nbsp wird mit C f C displaystyle C mid varphi C nbsp bezeichnet dd Klassen Extensionalitat Klassen mit denselben Elementen sind gleich C C A C B A B displaystyle forall C colon C in A leftrightarrow C in B to A B nbsp dd Mengen Komprehension Ausschliesslich mit Mengen belegte Klassen von Mengen sind Mengen Fur Formeln f displaystyle varphi nbsp in der genau die Variablen A T 1 T n displaystyle A T 1 ldots T n nbsp frei vorkommen und in der das Pradikat ist Menge displaystyle text ist Menge nbsp nicht vorkommt gilt T 1 ist Menge T n ist Menge A f A A ist Menge displaystyle T 1 text ist Menge land dots land T n text ist Menge land forall A colon varphi A to A text ist Menge to nbsp B B ist Menge A A B f A displaystyle exists B colon B text ist Menge land forall A colon A in B leftrightarrow varphi A nbsp dd Elemente und Teilklassen von Mengen sind Mengen A ist Menge B A C C B C A B ist Menge displaystyle A text ist Menge land B in A lor forall C colon C in B to C in A to B text ist Menge nbsp Nota bene Dieses Axiom schliesst aus dass echte Klassen Mengenelemente sind jedoch nicht dass echte Klassen Elemente echter Klassen sind dd Das Auswahlaxiom ersetzte Ackermann durch das e Axiom von Hilbert 1 ein Axiomenschema in einer durch das Pradikat e x f x displaystyle varepsilon x varphi x nbsp erweiterten Sprache Jede nichtleere Klasse enthalt ein ausgewahltes Element Fur einstellige Pradikate f displaystyle varphi nbsp gilt X f X f e X f X displaystyle exists X colon varphi X leftrightarrow varphi varepsilon X varphi X nbsp dd Das Fundierungsaxiom berucksichtigte Ackermann nicht Varianten BearbeitenAckermann formulierte auch Axiome die Cantors Objekte der Anschauung aus dessen Mengendefinition berucksichtigen und ausser Mengen auch Nichtmengen als Mengenelemente vorsehen Objekte sind Mengenelemente und werden uber ein definierbares Pradikat erfasst A ist Objekt M A M M ist Menge displaystyle A text ist Objekt exists M colon A in M land M text ist Menge nbsp dd Klassen Komprehension Klassen von Objekten sind existent Fur einstellige Pradikate f displaystyle varphi nbsp gilt A f A A ist Objekt B C C B f C displaystyle forall A colon varphi A to A text ist Objekt to exists B colon forall C colon C in B leftrightarrow varphi C nbsp dd Klassen Extensionalitat wie oben Nota bene Objekte die keine Mengen sind sind keine Urelemente im Sinne von Zermelo Denn hier liegt die starkste Form des Extensionalitatsaxioms vor das nur eine einzige leere Klasse zulasst und keine weiteren leeren Urelemente Zusatzliche Objekte sind also echte Klassen dd Mengen Komprehension Ausschliesslich mit Objekten belegte Klassen von Objekten sind Mengen Fur Formeln f displaystyle varphi nbsp in der genau die Variablen A T 1 T n displaystyle A T 1 ldots T n nbsp frei vorkommen und in der die Pradikate ist Menge displaystyle text ist Menge nbsp und ist Objekt displaystyle text ist Objekt nbsp nicht vorkommen gilt T 1 ist Objekt T n ist Objekt A f A A ist Objekt displaystyle T 1 text ist Objekt land dots land T n text ist Objekt land forall A colon varphi A to A text ist Objekt to nbsp B B ist Menge A A B f A displaystyle exists B colon B text ist Menge land forall A colon A in B leftrightarrow varphi A nbsp dd Elemente und Teilklassen von Mengen sind Objekte A ist Menge B A C C B C A B ist Objekt displaystyle A text ist Menge land B in A lor forall C colon C in B to C in A to B text ist Objekt nbsp dd Als dritte Variante gab Ackermann eine an die Typentheorie angelehnte Version an Literatur BearbeitenWilhelm Ackermann Zur Axiomatik der Mengenlehre 1955 In Mathematische Annalen Bd 131 1956 S 336 345 Weblinks BearbeitenKlaus Gloede Mengenlehre Skript WS 2000 01 Kapitel zur Ackermann Mengenlehre PDF Datei 23 kB Einzelnachweise Bearbeiten David Hilbert Probleme der Grundlegung der Mathematik 1929 in Mathematische Annalen 102 1930 1 9 dort S 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ackermann Mengenlehre amp oldid 190649421
