Prädikatenlogik erster Stufe

Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Sie befasst sich mit der Struktur gewisser mathematischer Ausdrücke und dem logischen Schließen, mit dem man von derartigen Ausdrücken zu anderen gelangt. Dabei gelingt es, sowohl die Sprache als auch das Schließen rein syntaktisch, das heißt ohne Bezug zu mathematischen Bedeutungen, zu definieren. Das dadurch ermöglichte Zusammenspiel von rein syntaktischen Überlegungen einerseits und semantischen Betrachtungen andererseits führt zu wichtigen Erkenntnissen, die Bedeutung für die gesamte Mathematik haben, denn diese lässt sich mittels der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Prädikatenlogik erster Stufe formulieren. Im Unterschied zur Aussagenlogik macht die Prädikatenlogik von Quantoren Gebrauch.

Ein motivierendes Beispiel

Die unten aufzustellenden Definitionen sollen am Beispiel der Theorie der geordneten abelschen Gruppen motiviert werden. Eine geordnete abelsche Gruppe besteht zunächst aus einer abelschen Gruppe , das heißt, man hat folgende Eigenschaften

• Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
• Kommutativgesetz: Für alle gilt: .
• Neutrales Element 0: Für alle gilt: .
• Inverses Element: Für alle gibt es ein , sodass gilt: .

In mathematischer Kurzschreibweise kann man das auch als

wiedergeben. Dabei schreiben wir an Stelle des oft verwendeten , da wir hier ohnehin über nichts anderes als die Elemente der Gruppe etwas aussagen wollen. Ferner haben wir eine -Relation für die Ordnung auf der Gruppe, die den folgenden Axiomen genügen muss, die hier gleich in Kurzschreibweise angegeben werden:

• Reflexivität:
• Transitivität:
• Gruppenverträglichkeit:

Beispiele für geordnete abelsche Gruppen sind etwa oder .

Insgesamt haben wir einige der sogenannten logischen Symbole verwendet, Klammern als Hilfssymbole, ferner das Gleichheitszeichen und Variablen für die Elemente. Die für die Theorie der geordneten abelschen Gruppen charakteristischen Symbole sind die Konstante 0, die Funktionen + und − sowie die Relation , wobei die in der Mathematik üblichen Schreibweisen benutzt wurden, das heißt statt bzw. statt . Die beiden Funktionen haben unterschiedliche Stelligkeit, + ist zweistellig, die Inversenbildung − ist einstellig, die betrachtete Ordnungsrelation ist zweistellig. Damit sind die Symbole einer ganz bestimmten Sprache beschrieben, in der man die Theorie der geordneten abelschen Gruppen formulieren kann. Manche der aus den Symbolen gebildeten Zeichenketten sind „vernünftig“, d. h. nach gewissen Gesetzmäßigkeiten gebildet, und manche von diesen drücken darüber hinaus „wahre Aussagen“ aus. Dies wird im Folgenden verallgemeinert, insbesondere werden der Unterschied zwischen den nach Regeln gebildeten „vernünftigen“ Zeichenketten und einem möglichen „Wahrheitsgehalt“ solcher Zeichenketten herausgearbeitet sowie sich daraus ergebende Konsequenzen. Diese haben für die gesamte Mathematik Bedeutung.

Die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe

Wir beschreiben hier die verwendete Sprache auf rein syntaktische Weise, das heißt, wir legen die betrachteten Zeichenketten, die wir Ausdrücke der Sprache nennen wollen, ohne Bezug auf ihre Bedeutung fest.

Symbole

Eine Sprache erster Stufe wird aus folgenden Symbolen aufgebaut:^:S. 45

• logische Symbole:
  • Quantoren:  ,
  • Junktoren:  ,
  • technische Zeichen:  ,
• Variablensymbole:  ,
• eine (möglicherweise leere) Menge von Konstantensymbolen,
• eine (möglicherweise leere) Menge von Funktionssymbolen,
• eine (möglicherweise leere) Menge von Relationssymbolen.

Terme

Die nach folgenden Regeln aufgebauten Zeichenketten heißen Terme:^{:S. 45 :S. 3 :S. 4}

• Ist ein Variablensymbol, so ist ein Term.
• Ist ein Konstantensymbol, so ist ein Term.
• Ist ein einstelliges Funktionssymbol und ist ein Term, so ist ein Term.
• Ist ein zweistelliges Funktionssymbol und sind Terme, so ist ein Term.
• und so weiter für 3-, 4-, 5-,…-stellige Funktionssymbole.

• Ist zum Beispiel eine Konstante und sind und ein- bzw. zweistellige Funktionssymbole, so ist ein Term, da er sich durch Anwendung obiger Regeln erstellen lässt: ist ein Term, daher auch ; und sind Terme, daher auch und damit schließlich auch .

• Wir verzichten hier auf Klammern und Kommata als Trennzeichen, das heißt, wir schreiben und nicht . Wir setzen damit implizit voraus, dass unsere Symbole derart beschaffen sind, dass eine eindeutige Lesbarkeit gewährleistet ist. Siehe Polnische Notation. Konstanten werden manchmal als nullstellige Funktionen aufgefasst, was in dieser Notation besonders naheliegend ist.

• Die Regeln für die Funktionssymbole fasst man oft so zusammen:

Über den Aufbau der Terme lassen sich weitere Eigenschaften definieren. So ist zunächst die Menge der in einem Term vorkommenden Variablen durch die folgenden drei Regeln rekursiv definiert:

• Ist ein Variablensymbol, so sei .
• Ist ein Konstantensymbol, so sei .
• Ist ein n-stelliges Funktionssymbol und sind Terme, so sei .

Ausdrücke

Wir erklären nun durch Bildungsgesetze, welche Zeichenketten wir als Ausdrücke der Sprache ansehen wollen.^{:S. 46 f :S. 4}

Atomare Ausdrücke ^:S. 5

• Sind und Terme, so ist ein Ausdruck.
• Ist ein einstelliges Relationssymbol und ist ein Term, so ist ein Ausdruck.
• Ist ein zweistelliges Relationssymbol und sind Terme, so ist ein Ausdruck.
• und so weiter für 3-, 4-, 5-,…-stellige Relationssymbole.

Dabei gelten die oben zur Schreibweise bei Termen gemachten Bemerkungen.

Zusammengesetzte Ausdrücke^:S. 6

Wir beschreiben hier, wie sich aus Ausdrücken weitere gewinnen lassen.

• Ist ein Ausdruck, so ist auch ein Ausdruck.
• Sind und Ausdrücke, so sind auch , , und Ausdrücke.
• Ist ein Ausdruck und ist eine Variable, so sind auch und Ausdrücke.

Damit sind alle Ausdrücke unserer Sprache festgelegt. Ist zum Beispiel ein einstelliges Funktionssymbol und ein 2-stelliges Relationssymbol, so ist

ein Ausdruck, da er sich durch Anwendung obiger Regeln aufbauen lässt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir die Ausdrücke mittels der genannten Regeln rein mechanisch erstellen, ohne dass die Ausdrücke zwangsläufig irgendetwas bezeichnen müssten.

1. Stufe

Unterschiedliche Sprachen erster Stufe unterscheiden sich lediglich in den Mengen , und , die man üblicherweise zur Symbolmenge zusammenfasst und auch die Signatur der Sprache nennt. Man spricht dann auch genauer von -Termen bzw. -Ausdrücken. Die Sprache, das heißt die Gesamtheit aller nach obigen Regeln gebildeten Ausdrücke, wird mit , oder bezeichnet. Bei letzterem steht die römische für die erste Stufe. Dies bezieht sich auf den Umstand, dass gemäß letzter Erzeugungsregel für zusammengesetzte Ausdrücke nur über Variablen quantifiziert werden kann. sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge, über Relationen oder über Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen Peano-Axiome nicht in ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.

Freie Variablen

Weitere Eigenschaften von Ausdrücken der Sprache lassen sich ebenfalls rein syntaktisch definieren. Gemäß dem oben beschriebenen Aufbau durch Bildungsregeln wird die Menge der im Ausdruck frei vorkommenden Variablen wie folgt rekursiv definiert:^{:S. 48 f :S. 6}

• und genauso für

Nicht-freie Variable heißen gebundene Variable. Ausdrücke ohne freie Variable, das heißt solche mit , nennt man Sätze. Sämtliche in obigem motivierenden Beispiel angegebenen Axiome der geordneten abelschen Gruppen sind bei entsprechender Übersetzung in die Sprache Sätze, so zum Beispiel für das Kommutativgesetz.

Metasprachliche Ausdrücke

Das gerade gegebene Beispiel als Symbolisierung des Kommutativgesetzes in der Sprache zeigt, dass die entstehenden Ausdrücke oft schwer lesbar sind. Daher kehrt der Mathematiker, und oft auch der Logiker, gern zur klassischen Schreibweise zurück. Letzteres ist aber kein Ausdruck der Sprache , sondern nur eine Mitteilung eines solchen Ausdrucks unter Verwendung anderer Symbole einer anderen Sprache, hier der sogenannten Metasprache, das heißt derjenigen Sprache, in der man über spricht. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit lässt man auch gern überflüssige Klammern weg. Das führt nicht zu Problemen, solange klar bleibt, dass man die leichter lesbaren Zeichenketten jederzeit zurückübersetzen könnte.

Substitutionen

Häufig werden in der Mathematik Variablen durch Terme ersetzt. Auch das lässt sich hier rein syntaktisch auf Basis unserer Symbole erklären. Durch folgende Regeln legen wir fest, was es bedeuten soll, den Term für eine Variable einzusetzen. Die Substitution wird für Terme als und für Ausdrücke als gleichermaßen durch eckige Klammern notiert. Die eckigen Klammern dürfen auch weggelassen werden.

Für Terme wird die Substitution wie folgt definiert:

• Ist ein Variablensymbol, so ist gleich , falls , und sonst.
• Ist ein Konstantensymbol, so ist .
• Sind ein n-stelliges Funktionssymbol und Terme, so ist .

Für Ausdrücke legen wir fest:

• analog für die Junktoren
• ,

dabei sei eine Variable, die nicht in oder vorkommt, zum Beispiel die erste der Variablen , die diese Bedingung erfüllt. Bei dieser Definition wurde darauf geachtet, dass Variablen nicht unbeabsichtigt in den Einflussbereich eines Quantors geraten. Falls die gebundene Variable im Term auftritt, so wird diese zuvor durch eine andere ersetzt, um so die Variablenkollision zu vermeiden.

• analog für den Quantor .

Schlussbemerkung zur Syntax

Es sei noch einmal betont, dass alles bisher Gesagte nur den Aufbau beziehungsweise die Manipulation gewisser Zeichenketten beschreibt, es handelt sich um rein syntaktische Begriffe. Weder den Zeichenketten noch ihren Manipulationen sind irgendwelche Bedeutungsinhalte zugeordnet. Selbstverständlich liest man unwillkürlich die „Bedeutungen“ mit, die durch obiges Beispiel suggeriert sind, das heißt, man liest ein als „für alle“ und ein als „und“ und kann sich nur schwer von ihren „umgangssprachlichen Bedeutungen“ frei machen. Man sollte sich aber darüber im Klaren sein, dass eine solche „Bedeutung“ für die vorgestellten Begriffsbildungen nicht erforderlich ist und an keiner Stelle verwendet wird. Es ist ein wesentlicher Punkt, dass die intendierte Bedeutung dieser Zeichenketten, ihre Semantik, erst in einem im Folgenden vorgestellten Schritt hinzugefügt wird.

Semantik

Wir gehen von einer Sprache aus. Die nach obigen Regeln in dieser Sprache gebildeten Ausdrücke sollen nun mit mathematischen Strukturen in Verbindung gebracht werden. In diesen Strukturen kann man die Ausdrücke dann auf ihren Wahrheitsgehalt hin untersuchen, was im Folgenden präzisiert wird.

Strukturen

Eine Struktur über einer Signatur ist eine nicht-leere Menge zusammen mit

• einem Element für jedes Konstantensymbol ,
• einer Funktion für jedes -stellige Funktionssymbol ,
• einer Relation für jedes -stellige Relationssymbol .

Im eingangs gegebenen Beispiel geordneter abelscher Gruppen ist eine -Struktur. Durch -Strukturen werden also die Symbole aus mit „echten“ Konstanten, Funktionen und Relationen in Zusammenhang gebracht.

Interpretationen

Eine Interpretation von ist ein Paar bestehend aus einer -Struktur und einer Abbildung .

Man verbindet damit die Vorstellung, dass die Struktur das mathematische Objekt ist, das mit der Sprache beschrieben werden soll, während die Variablen mit Werten aus der Grundmenge belegt, weshalb man diese Abbildung auch Belegung nennt. Die Belegung einer Interpretation kann leicht auf Terme ausgedehnt werden, diese Ausdehnung hängt von der Interpretation der Konstantensymbole und Funktionssymbole ab und wird daher ebenfalls mit bezeichnet; man legt fest:

• Ist eine Variable, so sei .
• Ist ein Konstantensymbol, so sei .
• Ist ein n-stelliges Funktionssymbol und sind Terme, so sei .

Setzt man etwa , so ist eine solche Interpretation. Dann gilt .

Ändern wir eine Belegung nur an der Stelle ab und bilden dieses auf ab, so schreiben wir für die so abgeänderte Belegung und . Oft ist die Belegung der Variablen klar oder unwichtig; dann nennen wir, etwas unsauber, aber praktisch, auch die Struktur eine Interpretation.

Modelle

Wir wollen sagen, dass eine Interpretation ein Modell für einen -Ausdruck ist, und dafür schreiben, wenn sich dies auf Grund folgender Regeln ergibt:

Diese Definition orientiert sich wieder am regelhaften Aufbau der Ausdrücke der Sprache . Die Pünktchenschreibweise in der zweiten Regel steht hier wieder für eine Liste von Regeln, für jede Stelligkeit eine.

Durch den Begriff der Interpretation wurden die Variablen und die Symbole aus mit einer Bedeutung versehen. Durch die gerade definierte Modellbeziehung werden erstmals auch die logischen Symbole interpretiert.

Für eine Menge von Ausdrücken schreiben wir , wenn für alle gilt, und sagen, sei ein Modell von . Bezeichnet etwa die oben genannten Axiome der geordneten abelschen Gruppen, so gilt genau dann, wenn eine geordnete abelsche Gruppe ist. Dabei scheint die Belegung keine Rolle zu spielen, da nur aus Sätzen besteht, also keine freien Variablen enthält. Das ist tatsächlich der Fall, wie das sogenannte Koinzidenzlemma aussagt. In einem solchen Fall kann man weglassen und einfach schreiben. Damit ist dann ausgesagt, dass für jede Belegung ein Modell aller Ausdrücke aus ist.

Gleichheit

Zur Verwendung der Gleichheit ist anzumerken, dass wir in der Sprache erster Stufe das Symbol eingeführt haben. Ein Ausdruck der Form ist kein Ausdruck der Sprache erster Stufe, sondern die metasprachliche Behauptung der Gleichheit der beiden Ausdrücke und . Letzteres lässt sich in der Sprache erster Stufe gar nicht symbolisieren, dort können nur Terme gleich sein. Parallel zum hier betrachteten Aufbau gibt es auch die Prädikatenlogik erster Stufe ohne Gleichheit, dazu entfernt man das Symbol und die es betreffende Bildungsregel. Zwar kann man die Gleichheit dann über eine Relation wieder ins Spiel bringen, setzt diese dann aber Interpretationen aus, so dass man nicht dasselbe erhält wie eine Logik mit Gleichheit. Die logische Gleichheit hingegen bedeutet in jeder Interpretation Gleichheit von Individuen, und das ist der Grund, warum man Logiken mit Gleichheit betrachtet.

Mathematisches Schließen

Folgerungen

Es sei eine gegebene Menge von Ausdrücken, zum Beispiel obige Axiome der geordneten abelschen Gruppen. Der Mathematiker interessiert sich dafür, welche Folgerungen aus ihnen gezogen werden können. Wir sagen, der Ausdruck folge aus , und schreiben dafür , wenn jedes Modell von auch Modell von ist. Das ist die sogenannte semantische Schlussweise, da sie Bezug auf alle möglichen Interpretationen der Symbole nimmt.

Sequenzenkalkül

→ Hauptartikel: Sequenzenkalkül

In der Regel schließt der Mathematiker nicht semantisch, sondern er wendet gewisse Schlussregeln an, mit denen er sich von einer Aussage zur nächsten bis zur Behauptung vorarbeitet. Ausgehend von einer gegebenen Folge von Ausdrücken geht er zu neuen Folgen über, um am Ende mit einer Folge „bewiesen“ zu haben, dass aus folgt. Der „Beweis“ ist dabei eine endliche Liste solcher Folgen. Hier werden einige solcher Schlussregeln vorgestellt, ihr inhaltlicher Hintergrund beleuchtet und anschließend mit der semantischen Schlussweise verglichen. In nennt man das Antezedens und die nachfolgenden Ausdrücke das Sukzedens.

Voraussetzungsregel: ist eine erlaubte Folge, wenn . Dahinter steckt der einfache Tatbestand, dass man jederzeit eine der Voraussetzungen aus verwenden darf.

Antezedensregel: Falls man bereits hat, so kann man zu übergehen, falls . Wenn man nämlich von auf schließen kann, so kann man das erst recht unter noch stärkeren Voraussetzungen tun.

Fallunterscheidung: Falls man und bereits hat, so kann man zu übergehen. Man kann im Falle von auf schließen, und auch im Falle von . Daher kann man in jedem Fall von auf schließen.

Widerspruch: Falls man und bereits hat, so kann man zu übergehen. Nimmt man nämlich im Sinne eines Widerspruchsbeweises an, dass gilt, so ergibt sich aus den Voraussetzungen sowohl als auch , insgesamt also ein Widerspruch. Daher war die Annahme falsch und man kann auf schließen.

Odereinführung im Antezedens: Falls man und bereits hat, so kann man zu übergehen. Unter den Voraussetzungen ergibt sich sowohl aus als auch aus . Daher ergibt sich bereits, wenn oder gilt.

Odereinführung im Sukzedens: Falls man bereits hat, so kann man zu übergehen. Das ist klar, da mit erst recht gilt. Entsprechend kann man auch zu übergehen.

Gleichheit: Man kann jederzeit den Ausdruck hinschreiben, wobei ein beliebiger Term ist. Diese Regel bedarf keiner Erläuterung.

Die noch folgenden drei Schlussregeln verwenden die oben definierte Substitution von Variablen durch Terme:

Substitution: Falls man bereits hat, so kann man zu übergehen. Wenn man aus auf , das heißt auf mit der Ersetzung an Stelle von , schließen kann, so auch auf mit der Ersetzung an Stelle von , falls gleich ist.

Existenzeinführung im Antezedens: Falls man bereits hat, so kann man zu übergehen. Um mit der Existenzvoraussetzung arbeiten zu können, darf man ein verwenden, für das gilt. In Beweisen, die diese Regel verwenden, heißt dann nach der Existenzvoraussetzung: Sei so ein ...

Existenzeinführung im Sukzendens: Falls man bereits hat, so kann man zu übergehen. Auch diese Regel ist einsichtig, denn wenn man mit ein Beispiel für gefunden hat, so kann man auf die Existenzaussage schließen und braucht das Beispiel dabei nicht mehr zu erwähnen.

Die hier vorgestellten Regeln, die den sogenannten Sequenzenkalkül bilden, sind logisch schlüssig, wie als Zusatz zu jeder Regelnennung ausgeführt wurde. Mathematiker verwenden noch einige andere Schlussregeln, von denen aber gezeigt werden kann, dass sie alle aus den oben genannten hergeleitet werden können, das heißt, ihre Anwendung kann durch eine endliche Kette obiger Regeln ersetzt werden. Wenn man ausgehend von nach endlich vielen Anwendungen dieser Regeln zu gelangt ist, so ist damit aus logisch schlüssig abgeleitet, wir schreiben dafür .

Im Gegensatz zur oben erklärten semantischen Schlussweise sind die „Beweise“ rein syntaktischer Natur, man kann sie als Manipulation von Zeichenketten der betrachteten Sprache ansehen. Um die Schlussregeln anwenden zu können, muss man nicht wissen, was die Symbole bedeuten.

Vollständigkeit und Korrektheit

→ Hauptartikel: Vollständigkeit (Logik) und Gödelscher Vollständigkeitssatz

Ist die Interpretation ein Modell für eine Menge von Ausdrücken der Sprache und ist , so ist auch ein Modell für , denn der mit einhergehende Beweis lässt sich ja ohne Weiteres direkt im Modell ausführen. Es gilt also der sogenannte Korrektheitssatz, dass aus stets folgt.

Umgekehrt wäre es durchaus denkbar, dass es zu einer Ausdrucksmenge nur einige wenige Modelle gibt, die zufällig eine in der Sprache erster Stufe ausdrückbare Eigenschaft gemeinsam haben, ohne dass es dazu eine Möglichkeit gäbe, sie durch obige syntaktische Zeichenkettenoperationen aus ableiten zu können. Dass dies nicht der Fall ist, sondern dass semantische und syntaktische Schlussweisen gleichwertig sind, ist als Gödelscher Vollständigkeitssatz bekannt und ein zentrales Ergebnis der Prädikatenlogik erster Stufe. Man kann zeigen, dass sich zu einer Prädikatenlogik zweiter Stufe, in der man Quantifizierungen über Relationen zulässt, kein zur semantischen Schlussweise gleichwertiger Sequenzenkalkül finden lässt.

Eigenschaften

Erfüllbarkeitssatz

Eine Menge von Ausdrücken der Sprache heißt widerspruchsfrei, wenn sich kein Ausdruck der Form aus ableiten lässt. Damit ist Widerspruchsfreiheit ein rein syntaktischer Begriff. Es gilt folgender Erfüllbarkeitssatz, der sich aus dem Satz von Henkin herleiten lässt und eng mit dem Gödelschen Vollständigkeitssatz verbunden ist:

• Zu jeder widerspruchsfreien Menge gibt es ein Modell.

Kompaktheitssatz

• Kompaktheitssatz: Ist eine Menge von Ausdrücken der Sprache und gibt es zu jeder endlichen Teilmenge von ein Modell, so gibt es auch ein Modell für .

Gäbe es nämlich kein Modell für , so wäre nach dem Erfüllbarkeitssatz nicht widerspruchsfrei, und es gäbe dann eine Ableitung . Da ein Beweis aber nur eine endliche Länge hat und daher auch nur endlich viele der Ausdrücke aus involvieren kann, muss es bereits eine endliche Teilmenge geben mit . Nach dem Vollständigkeitssatz folgt , das heißt, es kann für kein Modell geben, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Der Endlichkeitssatz wird auch Kompaktheitssatz genannt: Man wähle zu jeder widerspruchsfreien Menge von Sätzen ein Modell und fasse die so gefundenen Modelle zu einer Menge zusammen. Für einen Satz sei . Dann bilden die Mengen die Basis einer Topologie auf und der Endlichkeitssatz ist zur Kompaktheit dieses Raums äquivalent.

Isomorphien

Aus dem Kompaktheitssatz folgt:

• Gibt es zu einer Menge von Ausdrücken der Sprache ein unendliches Modell, so gibt es Modelle beliebig hoher Mächtigkeit.

Ist nämlich gegeben und ist eine Kardinalzahl, so sei eine Menge von nicht in enthaltenen Konstantensymbolen. Jede endliche Teilmenge von hat dann ein Modell in der Sprache , wobei die um die neuen Konstantensymbole erweiterte Symbolmenge sei. Wegen des Endlichkeitssatzes gibt es dann ein Modell für , und das hat mindestens die Mächtigkeit . Mit etwas genauerer Argumentation kann man sogar ein Modell der Mächtigkeit finden, falls die Mächtigkeit von kleiner gleich ist.

Hier zeigt sich eine Schwäche der Prädikatenlogik erster Stufe. Mittels der Sprache der ersten Stufe kann für Ausdrucksmengen mit unendlichen Modellen niemals eine Charakterisierung bis auf Isomorphie gelingen, denn die Klasse aller Modelle zu einer solchen widerspruchsfreien Menge von Ausdrücken enthält stets Modelle beliebig hoher Mächtigkeit, also auch nicht isomorphe Modelle. Man nennt zwei Modelle elementar äquivalent, wenn die Mengen der Ausdrücke, für die sie Modelle sind, übereinstimmen. Die Sprachen erster Stufe können daher unendliche Strukturen bzw. Modelle nur bis auf elementare Äquivalenz charakterisieren.

Satz von Löwenheim-Skolem

→ Hauptartikel: Satz von Löwenheim-Skolem

Ebenfalls aus dem Satz von Henkin lässt sich der Satz von Löwenheim-Skolem ableiten:

• Gibt es zu einer höchstens abzählbaren Menge von Ausdrücken der Sprache ein unendliches Modell, so gibt es auch ein abzählbares Modell.

Im einleitenden Beispiel ist ein abzählbares Modell. In vielen mathematischen Theorien lassen sich diese sehr leicht finden, in der Modelltheorie hat das Löwenheim-Skolem-Theorem aber tiefgehende Anwendungen.

Satz von Lindström

Wegen oben genannter Schwächen der Sprache erster Stufe kann man nach geeigneten Erweiterungen suchen. Wenn man auf diese Weise echt ausdrucksstärkere Sprachen findet, was natürlich noch zu präzisieren wäre, so zeigen die Sätze von Lindström, dass man dann auf den Endlichkeitssatz oder auf den Satz von Löwenheim-Skolem verzichten muss. Will man beide Sätze beibehalten, so ist die Prädikatenlogik erster Stufe also „das Beste“, was man erreichen kann.

Siehe auch

• Logik höherer Stufe für weitere Erweiterungen der Logik
• Lokalität (Logik) zu Grenzen der Ausdrucksstärke der Prädikatenlogik erster Stufe
• Gödelscher Unvollständigkeitssatz, ein grundlegender Satz der Prädikatenlogik erster Stufe und der mathematischen Logik überhaupt

Literatur

• H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag 1996, ISBN 3-8274-0130-5
• Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-8348-9530-1. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Das Kommazeichen „,“ wird hier nur als Trennzeichen für die Aufzählung der Symbole benutzt, es ist nicht Symbol der Sprache.
2. Zur aussagenlogischen Entsprechung siehe Aussagenlogik §Bausteine der aussagenlogischen Sprache.
3. Erich Grädel: Mathematische Logik. Mathematische Grundlagen der Informatik, SS 2009. RWTH, Aachen, S. 129 (uni-dortmund.de [PDF]). 
4. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 3.1
5. Zur aussagenlogischen Entsprechung siehe Aussagenlogik §Formationsregeln.
6. W. Vogler: Logik für Informatiker. WS 2007/2008. Univ. Augsburg, Institut für Informatik, Augsburg, S. 49 (uni-augsburg.de [PDF]). 
7. R. Kruse, C. Borgelt: Grundbegriffe der Prädikatenlogik. Computational Intelligence. Otto-von-Guericke Universität, Magdeburg 2008, S. 14 (fuzzy.cs.ovgu.de [PDF]). 
8. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 3.2
9. Es findet sich auch die Bezeichnung Formel, siehe Elementare Sprache §Formeln und Logische Formel. Entsprechend steht dann Atomformel für Atomaren Ausdruck
10. Gelegentlich werden nullstellige Relationen zugelassen, dies treten dann als logische Konstanten (im Prinzip Bezeichner für wahr oder falsch) auf. Als alternativer Ausdruck für die Relationssymbole findet man auch Prädikate. Siehe Stefan Brass: Mathematische Logik mit Datenbank-Anwendungen. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Institut für Informatik, Halle 2005, S. 176, hier S. 19 (uni-halle.de [PDF]). 
11. Auch als Aussagenlogische Verknüpfungen bezeichnet.
12. mit dem Spezialfall einstelliger Relationen = Teilmengen
13. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VII: Zur Tragweite der ersten Stufe
14. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 5.1
15. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, III, Definition 3.2
16. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Ende des Absatzes 3.1.
17. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VI.2.1