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Korrektheit Logik Korrektheit englisch soundness ist eine wichtige Eigenschaft formaler Systeme oder Kalküle und betriff

Korrektheit (Logik)

Korrektheit (englisch soundness) ist eine wichtige Eigenschaft formaler Systeme oder Kalküle und betrifft den Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik, der umgangssprachlich lautet: Was formal ableitbar ist, ist auch wahr, soweit die Prämissen der Ableitung wahr sind.

In der formalen Logik wird Ableitbarkeit durch den syntaktischen Ableitungsoperator und Schlussfolgern durch die semantische Folgerungsrelation ausgedrückt: Ein Kalkül heißt korrekt, wenn für Aussagenmengen und aus stets folgt. Die Semantik des Schließens wird modelltheoretisch definiert: gilt genau dann, wenn jedes Modell von auch Modell von ist.

Für die Korrektheit eines Kalküls ist hinreichend, wenn jede einzelne Ableitungsregel gültig ist. In einem korrekten Kalkül, welcher zusätzlich ein gewähltes Modell richtig beschreibt, lässt sich keine Formel herleiten, die im gewählten Modell nicht wahr ist. Allerdings hilft ein korrekter Kalkül nicht weiter, wenn er das Modell durch Axiome falsch beschreibt (z. B. postuliere für einen Kalkül der natürlichen Zahlen, dass die Null einen Vorgänger hat) oder inkonsistent ist (z. B. postuliere für einen Kalkül der natürlichen Zahlen, dass die Null einen Vorgänger hat und keinen Vorgänger hat). Aus einem solchen korrekten Kalkül lassen sich Formeln herleiten, die im gewählten Modell nicht wahr sind.

Das Gegenstück zur Korrektheit ist die Vollständigkeit eines formalen Systems. Sie besagt: Was semantisch richtig ist, lässt sich auch ableiten. Vollständigkeitssätze sind meist weitaus schwieriger zu beweisen als Korrektheitssätze; so bereitet der Beweis für die Korrektheit des Sequenzenkalküls der Prädikatenlogik keine Probleme, wohingegen der Vollständigkeitssatz schwieriger ist.

Siehe auch Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag; 2007, ISBN 978-3827416919
  • Hans-Peter Tuschik, Helmut Wolter: Mathematische Logik – kurzgefasst. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre, BI-Wiss. Verlag, Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich 1994, ISBN 3-411-16731-9.

Einzelnachweis Bearbeiten

  1. Ebbinghaus, Einführung in die mathematische Logik, Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich 1992, S. 74
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Korrektheit englisch soundness ist eine wichtige Eigenschaft formaler Systeme oder Kalkule und betrifft den Zusammenhang zwischen Syntax und Semantik der umgangssprachlich lautet Was formal ableitbar ist ist auch wahr soweit die Pramissen der Ableitung wahr sind In der formalen Logik wird Ableitbarkeit durch den syntaktischen Ableitungsoperator displaystyle vdash und Schlussfolgern durch die semantische Folgerungsrelation displaystyle models ausgedruckt Ein Kalkul heisst korrekt wenn fur Aussagenmengen S displaystyle Sigma und PS displaystyle Psi aus S PS displaystyle Sigma vdash Psi stets S PS displaystyle Sigma models Psi folgt Die Semantik des Schliessens wird modelltheoretisch definiert S PS displaystyle Sigma models Psi gilt genau dann wenn jedes Modell von S displaystyle Sigma auch Modell von PS displaystyle Psi ist Fur die Korrektheit eines Kalkuls ist hinreichend wenn jede einzelne Ableitungsregel gultig ist In einem korrekten Kalkul welcher zusatzlich ein gewahltes Modell richtig beschreibt lasst sich keine Formel herleiten die im gewahlten Modell nicht wahr ist Allerdings hilft ein korrekter Kalkul nicht weiter wenn er das Modell durch Axiome falsch beschreibt z B postuliere S displaystyle Sigma fur einen Kalkul der naturlichen Zahlen dass die Null einen Vorganger hat oder inkonsistent ist z B postuliere S displaystyle Sigma fur einen Kalkul der naturlichen Zahlen dass die Null einen Vorganger hat und keinen Vorganger hat Aus einem solchen korrekten Kalkul lassen sich Formeln herleiten die im gewahlten Modell nicht wahr sind Das Gegenstuck zur Korrektheit ist die Vollstandigkeit eines formalen Systems Sie besagt Was semantisch richtig ist lasst sich auch ableiten Vollstandigkeitssatze sind meist weitaus schwieriger zu beweisen als Korrektheitssatze so bereitet der Beweis fur die Korrektheit des Sequenzenkalkuls der Pradikatenlogik keine Probleme 1 wohingegen der Vollstandigkeitssatz schwieriger ist Siehe auch BearbeitenAllgemeingultigkeit Gultigkeit Fehlschluss Korrektheit Informatik Quellen BearbeitenHeinz Dieter Ebbinghaus Jorg Flum Wolfgang Thomas Einfuhrung in die mathematische Logik 5 Aufl Spektrum Akademischer Verlag 2007 ISBN 978 3827416919 Hans Peter Tuschik Helmut Wolter Mathematische Logik kurzgefasst Grundlagen Modelltheorie Entscheidbarkeit Mengenlehre BI Wiss Verlag Mannheim Leipzig Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 16731 9 Einzelnachweis Bearbeiten Ebbinghaus Einfuhrung in die mathematische Logik Mannheim Leipzig Wien Zurich 1992 S 74 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korrektheit Logik amp oldid 223848557