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Kalkül

Als der oder das Kalkül (französisch calcul „Rechnung“; von lateinisch calculus „Rechenstein“, „Spielstein“) versteht man in den formalen Wissenschaften wie Logik und Mathematik ein formales System von Regeln, mit denen sich aus gegebenen Aussagen (Axiomen) weitere Aussagen ableiten lassen. Kalküle, auf eine Logik selbst angewandt, werden auch Logikkalküle genannt.

Das Wort Kalkül im logischen und mathematischen Sinn ist ein Maskulinum (der Kalkül). Kalkül im umgangssprachlichen Sinn wird auch als Neutrum (das Kalkül, deshalb auch „ins Kalkül ziehen“) in der Bedeutung von „Berechnung“ oder „Überlegung“ verwendet.

Bestandteile Bearbeiten

Ein Kalkül besteht aus folgenden Bestandteilen:

  • Bausteine, also Grundelemente (Grundzeichen), aus denen komplexere Ausdrücke zusammengesetzt werden. Die Gesamtheit der Bausteine des Kalküls wird auch sein Alphabet genannt. Für einen Kalkül der Aussagenlogik z. B. wählt man als Bausteine Satzbuchstaben (Satzvariablen), einige Konnektive (z. B. →, ∧, ∨ und ¬) und gegebenenfalls Gliederungszeichen (Klammern). In Analogie zu natürlichen Sprachen kann man die Liste der Bausteine als „Wörterbuch“ (im Sinn einer Wörterliste) des Kalküls bezeichnen.
  • Formationsregeln, mit denen festgelegt wird, wie die Bausteine zu komplexen Objekten, die auch wohlgeformte Formeln genannt werden, zusammengesetzt werden dürfen. Die Gesamtheit der von den Formationsregeln gebildeten, wohlgeformten Ausdrücke wird auch Satzmenge des Kalküls genannt und ist eine formale Sprache über den Bausteinen. Ein Kalkül für die Aussagenlogik könnte zum Beispiel festlegen, dass man aus zwei bestehenden Sätzen einen neuen Satz bilden darf, indem man die beiden mit einem zweistelligen Konnektiv verbindet. So sind die Formationsregeln in Analogie zur natürlichen Sprache die „Grammatik“ des Kalküls.
  • Transformationsregeln (Ableitungsregeln, Deduktionsregeln), die angeben, wie bestehende wohlgeformte Objekte (Ausdrücke, Sätze) des Kalküls umgeformt werden dürfen, um neue Objekte daraus zu erzeugen. In einem logischen Kalkül sind die Transformationsregeln Schlussregeln, die angeben, wie man aus bestehenden Sätzen auf neue Sätze schließen kann. Ein Beispiel für eine Schlussregel ist der Modus ponens, der erlaubt, von zwei Sätzen der Form „A → B“ und „A“ auf den Satz der Form „B“ zu schließen.
  • Axiome sind Objekte (Ausdrücke), die nach den Formationsregeln des Kalküls gebildet sind und die ohne weitere Rechtfertigung, d. h., ohne eine Transformationsregel auf bereits bestehende Ausdrücke anzuwenden, verwendet werden dürfen.

Von diesen Bestandteilen ist nur der letzte (die Axiome) optional. Ein Kalkül, der Axiome beinhaltet – egal wie viele oder wie wenige –, wird axiomatischer Kalkül (auch „axiomatischer Regelkalkül“) genannt. Kalküle, die ohne Axiome auskommen, dafür aber meistens mehr Transformationsregeln beinhalten, werden oft als Regelkalküle (auch Schlussregelkalküle) bezeichnet.

Ein Kalkül ordnet weder seinen Bausteinen noch den daraus erzeugten zusammengesetzten Objekten eine Bedeutung zu. Gibt man für die von einem Kalkül erzeugten Zeichenreihen eine Interpretation an, d. h., legt man für sie eine Bedeutung fest, spricht man von einem interpretierten Kalkül, ansonsten von einem uninterpretierten Kalkül.

Ein Kalkül bildet sozusagen einen fest abgeschlossenen Handlungsspielraum. Das Schachspiel mit den Figuren (Axiome) und Zugregeln (Schlussregeln) bietet, wie Spiele im Allgemeinen, ein anschauliches Beispiel. Ein vorgegebenes Ziel (z. B. Gewinn des Spiels, Lösung eines – politischen – Konflikts, Finden eines Weges aus dem Labyrinth) gehört jedoch nicht zum Kalkül.

Kalküle in der Logik Bearbeiten

In der Logik sind Kalküle präzise definiert: Axiome sind dort Formeln (Aussagen), Transformationsregeln sind Ersetzungsschemata über den Formeln. Der Begriff des Schließens spielt in der Logik eine zentrale Rolle, und so versucht man den semantisch definierten Folgerungsoperator (siehe Tautologie) durch den syntaktisch definierten Ableitungsoperator nachzubilden, der die Anwendung von Schlussregeln symbolisiert.

Ein Kalkül heißt

Es gibt logische Systeme bzw. allgemein formale Systeme, für die sich adäquate Kalküle aufstellen lassen, zum Beispiel die klassische Logik. Andere formale Systeme sind ihrer Natur nach so beschaffen, dass es nicht möglich ist, einen Kalkül aufzustellen, der vollständig und korrekt ist (z. B. Prädikatenlogik höherer Stufe).

Für die Aussagenlogik gibt es in Gestalt der Wahrheitstabellen ein semantisches Entscheidungsverfahren (siehe Entscheidungsproblem), mit dem sich für alle Formeln und Argumente deren aussagenlogische Gültigkeit bzw. Ungültigkeit eindeutig ermitteln lässt, ohne dass die jeweilige Formel bzw. das jeweilige Argument in einem Kalkül abgeleitet werden müsste. Insofern ist für aussagenlogische Fragestellungen die Verwendung eines Logikkalküls nicht erforderlich.

Demgegenüber gibt es schon für die allgemeine Prädikatenlogik weder semantische noch syntaktische Entscheidungsverfahren; hier ist es zum Nachweis der Gültigkeit eines Arguments daher erforderlich, es in einem geeigneten Kalkül herzuleiten. Gelingt die Ableitung, dann ist das Argument als gültig erwiesen; gelingt die Ableitung nicht, dann sagt das nichts über die Gültigkeit des Arguments aus: Es könnte ungültig sein, es könnte aber auch die Suche nach einem geeigneten Beweis nicht gründlich genug gewesen sein.

Praktische Anwendung finden logische Kalküle in der Informatik auf dem Gebiet des maschinengestützten Beweisens.

Beispiele Bearbeiten

Kalküle in der Mathematik Bearbeiten

In der Mathematik können sämtliche Regelsysteme, die, richtig angewendet, zu richtigen Ergebnissen führen, als Kalkül bezeichnet werden.

Beispiele Bearbeiten

Geschichte der Theorie des Kalküls Bearbeiten

Die philosophischen Wurzeln des Kalküls führt man bis auf die Syllogistik von Aristoteles zurück, bei der es sich um ein formales System im modernen Sinn handelt. Die Geschichte der Theorie des Kalküls wird unterschiedlich weit zurückverfolgt. Als eigentlicher Begründer wird meist Leibniz genannt. Ziel seiner Theorie von einer characteristica universalis war es, durch reine Anwendung von vorher bestimmten Regeln mit Hilfe von Sprache neue Erkenntnisse zu gewinnen. Für andere knüpfte Leibniz damit an die ersten Ansätze eines Logikkalküls in der Kombinatorik von Raimundus Lullus an.

Bedeutung der Kalkülisierung Bearbeiten

Die Kalkülisierung der Logik macht in ihrem Anwendungsbereich das logische Denken zu einer Art des Rechnens. Sie ist ein Kennzeichen der modernen Logik und macht sie zur formalen, mathematischen oder symbolischen Logik. Nach Hilbert/Ackermann dient die Kalkülisierung der logischen Folgerung ihrer Zerlegung in letzte Elemente, so dass die logische Folgerung „als formale Umgestaltung der Ausgangsformeln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln analog sind, [erscheint]; das logische Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül“.

Die mit der Kalkülisierung einhergehende Mathematisierung bringt der Logik die Vorteile der Exaktheit und Überprüfbarkeit der Mathematik. Sie ist ein Phänomen der Konvergenz zum logizistischen Programm (Logizismus), d. h. zur Rückführung der Mathematik auf die Logik.

Die Kalkülisierung macht die Logik für Programmiersprachen geeignet.

Nach Paul Lorenzen besteht die Bedeutung der Kalkülisierung zunächst einmal darin, dass sie den Zirkel axiomatischer Theorien, dass sie selbst Logik voraussetzen, dadurch auflöst, dass Kalküle keine Logik voraussetzen sollen. „Für das Begründungsproblem, also für die Frage[,] mit welchem Recht man gewisse Schlüsse als logische Schlüsse anerkennt, liefert die Kalkülisierung keine Antwort.“

Als philosophisch relevant wird angegeben, dass ein (uninterpretierter) Kalkül „nichts Wirkliches“ sei, „sondern nur Regeln für unser eigenes Handeln, für das Operieren mit Figuren, enthält“.

Das Absehen von einer Interpretation bedeutet eine methodische Entlastung von semantischen Fragen und Kontroversen. Wird das Formale absolut gesetzt, birgt die Formalisierung die Gefahr eines reduktionistischen Formalismus, d. h. zu der Annahme, dass die semantische Reinterpretation und der Wirklichkeitsbezug logischer Aussagen in einem Kalkül letztendlich willkürlich bzw. nicht gegeben ist.

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Bachmann: Der Weg der mathematischen Grundlagenforschung. Peter Lang, Bern 1983, ISBN 3-261-05089-6.

Quellen Bearbeiten

  1. Homberger, Sachwörterbuch zur Sprachwissenschaft (2000)/Kalkül.
  2. So Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der Philosophischen Begriffe (2005)/Kalkül.
  3. Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 270
  4. Hoyningen-Huene, Logik (1998), S. 258.
  5. So z. B. Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 62.
  6. Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002)/Lullus.
  7. Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 1.
  8. Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 62.
  9. Lorenzen, Logik, 4. Aufl. (1970), S. 74.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Kalkül – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Dieser Artikel behandelt das Kalkul in formalen Wissenschaften Zum Kalkul in Datenbank siehe Kalkul Datenbank Als der oder das Kalkul franzosisch calcul Rechnung von lateinisch calculus Rechenstein Spielstein versteht man in den formalen Wissenschaften wie Logik und Mathematik ein formales System von Regeln mit denen sich aus gegebenen Aussagen Axiomen weitere Aussagen ableiten lassen Kalkule auf eine Logik selbst angewandt werden auch Logikkalkule genannt Das Wort Kalkul im logischen und mathematischen Sinn ist ein Maskulinum der Kalkul Kalkul im umgangssprachlichen Sinn wird auch als Neutrum das Kalkul deshalb auch ins Kalkul ziehen in der Bedeutung von Berechnung oder Uberlegung verwendet 1 Inhaltsverzeichnis 1 Bestandteile 2 Kalkule in der Logik 2 1 Beispiele 3 Kalkule in der Mathematik 3 1 Beispiele 4 Geschichte der Theorie des Kalkuls 5 Bedeutung der Kalkulisierung 6 Literatur 7 Quellen 8 WeblinksBestandteile BearbeitenEin Kalkul besteht aus folgenden Bestandteilen Bausteine also Grundelemente Grundzeichen aus denen komplexere Ausdrucke zusammengesetzt werden Die Gesamtheit der Bausteine des Kalkuls wird auch sein Alphabet genannt Fur einen Kalkul der Aussagenlogik z B wahlt man als Bausteine Satzbuchstaben Satzvariablen einige Konnektive z B und und gegebenenfalls Gliederungszeichen Klammern In Analogie zu naturlichen Sprachen kann man die Liste der Bausteine als Worterbuch im Sinn einer Worterliste des Kalkuls bezeichnen Formationsregeln mit denen festgelegt wird wie die Bausteine zu komplexen Objekten die auch wohlgeformte Formeln genannt werden zusammengesetzt werden durfen Die Gesamtheit der von den Formationsregeln gebildeten wohlgeformten Ausdrucke wird auch Satzmenge des Kalkuls genannt und ist eine formale Sprache uber den Bausteinen Ein Kalkul fur die Aussagenlogik konnte zum Beispiel festlegen dass man aus zwei bestehenden Satzen einen neuen Satz bilden darf indem man die beiden mit einem zweistelligen Konnektiv verbindet So sind die Formationsregeln in Analogie zur naturlichen Sprache die Grammatik des Kalkuls Transformationsregeln Ableitungsregeln Deduktionsregeln die angeben wie bestehende wohlgeformte Objekte Ausdrucke Satze des Kalkuls umgeformt werden durfen um neue Objekte daraus zu erzeugen In einem logischen Kalkul sind die Transformationsregeln Schlussregeln die angeben wie man aus bestehenden Satzen auf neue Satze schliessen kann Ein Beispiel fur eine Schlussregel ist der Modus ponens der erlaubt von zwei Satzen der Form A B und A auf den Satz der Form B zu schliessen Axiome sind Objekte Ausdrucke die nach den Formationsregeln des Kalkuls gebildet sind und die ohne weitere Rechtfertigung d h ohne eine Transformationsregel auf bereits bestehende Ausdrucke anzuwenden verwendet werden durfen Von diesen Bestandteilen ist nur der letzte die Axiome optional Ein Kalkul der Axiome beinhaltet egal wie viele oder wie wenige wird axiomatischer Kalkul auch axiomatischer Regelkalkul 2 genannt Kalkule die ohne Axiome auskommen dafur aber meistens mehr Transformationsregeln beinhalten werden oft als Regelkalkule auch Schlussregelkalkule bezeichnet Ein Kalkul ordnet weder seinen Bausteinen noch den daraus erzeugten zusammengesetzten Objekten eine Bedeutung zu Gibt man fur die von einem Kalkul erzeugten Zeichenreihen eine Interpretation an d h legt man fur sie eine Bedeutung fest spricht man von einem interpretierten Kalkul ansonsten von einem uninterpretierten Kalkul Ein Kalkul bildet sozusagen einen fest abgeschlossenen Handlungsspielraum Das Schachspiel mit den Figuren Axiome und Zugregeln Schlussregeln bietet wie Spiele im Allgemeinen ein anschauliches Beispiel Ein vorgegebenes Ziel z B Gewinn des Spiels Losung eines politischen Konflikts Finden eines Weges aus dem Labyrinth gehort jedoch nicht zum Kalkul Kalkule in der Logik BearbeitenIn der Logik sind Kalkule prazise definiert Axiome sind dort Formeln Aussagen Transformationsregeln sind Ersetzungsschemata uber den Formeln Der Begriff des Schliessens spielt in der Logik eine zentrale Rolle und so versucht man den semantisch definierten Folgerungsoperator displaystyle models nbsp siehe Tautologie durch den syntaktisch definierten Ableitungsoperator displaystyle vdash nbsp nachzubilden der die Anwendung von Schlussregeln symbolisiert Ein Kalkul heisst korrekt wenn sich in ihm nur semantisch gultige allgemeingultige Formeln ableiten lassen Es darf aber ohne Weiteres sein dass es semantisch gultige Formeln gibt die in dem Kalkul nicht ableitbar sind Formal ausgedruckt Wenn fur alle Formeln G displaystyle G nbsp und fur alle Formelmengen G displaystyle Gamma nbsp gilt G G G G displaystyle Gamma vdash G Rightarrow Gamma models G nbsp vollstandig wenn sich in ihm alle semantisch gultigen Formeln ableiten lassen Es kann aber ohne Weiteres sein dass sich in dem Kalkul auch solche Formeln ableiten lassen die nicht semantisch gultig sind Formal ausgedruckt Wenn fur alle Formeln G displaystyle G nbsp und fur alle Formelmengen G displaystyle Gamma nbsp gilt G G G G displaystyle Gamma models G Rightarrow Gamma vdash G nbsp adaquat wenn er sowohl vollstandig als auch korrekt ist d h wenn sich die Begriffe der Beweisbarkeit und der Ableitbarkeit im Kalkul mit den jeweiligen Begriffen der Allgemeingultigkeit und der logischen Folgerung decken 3 widerspruchsfrei wenn sich in ihm kein Widerspruch ableiten lasst wenn es unmoglich ist eine Formel f displaystyle varphi nbsp und ihre Negation f displaystyle neg varphi nbsp aus nicht widerspruchlichen Pramissen abzuleiten konsistent wenn in ihm mindestens eine Formel nicht ableitbar ist Bemerkung Widerspruchsfreiheit und Konsistenz decken sich in der klassischen Logik und intuitionistischen Logik Begrundung Wenn ein Kalkul widerspruchsfrei ist ist es z B unmoglich sowohl P displaystyle vdash P nbsp als auch P displaystyle vdash neg P nbsp zu beweisen Das heisst dass es mindestens eine Formel gibt namlich P displaystyle P nbsp oder P displaystyle neg P nbsp die nicht ableitbar ist Wenn der Kalkul andererseits nicht widerspruchsfrei ist und sich sowohl f displaystyle varphi nbsp als auch f displaystyle neg varphi nbsp ableiten lassen dann lasst sich ex falso quodlibet jede beliebige Formel ableiten diese Schlussform gilt sowohl in der klassischen als auch in der intuitionistischen Logik Es gibt logische Systeme bzw allgemein formale Systeme fur die sich adaquate Kalkule aufstellen lassen zum Beispiel die klassische Logik Andere formale Systeme sind ihrer Natur nach so beschaffen dass es nicht moglich ist einen Kalkul aufzustellen der vollstandig und korrekt ist z B Pradikatenlogik hoherer Stufe Fur die Aussagenlogik gibt es in Gestalt der Wahrheitstabellen ein semantisches Entscheidungsverfahren siehe Entscheidungsproblem mit dem sich fur alle Formeln und Argumente deren aussagenlogische Gultigkeit bzw Ungultigkeit eindeutig ermitteln lasst ohne dass die jeweilige Formel bzw das jeweilige Argument in einem Kalkul abgeleitet werden musste Insofern ist fur aussagenlogische Fragestellungen die Verwendung eines Logikkalkuls nicht erforderlich 4 Demgegenuber gibt es schon fur die allgemeine Pradikatenlogik weder semantische noch syntaktische Entscheidungsverfahren hier ist es zum Nachweis der Gultigkeit eines Arguments daher erforderlich es in einem geeigneten Kalkul herzuleiten Gelingt die Ableitung dann ist das Argument als gultig erwiesen gelingt die Ableitung nicht dann sagt das nichts uber die Gultigkeit des Arguments aus Es konnte ungultig sein es konnte aber auch die Suche nach einem geeigneten Beweis nicht grundlich genug gewesen sein Praktische Anwendung finden logische Kalkule in der Informatik auf dem Gebiet des maschinengestutzten Beweisens Beispiele Bearbeiten Aussagenkalkul Begriffsschrift Beth Tableaux Existential Graphs Fitch Kalkul Gentzenkalkul bzw Sequenzenkalkul Hilbertkalkul Hoare Kalkul Lambda Kalkul Pradikatenkalkul Relationenkalkul Resolutionskalkul Situationskalkul SyllogistikKalkule in der Mathematik BearbeitenIn der Mathematik konnen samtliche Regelsysteme die richtig angewendet zu richtigen Ergebnissen fuhren als Kalkul bezeichnet werden Beispiele Bearbeiten Arithmetik Integralrechnung Infinitesimalrechnung Kalkul der Differentialformen O Kalkul Pi Kalkul Residuenkalkul Stochastischer Kalkul Kalkule in der Bilanz Bewertung wp KalkulGeschichte der Theorie des Kalkuls BearbeitenDie philosophischen Wurzeln des Kalkuls fuhrt man bis auf die Syllogistik von Aristoteles zuruck bei der es sich um ein formales System im modernen Sinn handelt Die Geschichte der Theorie des Kalkuls wird unterschiedlich weit zuruckverfolgt Als eigentlicher Begrunder wird meist Leibniz genannt 5 Ziel seiner Theorie von einer characteristica universalis war es durch reine Anwendung von vorher bestimmten Regeln mit Hilfe von Sprache neue Erkenntnisse zu gewinnen Fur andere knupfte Leibniz damit an die ersten Ansatze eines Logikkalkuls in der Kombinatorik von Raimundus Lullus an 6 Bedeutung der Kalkulisierung BearbeitenDie Kalkulisierung der Logik macht in ihrem Anwendungsbereich das logische Denken zu einer Art des Rechnens Sie ist ein Kennzeichen der modernen Logik und macht sie zur formalen mathematischen oder symbolischen Logik Nach Hilbert Ackermann dient die Kalkulisierung der logischen Folgerung ihrer Zerlegung in letzte Elemente so dass die logische Folgerung als formale Umgestaltung der Ausgangsformeln nach gewissen Regeln die den Rechenregeln analog sind erscheint das logische Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkul 7 Die mit der Kalkulisierung einhergehende Mathematisierung bringt der Logik die Vorteile der Exaktheit und Uberprufbarkeit der Mathematik Sie ist ein Phanomen der Konvergenz zum logizistischen Programm Logizismus d h zur Ruckfuhrung der Mathematik auf die Logik Die Kalkulisierung macht die Logik fur Programmiersprachen geeignet Nach Paul Lorenzen besteht die Bedeutung der Kalkulisierung zunachst einmal darin dass sie den Zirkel axiomatischer Theorien dass sie selbst Logik voraussetzen dadurch auflost dass Kalkule keine Logik voraussetzen sollen Fur das Begrundungsproblem also fur die Frage mit welchem Recht man gewisse Schlusse als logische Schlusse anerkennt liefert die Kalkulisierung keine Antwort 8 Als philosophisch relevant wird angegeben dass ein uninterpretierter Kalkul nichts Wirkliches sei sondern nur Regeln fur unser eigenes Handeln fur das Operieren mit Figuren enthalt 9 Das Absehen von einer Interpretation bedeutet eine methodische Entlastung von semantischen Fragen und Kontroversen Wird das Formale absolut gesetzt birgt die Formalisierung die Gefahr eines reduktionistischen Formalismus d h zu der Annahme dass die semantische Reinterpretation und der Wirklichkeitsbezug logischer Aussagen in einem Kalkul letztendlich willkurlich bzw nicht gegeben ist Literatur BearbeitenHeinz Bachmann Der Weg der mathematischen Grundlagenforschung Peter Lang Bern 1983 ISBN 3 261 05089 6 Quellen Bearbeiten Homberger Sachworterbuch zur Sprachwissenschaft 2000 Kalkul So Regenbogen Meyer Worterbuch der Philosophischen Begriffe 2005 Kalkul Hoyningen Huene Logik 1998 S 270 Hoyningen Huene Logik 1998 S 258 So z B Lorenzen Logik 4 Aufl 1970 S 62 Schulerduden Philosophie 2 Aufl 2002 Lullus Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 1 Lorenzen Logik 4 Aufl 1970 S 62 Lorenzen Logik 4 Aufl 1970 S 74 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Kalkul Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Normdaten Sachbegriff GND 4163108 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kalkul amp oldid 233127927