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Assoziativgesetz Das genauer die Assoziativität lateinisch associare vereinigen verbinden verknüpfen vernetzen auf Deuts

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz, genauer die Assoziativität (lateinisch associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfbarkeit, ist in der Mathematik eine Eigenschaft mancher (meist zweistelligen) Verknüpfungen. Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn alle Reihenfolgen der Ausführung dasselbe Ergebnis haben. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden.

Neben dem Assoziativgesetz sind Kommutativgesetz und Distributivgesetz von elementarer Bedeutung in der Algebra.

Definition Bearbeiten

Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle das Assoziativgesetz

gilt. Die Klammern können dann weggelassen werden. Das gilt auch für mehr als drei Operanden.

Beispiele und Gegenbeispiele Bearbeiten

Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ. So gilt zum Beispiel

 

und

  .

Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist

 

und

  .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da

 

gilt. Bei (divergenten) unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen. So verliert die Addition die Assoziativität bei:

aber

In endlichen Realisierungen wie dem Computer sind die Darstellungen der Zahlen in ihrer Größe begrenzt. Somit können weder Addition noch Multiplikation beliebig korrekt sein. Addition und Multiplikation von Festkommazahlen kann man bei vielen Maschinen so einstellen, dass diese anzeigen, wenn das Ergebnis inkorrekt wird, und innerhalb eines so definierten Gültigkeitsbereiches sind die Operationen assoziativ. Außerhalb dieses Gültigkeitsbereiches können die Operationen zwar assoziativ sein, was aber angesichts des falschen Ergebnisses keine Bedeutung hat. Bei Gleitkommazahlen werden nicht alle sog. Rundungsfehler angezeigt, so dass die Assoziativgesetze nicht wirklich gelten, wie das folgende Beispiel für die Addition mit 4-Bit-Mantissen zeigt:

Solche Fehler können manchmal durch Ausschalten der Normalisierung verringert werden.
Darüber hinaus kann das Laufzeitverhalten von der Reihenfolge der Ausführung zweier Operationen stark abhängen.

Einordnung Bearbeiten

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Seitigkeit Bearbeiten

Insbesondere bei nicht-assoziativen Verknüpfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativität.

Eine binäre Verknüpfung gilt als links-assoziativ, wenn

aufzufassen ist.

  • Die nicht-assoziativen Operationen Subtraktion und Division werden gemeinhin links-assoziativ verstanden:
  • Anwendung von Funktionen

    im Verfahren des Currying.

Eine binäre Verknüpfung heißt rechts-assoziativ, wenn gilt:

Beispiel für eine rechts-assoziative Operation:

Aber auch assoziative Operationen können Seitigkeit haben, wenn sie ins Unendliche zu iterieren sind.

  • Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma

    ist eine links-assoziative Verkettung der Dezimalziffern, weil die Auswertung(sschleife) nicht rechts bei den Auslassungspunkten beginnen kann, sondern links beginnen muss.
  • Die -adische Schreibweise

    enthält mit der Juxtaposition eine rechts-assoziative Verkettungsoperation, weil die Auswertung rechts beginnen muss.

Schwächere Formen des Assoziativgesetzes Bearbeiten

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Kapitel: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3, S. 115–120
  2. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  3. The Order of Operations. Education Place
  4. Gerrit Bol: Gewebe und Gruppen In: Mathematische Annalen, 114 (1), 1937, S. 414–431.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Assoziativgesetz genauer die Assoziativitat lateinisch associare vereinigen verbinden verknupfen vernetzen auf Deutsch Verknupfbarkeit ist in der Mathematik eine Eigenschaft mancher meist zweistelligen Verknupfungen Eine Verknupfung ist assoziativ wenn alle Reihenfolgen der Ausfuhrung dasselbe Ergebnis haben Anders gesagt Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknupfungen ist beliebig Bei assoziativen Verknupfungen ist das Endergebnis dasselbe auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgefuhrt werden Neben dem Assoziativgesetz sind Kommutativgesetz und Distributivgesetz von elementarer Bedeutung in der Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele und Gegenbeispiele 3 Einordnung 4 Seitigkeit 5 Schwachere Formen des Assoziativgesetzes 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine binare Verknupfung A A A displaystyle star colon A times A to A nbsp auf einer Menge A displaystyle A nbsp heisst assoziativ wenn fur alle a b c A displaystyle a b c in A nbsp das Assoziativgesetz a b c a b c displaystyle a star left b star c right left a star b right star c nbsp gilt Die Klammern konnen dann weggelassen werden Das gilt auch fur mehr als drei Operanden Beispiele und Gegenbeispiele Bearbeiten nbsp Die Assoziativitat der Addition reeller ZahlenAls Verknupfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ So gilt zum Beispiel 2 3 7 5 7 12 displaystyle 2 3 7 5 7 12 quad nbsp 2 3 7 2 10 12 displaystyle 2 3 7 2 10 12 nbsp und 2 3 7 6 7 42 displaystyle 2 cdot 3 cdot 7 6 cdot 7 42 quad nbsp 2 3 7 2 21 42 displaystyle 2 cdot 3 cdot 7 2 cdot 21 42 nbsp Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ denn es ist 2 3 1 0 displaystyle 2 3 1 0 quad neq nbsp 2 3 1 2 displaystyle 2 3 1 2 nbsp und 4 2 2 1 displaystyle 4 2 2 1 quad neq nbsp 4 2 2 4 displaystyle 4 2 2 4 nbsp Auch die Potenz ist nicht assoziativ da 2 2 3 2 8 256 displaystyle 2 2 3 2 8 256 quad neq nbsp 2 2 3 4 3 64 displaystyle 2 2 3 4 3 64 nbsp gilt Bei divergenten unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen So verliert die Addition die Assoziativitat bei 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 displaystyle 1 1 1 1 1 1 1 1 ldots 0 0 ldots to 0 nbsp aber 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 displaystyle 1 1 1 1 1 1 1 ldots 1 0 0 ldots to 1 nbsp In endlichen Realisierungen wie dem Computer sind die Darstellungen der Zahlen in ihrer Grosse begrenzt Somit konnen weder Addition noch Multiplikation beliebig korrekt sein Addition und Multiplikation von Festkommazahlen kann man bei vielen Maschinen so einstellen dass diese anzeigen wenn das Ergebnis inkorrekt wird und innerhalb eines so definierten Gultigkeitsbereiches sind die Operationen assoziativ Ausserhalb dieses Gultigkeitsbereiches konnen die Operationen zwar assoziativ sein was aber angesichts des falschen Ergebnisses keine Bedeutung hat Bei Gleitkommazahlen werden nicht alle sog Rundungsfehler angezeigt so dass die Assoziativgesetze nicht wirklich gelten wie das folgende Beispiel fur die Addition mit 4 Bit Mantissen zeigt 1 0002 20 1 0002 20 1 0002 24 1 0002 21 1 0002 24 1 001 2 24 1 0002 20 1 0002 20 1 0002 24 1 0002 20 1 0002 24 1 000 2 24Solche Fehler konnen manchmal durch Ausschalten der Normalisierung verringert werden Daruber hinaus kann das Laufzeitverhalten von der Reihenfolge der Ausfuhrung zweier Operationen stark abhangen Einordnung BearbeitenDas Assoziativgesetz gehort zu den Gruppenaxiomen wird aber bereits fur die schwachere Struktur einer Halbgruppe gefordert Seitigkeit Bearbeiten Hauptartikel Operatorassoziativitat Insbesondere bei nicht assoziativen Verknupfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativitat Eine binare Verknupfung displaystyle nbsp gilt als links assoziativ wenn a b c a b c a b c d a b c d etc displaystyle begin array ll a b c amp a b c qquad qquad quad a b c d amp a b c d quad mbox etc end array nbsp aufzufassen ist Die nicht assoziativen Operationen Subtraktion und Division werden gemeinhin links assoziativ verstanden 1 2 3 a b c displaystyle a b c nbsp a b c displaystyle a b c nbsp Subtraktion a b c displaystyle a b c nbsp a b c displaystyle a b c nbsp Division Anwendung von Funktionen f x y f x y displaystyle f x y f x y nbsp im Verfahren des Currying Eine binare Verknupfung displaystyle nbsp heisst rechts assoziativ wenn gilt x y z x y z w x y z w x y z etc displaystyle begin array rr x y z amp x y z w x y z amp w x y z amp mbox etc end array nbsp Beispiel fur eine rechts assoziative Operation Exponenzieren reeller Zahlen in Exponentenschreibweise x y z x y z displaystyle x y z x y z nbsp Aber auch assoziative Operationen konnen Seitigkeit haben wenn sie ins Unendliche zu iterieren sind Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma 0 999 0 999 9 0 999 99 1 displaystyle 0 999 ldots 0 9999 ldots 0 99999 ldots to 1 nbsp ist eine links assoziative Verkettung der Dezimalziffern weil die Auswertung sschleife nicht rechts bei den Auslassungspunkten displaystyle ldots nbsp beginnen kann sondern links beginnen muss Die p displaystyle p nbsp adische Schreibweise 444 5 4444 5 44444 5 1 displaystyle ldots 444 5 ldots 4444 5 ldots 44444 5 to 1 nbsp enthalt mit der Juxtaposition eine rechts assoziative Verkettungsoperation weil die Auswertung rechts beginnen muss Schwachere Formen des Assoziativgesetzes BearbeitenFolgende Abschwachungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt definiert Potenz Assoziativitat a r s a r a s displaystyle a r s a r circ a s nbsp i Potenz Assoziativitat a i a a a i displaystyle a i circ a a circ a i nbsp Idemassoziativitat a a a a a a displaystyle a circ a circ a a circ a circ a nbsp Alternativitat Linksalternativitat a a b a a b displaystyle a circ a circ b a circ a circ b nbsp Rechtsalternativitat a b b a b b displaystyle a circ b circ b a circ b circ b nbsp Flexibilitatsgesetz a b a a b a displaystyle a circ left b circ a right left a circ b right circ a nbsp Moufang Identitaten a b a c a b a c displaystyle Big a circ b circ a Big circ c a circ Big b circ a circ c Big nbsp a b c a a b c a displaystyle a circ b circ c circ a a circ Big b circ c circ a Big nbsp Bol Identitaten 4 linke Bol Identitat b c b a b c b a displaystyle Big b circ c circ b Big circ a b circ Big c circ b circ a Big nbsp rechte Bol Identitat a b c b a b c b displaystyle Big a circ b circ c Big circ b a circ Big b circ c circ b Big nbsp Jordan Identitat a a a b a a a b displaystyle a circ Big left a circ a right circ b Big left a circ a right circ left a circ b right nbsp Siehe auch BearbeitenAlgebra OperatorassoziativitatLiteratur BearbeitenOtto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen Vieweg Verlag Munchen 2008 ISBN 978 3 8348 0395 5 Einzelnachweise Bearbeiten Bronstein Taschenbuch der Mathematik Kapitel 2 4 1 1 ISBN 978 3 8085 5673 3 S 115 120 George Mark Bergman Order of arithmetic operations The Order of Operations Education Place Gerrit Bol Gewebe und Gruppen In Mathematische Annalen 114 1 1937 S 414 431 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Assoziativgesetz amp oldid 234432259