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Verknüpfung (Mathematik)

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In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff für diverse Operationen gebraucht: Neben den arithmetischen Grundrechenarten (Addition, Subtraktion usw.) werden damit etwa auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u. a.) sowie weitere Rechenoperationen bzw. gelegentlich auch logische Operatoren erfasst. Eine Verknüpfung legt fest, wie mathematische Objekte gleicher oder ähnlicher Art miteinander ein weiteres Objekt bestimmen. Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknüpfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen, an denen Elemente als Operanden stehen können, ist diese Festlegung übersichtlich durch eine Verknüpfungstafel möglich, in der z. B. für eine 2-stellige Verknüpfung alle möglichen Paarungen aufgeführt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird, das Ergebnis des Rechnens.

Illustration einer zweistelligen Verknüpfung , die aus den zwei Argumenten und das Ergebnis zurückgibt.

Das Wort Verknüpfung wird auch verwendet, um die Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen zu bezeichnen.

Allgemeine Definition Bearbeiten

Für eine natürliche Zahl seien Mengen und eine weitere Menge gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts nach als -stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem -Tupel mit eindeutig ein Element der Menge zu. Selbstverständlich können die Mengen und teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur vorkommt, also wird die Verknüpfung

innere -stellige Verknüpfung oder -stellige Operation auf genannt. Kommt wenigstens einmal unter den vor, etwa

für ein mit so heißt die Verknüpfung äußere -stellige Verknüpfung auf mit Operatorenbereich . Die Elemente von heißen dann Operatoren.

Eine innere -stellige Verknüpfung auf kann man auch als äußere zweistellige Verknüpfung auf mit dem Operatorenbereich betrachten.

Jede -stellige Verknüpfung kann als -stellige Relation aufgefasst werden.

Beispiele Bearbeiten

  • Die durch
  • Ist eine Abbildung von nach , so ist durch

Nullstellige Verknüpfungen Bearbeiten

Als eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge nach einer Menge kann eine Abbildung von nach angesehen werden. Es gilt

daher lässt sich jede dieser Abbildungen wie folgt angeben:

Jede nullstellige Verknüpfung ist damit konstant und lässt sich wiederum als die Konstante auffassen.

Da stets gilt, kann jede nullstellige Verknüpfung als innere Verknüpfung auf betrachtet werden:

Einstellige Verknüpfungen Bearbeiten

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge nach einer Menge .

Beispiele Bearbeiten

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen Bearbeiten

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen Bearbeiten

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:

  • die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem ihr Spatprodukt (aus ) zuordnet und
  • die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Partielle Verknüpfungen Bearbeiten

Wird in der obigen Definition für (totale) Verknüpfungen der Begriff der (total verstandenen) Abbildung durch partielle Abbildung ersetzt, dann spricht man von einer partiellen Verknüpfung: Es ist dann erlaubt, dass nicht für Parameter (n-Tupel-Kombinationen) ein Verknüpfungswert (d. h. Bildwert, Funktionswert) zugeordnet wird.

Verknüpfungen in der Algebra Bearbeiten

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen. Bei partiellen Algebren sind auch partielle Verknüpfungen zugelassen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gert Böhme: Anwendungsorientierte Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-49656-3, S. 76.
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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst In der Mathematik wird Verknupfung als ein Oberbegriff fur diverse Operationen gebraucht Neben den arithmetischen Grundrechenarten Addition Subtraktion usw werden damit etwa auch geometrische Operationen wie Spiegelung Drehung u a sowie weitere Rechenoperationen bzw gelegentlich auch logische Operatoren erfasst Eine Verknupfung legt fest wie mathematische Objekte gleicher oder ahnlicher Art miteinander ein weiteres Objekt bestimmen Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknupfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen an denen Elemente als Operanden stehen konnen ist diese Festlegung ubersichtlich durch eine Verknupfungstafel moglich in der z B fur eine 2 stellige Verknupfung alle moglichen Paarungen aufgefuhrt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird das Ergebnis des Rechnens Illustration einer zweistelligen Verknupfung displaystyle circ die aus den zwei Argumenten x displaystyle x und y displaystyle y das Ergebnis x y displaystyle x circ y zuruckgibt Das Wort Verknupfung wird auch verwendet um die Hintereinanderausfuhrung Verkettung von Funktionen zu bezeichnen Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Definition 2 Beispiele 3 Nullstellige Verknupfungen 4 Einstellige Verknupfungen 4 1 Beispiele 5 Zweistellige binare Verknupfungen 6 Drei und mehrstellige Verknupfungen 7 Partielle Verknupfungen 8 Verknupfungen in der Algebra 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseAllgemeine Definition BearbeitenFur eine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp seien n displaystyle n nbsp Mengen A 1 A n displaystyle A 1 dotsc A n nbsp und eine weitere Menge B displaystyle B nbsp gegeben Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts A 1 A n displaystyle A 1 times dotsb times A n nbsp nach B displaystyle B nbsp als n displaystyle n nbsp stellige Verknupfung bezeichnet 1 Eine solche Verknupfung ordnet also jedem n displaystyle n nbsp Tupel x 1 x n displaystyle x 1 dotsc x n nbsp mit x 1 A 1 x n A n displaystyle x 1 in A 1 dotsc x n in A n nbsp eindeutig ein Element der Menge B displaystyle B nbsp zu Selbstverstandlich konnen die Mengen A 1 A n displaystyle A 1 dotsc A n nbsp und B displaystyle B nbsp teilweise oder ganz ubereinstimmen Im Sonderfall dass nur B displaystyle B nbsp vorkommt also A i B f u r 1 i n displaystyle A i B mathrm f ddot u r 1 leq i leq n nbsp wird die Verknupfung B B n mal B displaystyle underbrace B times dotsb times B n text mal to B nbsp innere n displaystyle n nbsp stellige Verknupfung oder n displaystyle n nbsp stellige Operation auf B displaystyle B nbsp genannt Kommt B displaystyle B nbsp wenigstens einmal unter den A i displaystyle A i nbsp vor etwa A i B f u r 1 i m displaystyle A i neq B mathrm f ddot u r 1 leq i leq m nbsp und A i B f u r m 1 i n displaystyle A i B mathrm f ddot u r m 1 leq i leq n nbsp fur ein m displaystyle m nbsp mit 0 m lt n displaystyle 0 leq m lt n nbsp so heisst die Verknupfung aussere n displaystyle n nbsp stellige Verknupfung auf B displaystyle B nbsp mit Operatorenbereich A 1 A m displaystyle A 1 times dotsb times A m nbsp Die Elemente von A 1 A m displaystyle A 1 times dotsb times A m nbsp heissen dann Operatoren Eine innere n displaystyle n nbsp stellige Verknupfung auf B displaystyle B nbsp kann man auch als aussere zweistellige Verknupfung auf B displaystyle B nbsp mit dem Operatorenbereich B n 1 displaystyle B n 1 nbsp betrachten Jede n displaystyle n nbsp stellige Verknupfung kann als n 1 displaystyle n 1 nbsp stellige Relation aufgefasst werden Beispiele BearbeitenDie durch x y z x y z 2 1 displaystyle x y z mapsto frac x y z 2 1 nbsp dd definierte Abbildung von R R R displaystyle mathbb R times mathbb R times mathbb R nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp ist eine dreistellige Verknupfung bzw innere dreistellige Verknupfung auf R displaystyle mathbb R nbsp Ist f displaystyle f nbsp eine Abbildung von R displaystyle mathbb R nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp so ist durch f R R f x f x f x displaystyle colon f times mathbb R to mathbb R f x mapsto f x f x nbsp dd jedem aus der Abbildung f displaystyle f nbsp und einem Element x displaystyle x nbsp aus R displaystyle R nbsp gebildeten Paar wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung f displaystyle f nbsp zugeordnet dd eine aussere zweistellige Verknupfung auf R displaystyle mathbb R nbsp mit Operatorenbereich f displaystyle f nbsp und dem einzigen Operator f displaystyle f nbsp gegeben Nullstellige Verknupfungen BearbeitenAls eine nullstellige Verknupfung von einer Menge A displaystyle A nbsp nach einer Menge B displaystyle B nbsp kann eine Abbildung von A 0 displaystyle A 0 nbsp nach B displaystyle B nbsp angesehen werden Es gilt A 0 A f f A 0 1 displaystyle A 0 A emptyset f mid f colon emptyset to A emptyset 0 1 nbsp daher lasst sich jede dieser Abbildungen wie folgt angeben c b B b displaystyle operatorname c b colon emptyset to B emptyset mapsto b nbsp fur ein b B displaystyle b in B nbsp Jede nullstellige Verknupfung ist damit konstant und c b B B 1 displaystyle operatorname c b in B emptyset B 1 nbsp lasst sich wiederum als die Konstante b B displaystyle b in B nbsp auffassen Da stets B 0 displaystyle B 0 emptyset nbsp gilt kann jede nullstellige Verknupfung B displaystyle emptyset to B nbsp als innere Verknupfung auf B displaystyle B nbsp betrachtet werden B 0 B displaystyle B 0 to B nbsp Einstellige Verknupfungen Bearbeiten Hauptartikel Einstellige Verknupfung Einstellige Verknupfungen sind Abbildungen einer Menge A displaystyle A nbsp nach einer Menge B displaystyle B nbsp Beispiele Bearbeiten Gegeben sei eine Menge A displaystyle A nbsp Fur jedes Element X displaystyle X nbsp der Potenzmenge P A displaystyle mathcal P A nbsp also fur jede Teilmenge X displaystyle X nbsp von A displaystyle A nbsp sei definiert c P A P A X X c A X displaystyle operatorname c colon mathcal P A to mathcal P A X mapsto X operatorname c A setminus X nbsp Komplement von X displaystyle X nbsp Die Sinusfunktionsin R R x sin x displaystyle sin colon mathbb R to mathbb R x mapsto sin x nbsp ist eine einstellige Verknupfung Zweistellige binare Verknupfungen Bearbeiten Hauptartikel Zweistellige Verknupfung Besonders haufig wird der Begriff Verknupfung im Sinn einer zweistelligen Verknupfung verwendet Wichtige Spezialfalle sind innere und aussere Verknupfungen Zweistellige Verknupfungen werden oft in Infixschreibweise notiert also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen Drei und mehrstellige Verknupfungen BearbeitenEher selten spricht man von drei und mehrstelligen Verknupfungen Beispiele fur eine dreistellige Verknupfung sind die Abbildung die je drei Vektoren aus dem R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ihr Spatprodukt aus R displaystyle mathbb R nbsp zuordnet und die Ternarverknupfung in einem Ternarkorper Partielle Verknupfungen BearbeitenWird in der obigen Definition fur totale Verknupfungen der Begriff der total verstandenen Abbildung durch partielle Abbildung ersetzt dann spricht man von einer partiellen Verknupfung Es ist dann erlaubt dass nicht fur Parameter n Tupel Kombinationen ein Verknupfungswert d h Bildwert Funktionswert zugeordnet wird Verknupfungen in der Algebra BearbeitenVerknupfungen dienen in der Algebra dazu algebraische Strukturen zu definieren Die Verknupfungen mussen dabei bestimmte Bedingungen Axiome erfullen Bei partiellen Algebren sind auch partielle Verknupfungen zugelassen Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknupfung die das Assoziativgesetz erfullt Die Forderung dass das Ergebnis der Verknupfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll Abgeschlossenheit ist bereits in der Definition der inneren Verknupfung enthalten Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Verknupfung Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise Bearbeiten Gert Bohme Anwendungsorientierte Mathematik Springer Verlag 2013 ISBN 3 642 49656 3 S 76 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verknupfung Mathematik amp oldid 229238565