Das Spatprodukt auch gemischtes Produkt genannt ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats Parallelepipeds Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats Das Vorzeichen ist positiv falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden bilden sie ein Linkssystem so ist es negativ Liegen die drei Vektoren in einer Ebene so ist ihr Spatprodukt Null Spat der von drei Vektoren aufgespannt wirdIn kartesischen Koordinaten lasst sich das Spatprodukt auch mit Hilfe der aus den drei Vektoren gebildeten Determinante berechnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Notation 3 Eigenschaften 4 Geometrische Interpretation 4 1 Betrag des Volumens und orientiertes Volumen 4 2 Herleitung 5 Herleitung der algebraischen Eigenschaften 6 Doppeltes Vektorprodukt Vektortripelprodukt 7 Doppeltes Spatprodukt 8 Volumenelement der Integralrechnung 8 1 Beispiel fur Kugelkoordinaten 9 Wortherkunft 10 Weblinks 11 Siehe auch 12 Einzelnachweise 13 LiteraturDefinition BearbeitenDas Spatprodukt a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp dreier Vektoren a displaystyle vec a nbsp b displaystyle vec b nbsp und c displaystyle vec c nbsp des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp kann wie folgt definiert werden a b c a b c displaystyle vec a vec b vec c vec a times vec b cdot vec c nbsp Notation BearbeitenOft wird fur das Spatprodukt keine eigene Notation eingefuhrt sondern man schreibt einfach a b c displaystyle vec a times vec b cdot vec c nbsp Andere gebrauchliche Notationen sind a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp a b c displaystyle langle vec a vec b vec c rangle nbsp und a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp Eigenschaften BearbeitenDas Spatprodukt ist nicht kommutativ Der Wert andert sich jedoch nicht wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht a b c b c a c a b displaystyle vec a times vec b cdot vec c vec b times vec c cdot vec a vec c times vec a cdot vec b nbsp Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen Fura a 1 a 2 a 3 b b 1 b 2 b 3 c c 1 c 2 c 3 displaystyle vec a begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix vec b begin pmatrix b 1 b 2 b 3 end pmatrix vec c begin pmatrix c 1 c 2 c 3 end pmatrix nbsp dd gilt a b c det a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 displaystyle vec a vec b vec c det begin pmatrix a 1 amp b 1 amp c 1 a 2 amp b 2 amp c 2 a 3 amp b 3 amp c 3 end pmatrix det begin pmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end pmatrix nbsp dd Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden siehe unten Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden konnen und das Skalarprodukt kommutativ ist gilt a b c a b c displaystyle vec a times vec b cdot vec c vec a cdot vec b times vec c nbsp dd Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung die beiden Rechenzeichen vertauschen Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf a b c b a c displaystyle vec a vec b vec c vec b vec a vec c nbsp Weiter gilt wegen a a 0 displaystyle vec a times vec a vec 0 nbsp a a b a a b 0 b 0 displaystyle vec a vec a vec b vec a times vec a cdot vec b vec 0 cdot vec b vec 0 nbsp a b a a b a a a b 0 b 0 displaystyle vec a vec b vec a vec a times vec b cdot vec a vec a times vec a cdot vec b vec 0 cdot vec b vec 0 nbsp b a a b a a a a b 0 b 0 displaystyle vec b vec a vec a vec b times vec a cdot vec a vec a times vec a cdot vec b vec 0 cdot vec b vec 0 nbsp Die Multiplikation mit einem Skalar a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp ist assoziativ a a b c a a b c displaystyle alpha cdot vec a vec b vec c alpha cdot vec a vec b vec c nbsp Es gilt ein Distributivgesetz a b c d a b c a b d displaystyle vec a vec b vec c vec d vec a vec b vec c vec a vec b vec d nbsp Nach der Definition des Skalarprodukts gilt a b c a b c a b c cos a b c displaystyle vec a vec b vec c vec a times vec b cdot vec c vec a times vec b vec c cos sphericalangle vec a times vec b vec c nbsp a b c displaystyle sphericalangle vec a times vec b vec c nbsp ist der Winkel zwischen dem Vektor c displaystyle vec c nbsp und dem Vektor der rechtshandig orthogonal zu den Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp ist Geometrische Interpretation BearbeitenBetrag des Volumens und orientiertes Volumen Bearbeiten Das Volumen V displaystyle V nbsp des von den drei Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp aufgespannten Spats Parallelepipeds ist gleich dem Betrag des Spatprodukts V a b c a b c displaystyle V vec a vec b vec c vec a times vec b cdot vec c nbsp Verzichtet man darauf den Betrag zu bilden so erhalt man das orientierte Volumen Der von den 3 Vektoren aufgespannte unregelmassige Tetraeder hat 1 6 displaystyle tfrac 1 6 nbsp des Volumens des Spats Herleitung Bearbeiten Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundflache und seiner Hohe V A g h displaystyle V A g cdot h nbsp Das Kreuzprodukt a b displaystyle vec a times vec b nbsp ist der Normalenvektor auf der durch a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp aufgespannten Grundflache der mit a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp ein rechtshandiges Koordinatensystem bildet und dessen Betrag gleich dem Flacheninhalt des durch a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp aufgespannten Parallelogramms ist also A g a b displaystyle A g vec a times vec b nbsp Die Hohe des Spats ist die Projektion des Vektors c displaystyle vec c nbsp auf die Richtung dieses Normalenvektors dessen Einheitsvektor Wenn diese den Winkel a displaystyle alpha nbsp einschliessen gilt nach der Definition des Skalarprodukts h c cos a e a b c displaystyle h vec c cos alpha hat e vec a times vec b cdot vec c nbsp Es folgt V A g h a b e a b c a b c displaystyle V A g cdot h vec a times vec b hat e vec a times vec b cdot vec c vec a times vec b cdot vec c nbsp Das Volumen ist null fur a displaystyle alpha nbsp gleich 90 wenn also die Vektoren in einer Ebene liegen Sie heissen dann komplanar und linear abhangig Das orientierte Volumen ist negativ falls a displaystyle alpha nbsp grosser ist als 90 Dann zeigen Vektorprodukt und projizierte Hohe in entgegengesetzte Richtungen weil die Vektoren ein Linkssystem bilden Herleitung der algebraischen Eigenschaften BearbeitenDas Spatprodukt kann auch mit dem Levi Civita Symbol hergeleitet werden Dafur wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt a b c i 1 3 a b i c i displaystyle vec a times vec b cdot vec c sum i 1 3 vec a times vec b i cdot c i nbsp Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi Civita Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt i 1 3 a b i c i i 1 3 j 1 3 k 1 3 e i j k a j b k c i displaystyle sum i 1 3 vec a times vec b i cdot c i sum i 1 3 sum j 1 3 sum k 1 3 varepsilon ijk a j b k c i nbsp Der total antisymmetrische Epsilontensor e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp ist gleich e k i j displaystyle varepsilon kij nbsp bzw gleich e j k i displaystyle varepsilon jki nbsp Damit lasst sich das Spatprodukt wie folgt ausdrucken i 1 3 j 1 3 k 1 3 e i j k a j b k c i i 1 3 j 1 3 k 1 3 e k i j a j b k c i i 1 3 j 1 3 k 1 3 e j k i a j b k c i displaystyle sum i 1 3 sum j 1 3 sum k 1 3 varepsilon ijk a j b k c i sum i 1 3 sum j 1 3 sum k 1 3 varepsilon kij a j b k c i sum i 1 3 sum j 1 3 sum k 1 3 varepsilon jki a j b k c i nbsp Die Summenzeichen konnen vertauscht werden Ausserdem kann man nun geschickt Klammern setzen i 1 3 j 1 3 k 1 3 e i j k a j b k c i k 1 3 i 1 3 j 1 3 e k i j c i a j b k j 1 3 k 1 3 i 1 3 e j k i b k c i a j displaystyle sum i 1 3 left sum j 1 3 sum k 1 3 varepsilon ijk a j b k right c i sum k 1 3 left sum i 1 3 sum j 1 3 varepsilon kij c i a j right b k sum j 1 3 left sum k 1 3 sum i 1 3 varepsilon jki b k c i right a j nbsp Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi Civita Symbol so ergibt sich die gewunschte Identitat a b c c a b b c a displaystyle vec a times vec b cdot vec c vec c times vec a cdot vec b vec b times vec c cdot vec a nbsp Doppeltes Vektorprodukt Vektortripelprodukt BearbeitenDas wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren wird auch doppeltes Vektorprodukt oder Vektortripelprodukt genannt 1 Es gilt die Grassmann Identitat auch Grassmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Grassmann Diese lautet 2 3 a b c a c b a b c displaystyle vec a times vec b times vec c vec a cdot vec c vec b vec a cdot vec b vec c nbsp bzw a b c a c b b c a displaystyle vec a times vec b times vec c vec a cdot vec c vec b vec b cdot vec c vec a nbsp wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen In der Physik wird oft die Schreibweise a b c b a c c a b displaystyle vec a times vec b times vec c vec b vec a cdot vec c vec c vec a cdot vec b nbsp verwendet Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC CAB Formel genannt In Indexschreibweise lautet die Grassmann Identitat k 1 3 e i j k e k l m d i l d j m d i m d j l displaystyle sum k 1 3 varepsilon ijk varepsilon klm delta il delta jm delta im delta jl nbsp Hierbei ist e i j k displaystyle varepsilon ijk nbsp das Levi Civita Symbol und d i j displaystyle delta ij nbsp das Kronecker Delta Doppeltes Spatprodukt BearbeitenDas doppelte Spatprodukt zweier Vektortripel a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp und u v w displaystyle vec u vec v vec w nbsp ist a b c u v w a b c u v w a b c u v w a b c u v w a u a v a w b u b v b w c u c v c w displaystyle begin aligned vec a times vec b cdot vec c vec u times vec v cdot vec w amp begin vmatrix vec a amp vec b amp vec c end vmatrix begin vmatrix vec u amp vec v amp vec w end vmatrix begin vmatrix vec a amp vec b amp vec c top end vmatrix begin vmatrix vec u amp vec v amp vec w end vmatrix amp begin vmatrix begin pmatrix vec a amp vec b amp vec c end pmatrix top begin pmatrix vec u amp vec v amp vec w end pmatrix end vmatrix begin vmatrix vec a cdot vec u amp vec a cdot vec v amp vec a cdot vec w vec b cdot vec u amp vec b cdot vec v amp vec b cdot vec w vec c cdot vec u amp vec c cdot vec v amp vec c cdot vec w end vmatrix end aligned nbsp weil die Determinante erstens unempfindlich gegen Transponierung und zweitens nach dem Determinantenproduktsatz beim Matrixprodukt gleich dem Produkt der Determinanten der beteiligten Matrizen ist Bei zwei identischen Vektorsatzen ist a b c 2 a a a b a c b a b b b c c a c b c c 0 displaystyle vec a times vec b cdot vec c 2 begin vmatrix vec a cdot vec a amp vec a cdot vec b amp vec a cdot vec c vec b cdot vec a amp vec b cdot vec b amp vec b cdot vec c vec c cdot vec a amp vec c cdot vec b amp vec c cdot vec c end vmatrix geq 0 nbsp und somit die sogenannte Gram sche Determinante positiv definit Wie auch das Spatprodukt allein ist diese Determinante ein Kriterium fur die lineare Unabhangigkeit der Vektoren des Tripels ungleich null bzw grosser null bei linearer Unabhangigkeit Die Determinante gibt das Quadrat des Volumens des Spats an Liegen zwei Spate vor die durch Verformung auseinander hervorgehen kann mit der Gram schen Determinante die Volumenanderung bei der Verformung angegeben werden Der Vorteil des Ausdrucks mit der Gram schen Determinante ist dass er sich auf hoher dimensionale euklidische Vektorraume verallgemeinern lasst 4 Volumenelement der Integralrechnung BearbeitenDas Volumenelement d V displaystyle mathrm d V nbsp des Volumenintegrals hangt vom verwendeten Koordinatensystem ab In kartesischen Koordinaten ist es d V d x d y d z displaystyle mathrm d V mathrm d x mathrm d y mathrm d z nbsp In anderen Koordinatensystemen mit Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp muss es mit Hilfe des Spatproduktes der lokalen Basisvektoren berechnet werden Die Basisvektoren b 1 b 2 displaystyle textstyle vec b 1 vec b 2 nbsp und b 3 displaystyle textstyle vec b 3 nbsp an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus der Koordinatentransformation r x y z x x y z y x y z z x y z displaystyle vec r begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix x x y z y x y z z x y z end pmatrix nbsp durch partielle Ableitungen nach den Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp b 1 r x b 2 r y b 3 r z displaystyle vec b 1 frac partial vec r partial x quad vec b 2 frac partial vec r partial y quad vec b 3 frac partial vec r partial z nbsp Die Komponenten eines Basisvektors bilden jeweils eine Spalte der Jacobi Matrix Somit ist das Spatprodukt dieser drei Basisvektoren durch den Betrag der Funktionaldeterminante gegeben Nach dem Transformationssatz gilt dann fur das Volumenelement d V det x y z x y z d x d y d z displaystyle mathrm d V left det frac partial x y z partial x y z right mathrm d x mathrm d y mathrm d z nbsp Beispiel fur Kugelkoordinaten Bearbeiten Die Koordinatentransformation fur die Kugelkoordinaten r x y z r sin 8 cos f r sin 8 sin f r cos 8 displaystyle vec r begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix r sin theta cos varphi r sin theta sin varphi r cos theta end pmatrix nbsp fuhrt zu den lokalen Basisvektoren b 1 r r sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 b 2 r 8 r cos 8 cos f r cos 8 sin f r sin 8 b 3 r f r sin 8 sin f r sin 8 cos f 0 displaystyle vec b 1 frac partial vec r partial r begin pmatrix sin theta cos varphi sin theta sin varphi cos theta end pmatrix quad vec b 2 frac partial vec r partial theta begin pmatrix r cos theta cos varphi r cos theta sin varphi r sin theta end pmatrix quad vec b 3 frac partial vec r partial varphi begin pmatrix r sin theta sin varphi r sin theta cos varphi 0 end pmatrix nbsp an den entsprechenden Punkten Die Funktionaldeterminante lautet also det x y z r 8 f det sin 8 cos f r cos 8 cos f r sin 8 sin f sin 8 sin f r cos 8 sin f r sin 8 cos f cos 8 r sin 8 0 r 2 sin 8 displaystyle det frac partial x y z partial r theta varphi det begin pmatrix sin theta cos varphi amp r cos theta cos varphi amp r sin theta sin varphi sin theta sin varphi amp r cos theta sin varphi amp r sin theta cos varphi cos theta amp r sin theta amp 0 end pmatrix r 2 sin theta nbsp Folglich ergibt sich fur das Volumenelement d V displaystyle mathrm d V nbsp d V det x y z r 8 f d r d 8 d f r 2 sin 8 d r d 8 d f displaystyle mathrm d V left det frac partial x y z partial r theta varphi right mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi nbsp Wortherkunft BearbeitenDie Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung Spat fur ein Parallelflach Parallelepiped Parallelotop zuruck In der Geologie deutet die Nachsilbe spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin Beispiele Feldspat Kalkspat Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ahneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark Uber die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt Weblinks BearbeitenSpatprodukt Rechner Berechnet das Spatprodukt von drei Vektoren Siehe auch BearbeitenParallelotopEinzelnachweise Bearbeiten Doppeltes Vektorprodukt Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti abgerufen am 2 Oktober 2020 Wolfram MathWorld Vector Triple Product D M Heffernan S Pouryahya Maynooth University Vector Triple Products Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 S 70 doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Literatur BearbeitenWolfgang Gawronski Grundlagen der Linearen Algebra Aula Verlag Wiesbaden 1996 ISBN 3 89104 566 2 K Endl W Luh Analysis Band 1 Akademische Verlagsgesellschaft 1972 ISBN 3 400 00185 6 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spatprodukt amp oldid 233756007
