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Kronecker Delta Das ist ein mathematisches Zeichen das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes typischerweise δ i j dis

Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise ) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger die Delta-Distribution bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Definition Bearbeiten

Sei eine beliebige Indexmenge und ein Ring mit Nullelement und Einselement gegeben. Seien ferner . Das Kronecker-Delta ist definiert als:

Bei der Indexmenge handelt es sich meist um eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Kronecker-Delta kann in der Form

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion der Diagonalmenge . Häufig wird dabei an Stelle von ein erweiterter Bildraum, z. B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Für Produkte von Kronecker-Deltas mit und für alle mit Indexmengen gilt

Dieser Ausdruck vergleicht quasi jedes mit dem feststehenden und ist nur dann 1, wenn alle Ausdrücke gleich sind, weshalb statt ein beliebiges (ausgedrückt als ) dafür eingesetzt werden kann.

Für beispielsweise mit bedeutet das (nach Streichung der gleichen Indizes):

Dieser Ausdruck ist genau dann (und nur dann) 1, wenn gilt. Wird das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention verwendet, so ist diese Aussage nicht korrekt. Auf das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention wird im Abschnitt „Als (r,s)-Tensor“ eingegangen.

Trivialerweise gilt auch (für ):

Als (r,s)-Tensor Bearbeiten

Betrachtet man das Kronecker-Delta auf einem endlichdimensionalen Vektorraum , so kann man es als (0,2)-Tensor verstehen. Als multilineare Abbildung

ist das Kronecker-Delta durch seine Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt und es gilt

Das Kronecker-Delta als (0,2)-Tensor ist ein Spezialfall der allgemeinen Definitionen vom Artikelanfang. Ist nämlich in der allgemeinen Definition die Indexmenge endlich und werden durch diese endlichdimensionale Vektoren indiziert, dann sind die allgemeine Definition und die Sichtweise als (0,2)-Tensor gleich. Eine andere Erweiterung des als Tensor aufgefassten Kronecker-Deltas ist das Levi-Civita-Symbol.

Im Zusammenhang mit dem Tensorkalkül wird oftmals die einsteinsche Summenkonvention verwendet, bei dieser wird über doppelt auftretende Indizes summiert. Das heißt, in einem n-dimensionalen Vektorraum gilt

Meistens wird bei dieser Summenkonvention auch darauf geachtet, welche Indizes oben und welche unten stehen und es wird nur summiert, wenn der gleiche Index einmal oben und einmal unten steht. Im Fall des Kronecker-Deltas müsste es dann also lauten.

Integral- und Summendarstellung Bearbeiten

Wählt man als Indexmenge die Menge der ganzen Zahlen , dann kann das Kronecker-Delta mithilfe eines Kurvenintegrals dargestellt werden. Es gilt nämlich

wobei die Kurve, die auf dem Kreis verläuft, gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Diese Darstellung kann mithilfe des Residuensatzes bewiesen werden.

Manchmal ist auch eine Darstellung in der Form

hilfreich. Diese kann mit Hilfe der Partialsummenfolge der geometrischen Reihe hergeleitet werden.

Beziehung zur Betrags- und Signum-Funktion Bearbeiten

Das Kronecker-Delta lässt sich durch die folgende Kombination von Betrags- und Signum-Funktion darstellen:

Beispiele Bearbeiten

Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung Bearbeiten

In der digitalen Signalverarbeitung wird eine andere ähnliche Definition des Kronecker-Deltas verwendet. Das Kronecker-Delta wird hier als Funktion auf verstanden und ist definiert durch

Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern.

Siehe auch Bearbeiten

  • Die Delta-Distribution bildet ein Analogon in der Distributionentheorie, sie verhält sich unter Integration wie das Kronecker-Delta unter Summation über alle möglichen Werte für einen der beiden Parameter.
  • Das Dirac-Maß dagegen bildet ein Analogon in der Maßtheorie, es verhält sich unter Integration bezüglich des Maßes analog zum Kronecker-Delta.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Kronecker Delta ist ein mathematisches Zeichen das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes typischerweise d i j displaystyle delta ij dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist Es wird manchmal auch als Kronecker Symbol bezeichnet obwohl es noch ein anderes Kronecker Symbol gibt Der auch gebrauchliche Begriff Deltafunktion ist irrefuhrend weil damit haufiger die Delta Distribution bezeichnet wird Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix oder Vektoroperationen verwendet oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Als r s Tensor 2 2 Integral und Summendarstellung 2 3 Beziehung zur Betrags und Signum Funktion 3 Beispiele 4 Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei eine beliebige Indexmenge I displaystyle I nbsp und ein Ring R displaystyle R nbsp mit Nullelement 0 R displaystyle 0 R nbsp und Einselement 1 R displaystyle 1 R nbsp gegeben Seien ferner i j I displaystyle i j in I nbsp Das Kronecker Delta ist definiert als d i j 1 R falls i j 0 R falls i j displaystyle delta ij begin cases 1 R amp text falls quad i j 0 R amp text falls quad i neq j end cases nbsp Bei der Indexmenge handelt es sich meist um eine endliche Teilmenge der naturlichen Zahlen Eigenschaften BearbeitenDas Kronecker Delta kann in der Form d 1 D I I 0 1 displaystyle delta mathrm 1 D colon I times I to 0 1 nbsp geschrieben werden ist also die charakteristische Funktion 1 D displaystyle mathrm 1 D nbsp der Diagonalmenge D i j I I i j displaystyle D i j in I times I mid i j nbsp Haufig wird dabei an Stelle von 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ein erweiterter Bildraum z B die reellen Zahlen betrachtet Fur Produkte von Kronecker Deltas mit i j k I 1 displaystyle i j k in I 1 nbsp und b i I 2 displaystyle b i in I 2 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp mit Indexmengen I 1 I 2 displaystyle I 1 I 2 nbsp gilt i d b i b j i d b i b k j k displaystyle prod i delta b i b j prod i delta b i b k forall j k nbsp Dieser Ausdruck vergleicht quasi jedes b i displaystyle b i nbsp mit dem feststehenden b j displaystyle b j nbsp und ist nur dann 1 wenn alle Ausdrucke gleich sind weshalb statt b j displaystyle b j nbsp ein beliebiges b i displaystyle b i nbsp ausgedruckt als b k displaystyle b k nbsp dafur eingesetzt werden kann Fur beispielsweise I 1 1 2 3 displaystyle I 1 1 2 3 nbsp mit b 1 a b 2 b b 3 c displaystyle b 1 a b 2 b b 3 c nbsp bedeutet das nach Streichung der gleichen Indizes d b a d c a d a b d c b d a c d b c displaystyle delta ba delta ca delta ab delta cb delta ac delta bc nbsp Dieser Ausdruck ist genau dann und nur dann 1 wenn a b c displaystyle a b c nbsp gilt Wird das Kronecker Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention verwendet so ist diese Aussage nicht korrekt Auf das Kronecker Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention wird im Abschnitt Als r s Tensor eingegangen Trivialerweise gilt auch fur a b I displaystyle a b in I nbsp d a b d a b displaystyle prod delta ab delta ab nbsp Als r s Tensor Bearbeiten Betrachtet man das Kronecker Delta auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp so kann man es als 0 2 Tensor verstehen Als multilineare Abbildung d V V R displaystyle delta colon V times V to mathbb R nbsp ist das Kronecker Delta durch seine Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt und es gilt d e i e j 1 falls i j 0 falls i j displaystyle delta e i e j begin cases 1 amp mbox falls quad i j 0 amp mbox falls quad i neq j end cases nbsp Das Kronecker Delta als 0 2 Tensor ist ein Spezialfall der allgemeinen Definitionen vom Artikelanfang Ist namlich in der allgemeinen Definition die Indexmenge endlich und werden durch diese endlichdimensionale Vektoren indiziert dann sind die allgemeine Definition und die Sichtweise als 0 2 Tensor gleich Eine andere Erweiterung des als Tensor aufgefassten Kronecker Deltas ist das Levi Civita Symbol Im Zusammenhang mit dem Tensorkalkul wird oftmals die einsteinsche Summenkonvention verwendet bei dieser wird uber doppelt auftretende Indizes summiert Das heisst in einem n dimensionalen Vektorraum gilt d a b d a b a 1 n b 1 n d a b d a b a 1 n d a a 1 n 1 n d a b displaystyle delta ab delta ab sum a 1 n sum b 1 n delta ab delta ab sum a 1 n delta aa sum 1 n 1 n neq delta ab nbsp Meistens wird bei dieser Summenkonvention auch darauf geachtet welche Indizes oben und welche unten stehen und es wird nur summiert wenn der gleiche Index einmal oben und einmal unten steht Im Fall des Kronecker Deltas musste es dann also d b a d a b n displaystyle delta b a delta a b n nbsp lauten Integral und Summendarstellung Bearbeiten Wahlt man als Indexmenge die Menge der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp dann kann das Kronecker Delta mithilfe eines Kurvenintegrals dargestellt werden Es gilt namlich d x n 1 2 p i z 1 z x n 1 d z 1 2 p 0 2 p e i x n f d f displaystyle delta xn frac 1 2 pi i oint z 1 z x n 1 dz frac 1 2 pi int 0 2 pi e i x n varphi d varphi nbsp wobei die Kurve die auf dem Kreis z 1 displaystyle z 1 nbsp verlauft gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist Diese Darstellung kann mithilfe des Residuensatzes bewiesen werden Manchmal ist auch eine Darstellung in der Form d n m 1 N k 1 N e 2 p i k N n m displaystyle delta nm frac 1 N sum k 1 N e 2 pi i frac k N n m nbsp hilfreich Diese kann mit Hilfe der Partialsummenfolge der geometrischen Reihe hergeleitet werden Beziehung zur Betrags und Signum Funktion Bearbeiten Das Kronecker Delta lasst sich durch die folgende Kombination von Betrags und Signum Funktion darstellen d i j 1 sgn i j displaystyle delta ij 1 operatorname sgn i j nbsp Beispiele BearbeitenIn der linearen Algebra kann die n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix als d i j i j 1 n displaystyle delta ij i j in 1 ldots n nbsp geschrieben werden Mit dem Kronecker Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp als e i e j d i j displaystyle langle e i e j rangle delta ij nbsp schreiben Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung BearbeitenIn der digitalen Signalverarbeitung wird eine andere ahnliche Definition des Kronecker Deltas verwendet Das Kronecker Delta wird hier als Funktion auf Z displaystyle mathbb Z nbsp verstanden und ist definiert durch d n 1 n 0 0 n 0 displaystyle delta n begin cases 1 amp n 0 0 amp n neq 0 end cases nbsp Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als Einheitsimpuls bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern 1 Siehe auch BearbeitenDie Delta Distribution bildet ein Analogon in der Distributionentheorie sie verhalt sich unter Integration wie das Kronecker Delta unter Summation uber alle moglichen Werte fur einen der beiden Parameter Das Dirac Mass dagegen bildet ein Analogon in der Masstheorie es verhalt sich unter Integration bezuglich des Masses analog zum Kronecker Delta Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Kronecker Delta In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Alan V Oppenheim Ronald W Schafer Zeitdiskrete Signalverarbeitung 3 Auflage Oldenbourg Verlag 1999 ISBN 3 486 24145 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kronecker Delta amp oldid 217681383