Die Delta Distribution auch d Funktion Dirac Funktion Impuls Puls Stoss nach Paul Dirac Stossfunktion Nadelimpuls Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt als mathematischer Begriff ist eine spezielle irregulare Distribution mit kompaktem Trager Sie hat in der Mathematik und Physik grundlegende Bedeutung Ihr ubliches Formelsymbol ist d kleines Delta Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Definition uber Dirac Mass 3 Approximation der Delta Distribution 3 1 Dirac Folge 3 2 Bemerkungen 3 3 Beispiele fur Dirac Folgen 3 4 Weitere Beispiele 4 Eigenschaften 4 1 Irregularitat 4 2 Ableitungen 4 2 1 Ableitung der Delta Distribution 4 2 2 Ableitung der Dirac Folge 4 2 3 Ableitung der Heaviside Distribution 4 3 Fourier Laplace Transformation 4 3 1 Fourier Transformation 4 3 2 Laplace Transformation 4 3 3 Anmerkung bezuglich der Darstellung 4 3 4 Transformation der verschobenen Delta Distribution 5 Praktische Anwendung 6 Mehrdimensionale Delta Distribution 6 1 Definition 6 2 Eigenschaften 6 3 Delta Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen 6 3 1 Beispiele 7 Definition in der Nichtstandardanalysis 8 Siehe auch 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Delta Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen E displaystyle mathcal E nbsp in den zugrunde liegenden Korper K displaystyle mathbb K nbsp d E K f f 0 displaystyle delta colon mathcal E to mathbb K f mapsto f 0 nbsp Der Testfunktionenraum fur die Delta Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen C W displaystyle C infty Omega nbsp mit W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp bzw W C n displaystyle Omega subset mathbb C n nbsp offen und 0 W displaystyle 0 in Omega nbsp Somit entspricht K displaystyle mathbb K nbsp entweder den reellen R displaystyle mathbb R nbsp oder den komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp Die Delta Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion f displaystyle f nbsp eine reelle bzw komplexe Zahl d f f 0 displaystyle delta f f 0 nbsp zu namlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0 Der Wert den die Delta Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion f E displaystyle f in mathcal E nbsp liefert schreibt man mit der Notation der dualen Paarung auch als d f d f f 0 displaystyle delta f langle delta f rangle f 0 nbsp beziehungsweise auch als d f W d x f x d x f 0 displaystyle delta f int Omega delta x f x mathrm d x f 0 nbsp Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen weil die Delta Distribution eine irregulare Distribution ist das heisst sie lasst sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen Es gibt also keine Funktion d displaystyle delta nbsp welche der obigen Definition genugt fur Beweis siehe unten Irregularitat Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht prazise Bezeichnungen wie Delta Funktion Dirac Funktion oder Impulsfunktion gebrauchlich Bei Verwendung der Integral Schreibweise ist zu beachten dass es sich nicht um ein Riemann Integral oder Lebesgue Integral bzgl des Lebesgue Masses sondern um die Auswertung des Funktionals d displaystyle delta nbsp an der Stelle f displaystyle f nbsp also d f f 0 displaystyle delta f f 0 nbsp handelt Definition uber Dirac Mass BearbeitenDas durch ein positives Radon Mass m displaystyle mu nbsp erzeugte Funktional m f f x d m displaystyle textstyle langle mu f rangle int f x mathrm d mu nbsp fur f D displaystyle f in mathcal D nbsp ist eine Distribution Die Delta Distribution wird von folgendem Radon Mass man spricht hier speziell vom Diracmass erzeugt d A 1 falls 0 A 0 sonst displaystyle delta A begin cases 1 amp text falls 0 in A 0 amp text sonst end cases nbsp wobei A R displaystyle A subseteq mathbb R nbsp Ein Mass lasst sich physikalisch interpretieren z B als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums Dann entspricht die Delta Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung d f f x d d f 0 displaystyle langle delta f rangle int f x mathrm d delta f 0 nbsp Befinden sich an den Stellen x i R displaystyle x i in mathbb R nbsp Punktladungen q i displaystyle q i nbsp wobei die Summe uber alle Ladungen endlich bleibt dann wird fur A R displaystyle A subset mathbb R nbsp ein Mass auf der s displaystyle sigma nbsp Algebra aller Teilmengen von R displaystyle mathbb R nbsp definiert das der Ladungsverteilung entspricht i A displaystyle i A nbsp durchlaufe alle i displaystyle i nbsp mit x i A displaystyle x i in A nbsp r A i A q i displaystyle rho A sum i A q i nbsp Fur dieses Mass ist dann die zugehorige Distribution r f f x d r i A f x i q i displaystyle langle rho f rangle int f x mathrm d rho sum i A f x i q i nbsp Approximation der Delta Distribution Bearbeiten nbsp Dichte einer zentrierten Normalverteilung d a x 1 p a e x 2 a 2 displaystyle delta a x tfrac 1 sqrt pi a cdot mathrm e frac x 2 a 2 nbsp Fur a 0 displaystyle a to 0 nbsp wird die Funktion immer hoher und schmaler der Flacheninhalt bleibt jedoch unverandert 1 Man kann die Delta Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen Die Menge der Dirac Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen mit denen die Delta Distribution dargestellt werden kann Jedoch gibt es noch weitere Folgen die gegen die Delta Distribution konvergieren Dirac Folge Bearbeiten Eine Folge d k k N displaystyle delta k k in mathbb N nbsp integrierbarer Funktionen d k L 1 R n displaystyle delta k in L 1 mathbb R n nbsp wird Dirac Folge genannt falls fur alle x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp und alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp die Bedingung d k x 0 displaystyle delta k x geq 0 nbsp fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp die Identitat R n d k x d x 1 displaystyle int mathbb R n delta k x mathrm d x 1 nbsp und fur alle ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp die Gleichheit lim k R n B ϵ 0 d k x d x 0 displaystyle lim k to infty int mathbb R n setminus B epsilon 0 delta k x mathrm d x 0 nbsp gilt Manchmal versteht man unter einer Dirac Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac Folge Wahlt man namlich eine Funktion ϕ L 1 R n displaystyle phi in L 1 mathbb R n nbsp mit ϕ x 0 displaystyle phi x geq 0 nbsp fur alle x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp und R n ϕ x d x 1 displaystyle textstyle int mathbb R n phi x mathrm d x 1 nbsp und setzt d ϵ x ϵ n ϕ x ϵ displaystyle delta epsilon x epsilon n phi tfrac x epsilon nbsp fur ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp dann erfullt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2 Betrachtet man den Grenzwert ϵ 0 displaystyle epsilon to 0 nbsp anstatt k displaystyle k to infty nbsp so ist auch Eigenschaft 3 erfullt Daher nennt man die Funktionenschar d ϵ displaystyle delta epsilon nbsp ebenfalls Dirac Folge 1 Bemerkungen Bearbeiten Die Funktion d k displaystyle delta k nbsp kann man nun mit einer regularen Distribution d k f d k f R n d k x f x d x displaystyle delta k f langle delta k f rangle int mathbb R n delta k x f x mathrm d x nbsp identifizieren Nur im Limes k displaystyle k to infty nbsp erhalt man das ungewohnliche Verhalten der Delta Distribution lim k d k f lim k d k f f 0 d f displaystyle lim k to infty delta k f lim k to infty langle delta k f rangle f 0 langle delta f rangle nbsp wobei zu beachten ist dass die Limes Bildung nicht unter dem Integral sondern davor erfolgt Wurde man den Limes unter das Integral ziehen so ware d ϵ displaystyle delta epsilon nbsp fast uberall Null nur nicht bei x 0 displaystyle x 0 nbsp Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue Mass Null und das ganze Integral wurde verschwinden Anschaulich stellt man sich die Delta Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor die uber der x Achse eine Flache mit Grosse 1 Flacheneinheit einschliesst Man lasst nun die Funktion immer schmaler und dafur immer hoher werden die Flache darunter muss konstant 1 bleiben Es existieren auch mehrdimensionale Dirac Distributionen diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen Keulen mit dem Volumen 1 Beispiele fur Dirac Folgen Bearbeiten Im Folgenden werden verschiedene Approximationen Dirac Folgen d ϵ x displaystyle delta epsilon x nbsp angegeben zunachst stetig differenzierbare Glockenfunktionen Normalverteilungen d ϵ x 1 2 p ϵ exp x 2 2 ϵ displaystyle delta epsilon x frac 1 sqrt 2 pi epsilon exp left frac x 2 2 epsilon right nbsp Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei x 0 displaystyle x 0 nbsp die Breite ist etwa ϵ 0 displaystyle sqrt epsilon to 0 nbsp und die Hohe etwa 1 ϵ displaystyle 1 sqrt epsilon to infty nbsp Fur alle ϵ displaystyle epsilon nbsp ist der Flacheninhalt unter der Funktion 1 Lorentzkurvend ϵ x 1 p ϵ x 2 ϵ 2 displaystyle delta epsilon x frac 1 pi frac epsilon x 2 epsilon 2 nbsp Fresnel Darstellungd ϵ x 1 i p ϵ exp i x 2 ϵ displaystyle delta epsilon x frac 1 sqrt mathrm i pi epsilon exp left frac mathrm i x 2 epsilon right nbsp die man sich vorstellen kann als eine Linie die auf einen Zylinder gewickelt ist und deren Wicklungen durch das x 2 displaystyle x 2 nbsp immer enger werden die Grundflache in x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ausrichtung des Zylinders wird aus dem Imaginar und Realteil der Funktion gebildet die Funktion entwickelt sich dann in z displaystyle z nbsp Richtung Es sind aber auch Approximationen moglich die nur stuckweise stetig differenzierbar sind Rechteckfunktiond ϵ x rect x ϵ ϵ 1 ϵ x ϵ 2 0 sonst displaystyle delta epsilon x frac operatorname rect x epsilon epsilon begin cases frac 1 epsilon amp x leq frac epsilon 2 0 amp text sonst end cases nbsp Dreiecksfunktiond ϵ x ϵ x ϵ 2 ϵ x 0 ϵ x ϵ 2 0 lt x ϵ 0 sonst displaystyle delta epsilon x begin cases frac epsilon x epsilon 2 amp epsilon leq x leq 0 frac epsilon x epsilon 2 amp 0 lt x leq epsilon 0 amp text sonst end cases nbsp Exponentialfunktion um Ursprung abfallendd ϵ x 1 2 ϵ exp x ϵ displaystyle delta epsilon x frac 1 2 epsilon exp left frac x epsilon right nbsp Weitere Beispiele Bearbeiten nbsp Approximation durch die SincfunktionDie Funktionenfolge der Sinc Funktionend ϵ x 1 p x sin x ϵ displaystyle delta epsilon x frac 1 pi x sin left frac x epsilon right nbsp ist keine Dirac Folge da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen Betrachtet man allerdings den Ausdruck lim ϵ 0 1 p x sin x ϵ ϕ x d x displaystyle lim epsilon to 0 int infty infty frac 1 pi x sin left frac x epsilon right phi x mathrm d x nbsp so konvergiert fur alle ϕ D displaystyle phi in mathcal D nbsp diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta Distribution Eigenschaften BearbeitenDefinierende Eigenschaft der Delta Distribution Faltungseigenschaft auch Ausblendeigenschaft 2 Siebeigenschaft genannt d f d x f x d x f 0 displaystyle langle delta f rangle int infty infty delta x f x mathrm d x f 0 nbsp dd bzw mit den Eigenschaften Translation und Skalierung siehe unten folgt f x d x a d x f x d a x d x f a displaystyle int infty infty f x delta x a mathrm d x int infty infty f x delta a x mathrm d x f a nbsp dd speziell fur den Fall der konstanten Funktion 1 d x a d x 1 displaystyle int infty infty delta x a mathrm d x 1 nbsp dd Linearitat d f g d f d g f 0 g 0 displaystyle langle delta f g rangle langle delta f rangle langle delta g rangle f 0 g 0 nbsp dd Translation d a f d f a f a displaystyle langle delta cdot a f rangle langle delta f cdot a rangle f a nbsp dd fur d a displaystyle delta cdot a nbsp ist auch die Bezeichnung d a displaystyle delta a nbsp gebrauchlich Skalierung d a f 1 a d f a 1 a f 0 displaystyle langle delta a cdot f rangle frac 1 a langle delta f tfrac cdot a rangle frac 1 a f 0 nbsp dd undd a x 1 a d x displaystyle delta alpha x frac 1 alpha delta x nbsp dd das heisst die Delta Distribution ist positiv homogen vom Grad 1 DimensionEine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw Masseinheit der Delta Distribution Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments Hat x displaystyle x nbsp beispielsweise die Dimension einer Lange so hat d x displaystyle delta x nbsp die Dimension 1 Lange Hintereinanderausfuhrung ϕ x d g x d x i 1 n ϕ x d x x i g x i d x i 1 n ϕ x i g x i displaystyle int infty infty phi x delta g x mathrm d x sum i 1 n int infty infty phi x frac delta x x i g x i mathrm d x sum i 1 n frac phi x i g x i nbsp d g x i 1 n d x x i g x i displaystyle delta g x sum i 1 n frac delta x x i g prime x i nbsp dd wobei x i displaystyle x i nbsp die einfachen Nullstellen von g x displaystyle g x nbsp sind sofern g x displaystyle g x nbsp nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregeld x 2 a 2 1 2 a d x a d x a displaystyle delta x 2 alpha 2 frac 1 2 alpha delta x alpha delta x alpha nbsp dd Irregularitat Bearbeiten Die Irregularitat Singularitat der Delta Distribution lasst sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen Angenommen d displaystyle delta nbsp ware regular dann gabe es eine lokal integrierbare Funktion d x L lok 1 displaystyle delta x in L text lok 1 nbsp also eine Funktion die uber jedes kompakte Intervall a b displaystyle a b nbsp bzgl des Lebesgue Masses integrierbar ist a b d x d x lt displaystyle int a b delta x mathrm d x lt infty nbsp so dass fur alle Testfunktionen f x displaystyle f x nbsp gilt d f d x f x d x f 0 displaystyle langle delta f rangle int infty infty delta x f x mathrm d x f 0 nbsp Insbesondere muss dies fur folgende Testfunktion ϕ b x displaystyle phi b x nbsp mit kompaktem Trager b b displaystyle b b nbsp gelten ϕ b x exp b 2 x 2 b 2 x lt b 0 x b displaystyle phi b x begin cases exp Big frac b 2 x 2 b 2 Big amp x lt b 0 amp x geq b end cases nbsp Die Wirkung der Delta Distribution auf diese ist d ϕ b ϕ b 0 exp 1 c o n s t b displaystyle langle delta phi b rangle phi b 0 exp 1 mathrm const b nbsp Mit der angenommenen regularen Distribution d ϕ b d x ϕ b x d x b b d x ϕ b x d x displaystyle langle delta phi b rangle int infty infty delta x phi b x mathrm d x int b b delta x phi b x mathrm d x nbsp lasst sich folgende Abschatzung durchfuhren ϕ b 0 d ϕ b b b d x ϕ b x d x ϕ b x ϕ b 0 b b d x d x lt b lt b c ϕ b 0 displaystyle phi b 0 langle delta phi b rangle left int b b delta x phi b x mathrm d x right leq underbrace phi b x infty phi b 0 int b b delta x mathrm d x underset b lt b c lt phi b 0 nbsp Weil d x L l o k 1 displaystyle delta x in L lok 1 nbsp wird das Integral b b d x d x displaystyle textstyle int b b delta x mathrm d x nbsp fur b lt b c displaystyle b lt b c nbsp wobei b c displaystyle b c nbsp ein von der Funktion d x displaystyle delta x nbsp abhangiger kritischer Wert ist kleiner 1 und konvergiert gegen 0 fur b displaystyle b nbsp gegen 0 Man erhalt ϕ b 0 lt ϕ b 0 displaystyle phi b 0 lt phi b 0 nbsp also einen Widerspruch somit ist die Delta Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar Der Widerspruch ergibt sich weil die Menge 0 fur das Lebesgue Mass vernachlassigbar ist nicht aber fur das Dirac Mass Ableitungen Bearbeiten Ableitung der Delta Distribution Bearbeiten Die Delta Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden d f d f f 0 displaystyle langle delta f rangle langle delta f rangle f 0 nbsp Dies gilt auch fur die n displaystyle n nbsp te distributive Ableitung d n f 1 n d f n 1 n f n 0 displaystyle langle delta n f rangle 1 n langle delta f n rangle 1 n f n 0 nbsp Ableitung der Dirac Folge Bearbeiten Die Ableitungen der regularen Distributionen d ϵ displaystyle delta epsilon nbsp konnen mittels partieller Integration berechnet werden hier exemplarisch fur erste Ableitung analog fur hohere d ϵ f d ϵ x f x d x d ϵ x f x 0 d ϵ x f x d x d ϵ x f x d x d ϵ f displaystyle begin aligned langle delta epsilon prime f rangle amp int infty infty delta epsilon prime x f x mathrm d x amp underbrace left delta epsilon x f x right infty infty 0 int infty infty delta epsilon x f prime x mathrm d x amp int infty infty delta epsilon x f prime x mathrm d x amp langle delta epsilon f prime rangle end aligned nbsp und ergeben im Limes ϵ 0 displaystyle epsilon to 0 nbsp das Verhalten der distributiven Ableitung lim ϵ 0 d ϵ f f 0 d f displaystyle lim epsilon to 0 langle delta epsilon prime f rangle f prime 0 langle delta prime f rangle nbsp Ableitung der Heaviside Distribution Bearbeiten Die Heaviside Funktion 8 x displaystyle Theta x nbsp ist nicht stetig differenzierbar aber die distributive Ableitung existiert diese ist namlich die Delta Distribution 8 f 8 f 8 x f x d x 0 f x d x f 0 f 0 d f displaystyle langle Theta f rangle langle Theta f rangle int infty infty Theta x f x mathrm d x int 0 infty f x mathrm d x underbrace f infty 0 f 0 langle delta f rangle nbsp Da die Heaviside Distribution keinen kompakten Trager hat mussen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Trager sein f C 0 D displaystyle f in C 0 infty cong mathcal D nbsp das heisst f displaystyle f nbsp muss im Unendlichen verschwinden Fourier Laplace Transformation Bearbeiten Da die Delta Distribution einen kompakten Trager hat ist es moglich die Fourier Laplace Transformation dieser zu bilden Fur diese gilt d 1 displaystyle hat delta 1 nbsp Fourier Transformation Bearbeiten Die Fourier Laplace Transformation ist ein Spezialfall der Fourier Transformation und somit gilt auch F d ϕ d F ϕ d e i x 3 ϕ x d x 1 ϕ displaystyle mathcal F delta phi delta mathcal F phi delta left int infty infty mathrm e mathrm i x xi phi x mathrm d x right langle 1 phi rangle nbsp Es gibt auch die Konvention den Faktor 1 2 p displaystyle tfrac 1 sqrt 2 pi nbsp mit der Fourier Transformation zu multiplizieren In dem Fall ist 1 2 p displaystyle tfrac 1 sqrt 2 pi nbsp ebenfalls das Ergebnis der Fourier Transformation der Delta Distribution Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation dass in der Delta Distribution alle Frequenzen enthalten sind und zwar mit gleicher Starke Die Darstellung d x F 1 1 displaystyle delta x mathcal F 1 1 nbsp beziehungsweise d x F 1 1 2 p displaystyle delta x mathcal F 1 tfrac 1 sqrt 2 pi nbsp bei der anderen Konvention fur den Vorfaktor ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta Distribution Laplace Transformation Bearbeiten Die Laplace Transformation L displaystyle mathcal L nbsp der Delta Distribution erhalt man als Spezialfall der Fourier Laplace Transformation Es gilt namlich auch hier L d 1 displaystyle mathcal L delta 1 nbsp Im Gegensatz zur Fourier Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen Anmerkung bezuglich der Darstellung Bearbeiten Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace Transformation durch die gewohnliche Integralschreibweise dargestellt Jedoch sind diese Darstellungen F d 3 e i 3 x d x d x displaystyle mathcal F delta xi int infty infty mathrm e mathrm i xi x delta x mathrm d x nbsp fur die Fourier Transformation beziehungsweise L d 3 0 e 3 x d x d x displaystyle mathcal L delta xi int 0 infty mathrm e xi x delta x mathrm d x nbsp fur die Laplace Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert Transformation der verschobenen Delta Distribution Bearbeiten Es ist ebenfalls moglich die Fourier Transformation beziehungsweise die Laplace Transformation fur die um a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp verschobene Delta Distribution d a displaystyle delta a nbsp zu berechnen Es gilt F d a e i 3 a L d a e 3 a displaystyle begin aligned mathcal F delta a amp mathrm e mathrm i xi a mathcal L delta a amp mathrm e xi a end aligned nbsp Praktische Anwendung BearbeitenPraktische Bedeutung hat der Dirac Stoss bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer d displaystyle delta nbsp Grosse wenn man meint dass die betreffende Grosse einer schmalst moglichen Verteilung genugt So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten Mit einem Dirac Impuls angenahert durch ein Klatschen mit den Handen kann dieses Verhalten durch Messen des Echos also der Systemantwort ermittelt werden Typische technisch realisierbare Dirac Werte Hochspannungstechnik ca 1 100 ns Halbwertsbreite Hochfrequenztechnik ca 10 100 ps Halbwertsbreite Pulslasertechnik ca 10 100 fs HalbwertsbreiteEine wichtige Anwendung der Delta Distribution ist die Losung inhomogener linearer gewohnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion Mehrdimensionale Delta Distribution BearbeitenDefinition Bearbeiten Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen E displaystyle mathcal E nbsp gleich C R n displaystyle C infty mathbb R n nbsp der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp Die Delta Distribution hat auf die Testfunktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp die folgende Wirkung d E R f f 0 displaystyle delta colon mathcal E to mathbb R f mapsto f vec 0 nbsp In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung f x d x a d n x f x d a x d n x f a displaystyle int f vec x delta vec x vec a mathrm d n x int f vec x delta vec a vec x mathrm d n x f vec a nbsp Eigenschaften Bearbeiten Die mehrdimensionale Delta Distribution lasst sich als Produkt von eindimensionalen Delta Distributionen schreiben d x a d x 1 a 1 d x 2 a 2 d x n a n displaystyle delta vec x vec a delta x 1 a 1 delta x 2 a 2 dots delta x n a n nbsp Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta Distribution die haufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird um Punktladungen darzustellen d x a 1 4 p D 1 x a 2 displaystyle delta vec x vec a frac 1 4 pi Delta frac 1 vec x vec a 2 nbsp Delta Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen Bearbeiten In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante d 3 r d x d y d z det x y z a b c d a d b d c displaystyle mathrm d 3 r mathrm d x mathrm d y mathrm d z det frac partial x y z partial a b c mathrm d a mathrm d b mathrm d c nbsp berucksichtigt werden 3 Der Ansatz d r r 0 g a b c d a a 0 d b b 0 d c c 0 displaystyle delta vec r vec r 0 gamma a b c delta a a 0 delta b b 0 delta c c 0 nbsp mit r a b c displaystyle vec r a b c nbsp und r 0 a 0 b 0 c 0 displaystyle vec r 0 a 0 b 0 c 0 nbsp fuhrt dabei auf die Gleichung V d r r 0 d 3 r V det x y z a b c g a b c d a a 0 d b b 0 d c c 0 d a d b d c 1 displaystyle int V delta vec r vec r 0 mathrm d 3 r iiint V det frac partial x y z partial a b c gamma a b c delta a a 0 delta b b 0 delta c c 0 mathrm d a mathrm d b mathrm d c stackrel 1 nbsp falls r 0 V displaystyle vec r 0 in V nbsp Daran lasst sich ablesen dass gelten muss g det x y z a b c r 0 1 displaystyle gamma left left det frac partial x y z partial a b c right vec r 0 right 1 nbsp In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht Beispiele Bearbeiten In Kugelkoordinaten mit r r 8 ϕ displaystyle vec r r theta phi nbsp und r 0 r 0 8 0 ϕ 0 displaystyle vec r 0 r 0 theta 0 phi 0 nbsp gilt d r r 0 1 r 2 sin 8 d r r 0 d 8 8 0 d ϕ ϕ 0 displaystyle delta vec r vec r 0 frac 1 r 2 sin theta delta r r 0 delta theta theta 0 delta phi phi 0 nbsp In Zylinderkoordinaten mit r r ϕ z displaystyle vec r rho phi z nbsp und r 0 r 0 ϕ 0 z 0 displaystyle vec r 0 rho 0 phi 0 z 0 nbsp gilt d r r 0 1 r d r r 0 d ϕ ϕ 0 d z z 0 displaystyle delta vec r vec r 0 frac 1 rho delta rho rho 0 delta phi phi 0 delta z z 0 nbsp Definition in der Nichtstandardanalysis Bearbeiten nbsp Dieser Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Siehe Diskussion In der Nichtstandardanalysis lasst sich eine Delta Funktion explizit als Funktion mit den gewunschten Eigenschaften definieren Diese ist zudem auch unendlich oft differenzierbar Ihre erste Ableitung lautet d d x d x d x x displaystyle frac text d text d x delta x frac delta x x nbsp und ihre n displaystyle n nbsp te Ableitung d n d n x d x 1 n n x n d x displaystyle frac text d n text d n x delta x 1 n frac n x n delta x nbsp Siehe auch BearbeitenDirac Identitat Kronecker DeltaLiteratur BearbeitenDieter Landers Lothar Rogge Nichtstandard Analysis Springer Verlag Berlin u a 1994 ISBN 3 540 57115 9 Springer Lehrbuch Wolfgang Walter Einfuhrung in die Theorie der Distributionen 3 vollstandig uberarbeitete und erweiterte Auflage BI Wissenschafts Verlag Mannheim u a 1994 ISBN 3 411 17023 9 F G Friedlander Introduction to the Theory of Distributions With additional material by M Joshi 2 edition Cambridge University Press Cambridge u a 1998 ISBN 0 521 64015 6 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Delta Distribution Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis eine anwendungsorientierte Einfuhrung 5 uberarb Auflage Springer Verlag Berlin u a 2006 ISBN 3 540 34186 2 Seite 109 Rudiger Hoffmann Grundlagen der Frequenzanalyse Eine Einfuhrung fur Ingenieure und Informatiker Mit 11 Tabellen Expert Verlag 2005 ISBN 978 3 8169 2447 0 S 26 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik Berlin Heidelberg New York Springer 2007 ISBN 978 3 540 71251 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Delta Distribution amp oldid 237786098
