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Lokal integrierbare Funktion Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion die auf jedem Kompaktum integrierbar is

Lokal integrierbare Funktion

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion, die auf jedem Kompaktum integrierbar ist, jedoch muss diese Funktion auf gewissen offenen Mengen nicht integrierbar sein. Solche Funktionen werden in der Analysis beziehungsweise Funktionalanalysis als Hilfsmittel eingesetzt. So spielen diese insbesondere in der Distributionentheorie eine wichtige Rolle. Außerdem kann man das Konzept der lokal integrierbaren Funktionen auf die lokal p-integrierbaren Funktionen und auf die lokal schwach differenzierbaren Funktionen übertragen.

Definition Bearbeiten

In diesem Abschnitt werden die lokal integrierbare Funktion und der Funktionenraum definiert. Sei eine offene Teilmenge und eine Lebesgue-messbare Funktion. Die Funktion heißt lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum das Lebesgue-Integral endlich ist, also

Die Menge dieser Funktionen wird mit bezeichnet. Identifiziert man alle Funktionen aus miteinander, die fast überall gleich sind, so erhält man den Raum . Im Zusammenhang mit der Distributionentheorie findet man auch die äquivalente Definition

wobei die Menge der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen, die fast überall gleich sind, und der Raum der Testfunktionen ist.

Anstatt zu fordern, dass offen ist, wird von anderen Autoren auch als -kompakt vorausgesetzt. Zwar ist es für die Definition des Raums ausreichend, als messbare Menge vorauszusetzen. Für die Definition des Raums der lokal integrierbaren Funktionen wäre diese Allgemeinheit aber ungünstig, da es messbare Mengen gibt, die außer Nullmengen kein Kompaktum enthalten. Dies würde dazu führen, dass jede messbare Funktion lokal integrierbar wäre. Außerdem wären alle Halbnormen konstant Null, die von ihnen induzierte Topologie also indiskret. Funktionen ließen sich in einem solchen Raum nicht trennen. Ein derartiges pathologisches Beispiel erhält man mit , den irrationalen Zahlen.

Beispiele Bearbeiten

  • Die konstante Einsfunktion ist auf unbeschränkten lokal integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar.
  • Alle -Funktionen sind auch lokal integrierbar.
  • Die Funktion
ist bei nicht lokal integrierbar.

Lokal p-integrierbare Funktion Bearbeiten

Analog zu den -Funktionen kann man auch -Funktionen definieren. Sei offen oder -kompakt. Eine messbare Funktion heißt lokal p-integrierbar, falls der Ausdruck

für und für alle Kompakta existiert.

Eigenschaften Bearbeiten

für eine fixierte, lokal integrierbare Funktion definiert ist. Daher identifiziert man den Raum mit der Menge der regulären Distributionen auf . Mit der Abbildung erhält man also eine stetige Einbettung
in den Raum der Distributionen.
  • Eine Funktion ist im Allgemeinen kein Element von . Jedoch gilt für alle .
  • Für gilt
Dies gilt für die -Räume im Allgemeinen nicht, außer wenn endliches Maß hat.

Lokal schwach differenzierbare Funktionen Bearbeiten

Die Räume der schwach differenzierbaren Funktionen sind die Sobolev-Räume . Da diese Unterräume der sind, definiert man auch für diese ganz analog lokale Sobolev-Räume. Sei offen und . Eine Funktion liegt im Raum , wenn deren -te schwache Ableitung existiert. Diese Definition ist äquivalent zu

wobei der Raum der Distributionen ist. Diese Art von Sobolev-Räumen ist ebenfalls ein Fréchet-Raum. Für entspricht der Sobolev-Raum dem Raum der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen. Schränkt man auf ein, wobei die Dimension des umgebenden ist, so ist fast überall differenzierbar in und der Gradient von stimmt mit dem Gradienten im Sinne der schwachen Ableitung überein. Da der Raum der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen ist, folgt der Satz von Rademacher als Spezialfall.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5, Seite 58
  2. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, Seite 281
  3. Juha Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces. Springer, 2001, ISBN 0387951040, Seite 5
  4. ↑ Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis. American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9, Seite 137
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 129
  6. Juha Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces. Springer, 2001, ISBN 0387951040, Seite 14–15
  7. Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 44
  8. Lawrence Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2, Seite 280–281

Weblinks Bearbeiten

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Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion die auf jedem Kompaktum integrierbar ist jedoch muss diese Funktion auf gewissen offenen Mengen nicht integrierbar sein Solche Funktionen werden in der Analysis beziehungsweise Funktionalanalysis als Hilfsmittel eingesetzt So spielen diese insbesondere in der Distributionentheorie eine wichtige Rolle Ausserdem kann man das Konzept der lokal integrierbaren Funktionen auf die lokal p integrierbaren Funktionen und auf die lokal schwach differenzierbaren Funktionen ubertragen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Lokal p integrierbare Funktion 4 Eigenschaften 5 Lokal schwach differenzierbare Funktionen 6 Einzelnachweise 7 WeblinksDefinition BearbeitenIn diesem Abschnitt werden die lokal integrierbare Funktion und der Funktionenraum L l o c 1 displaystyle L mathrm loc 1 nbsp definiert Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge und f W C displaystyle f colon Omega to mathbb C nbsp eine Lebesgue messbare Funktion Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst lokal integrierbar falls fur jedes Kompaktum K W displaystyle K subset Omega nbsp das Lebesgue Integral endlich ist also K f x d x lt displaystyle int K f x mathrm d x lt infty nbsp Die Menge dieser Funktionen wird mit L loc 1 W displaystyle mathcal L operatorname loc 1 Omega nbsp bezeichnet 1 Identifiziert man alle Funktionen aus L loc 1 W displaystyle mathcal L operatorname loc 1 Omega nbsp miteinander die fast uberall gleich sind so erhalt man den Raum L loc 1 W displaystyle L operatorname loc 1 Omega nbsp Im Zusammenhang mit der Distributionentheorie findet man auch die aquivalente Definition L loc 1 W f L 0 W R n f x ϕ x d x lt ϕ D W displaystyle L operatorname loc 1 Omega left f in L 0 Omega left int mathbb R n f x phi x mathrm d x lt infty phi in mathcal D Omega right right nbsp wobei L 0 W displaystyle L 0 Omega nbsp die Menge der Aquivalenzklassen der messbaren Funktionen die fast uberall gleich sind und D W C c W displaystyle mathcal D Omega cong C c infty Omega nbsp der Raum der Testfunktionen ist Anstatt zu fordern dass W displaystyle Omega nbsp offen ist wird W displaystyle Omega nbsp von anderen Autoren auch als s displaystyle sigma nbsp kompakt vorausgesetzt 2 Zwar ist es fur die Definition des Raums L 1 W displaystyle L 1 left Omega right nbsp ausreichend W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp als messbare Menge vorauszusetzen Fur die Definition des Raums L l o c 1 W displaystyle L mathrm loc 1 left Omega right nbsp der lokal integrierbaren Funktionen ware diese Allgemeinheit aber ungunstig da es messbare Mengen gibt die ausser Nullmengen kein Kompaktum enthalten Dies wurde dazu fuhren dass jede messbare Funktion lokal integrierbar ware Ausserdem waren alle Halbnormen L 1 K K W displaystyle left cdot right L 1 left K right left K subset subset Omega right nbsp konstant Null die von ihnen induzierte Topologie also indiskret Funktionen liessen sich in einem solchen Raum nicht trennen Ein derartiges pathologisches Beispiel erhalt man mit W R Q displaystyle Omega mathbb R setminus mathbb Q nbsp den irrationalen Zahlen Beispiele BearbeitenDie konstante Einsfunktion ist auf unbeschrankten W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp lokal integrierbar aber nicht Lebesgue integrierbar Alle L p displaystyle L p nbsp Funktionen sind auch lokal integrierbar Die Funktionf x 1 x x 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases frac 1 x amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp dd ist bei x 0 displaystyle x 0 nbsp nicht lokal integrierbar Lokal p integrierbare Funktion BearbeitenAnalog zu den L l o c 1 W displaystyle L mathrm loc 1 Omega nbsp Funktionen kann man auch L l o c p W displaystyle L mathrm loc p Omega nbsp Funktionen definieren Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen oder s displaystyle sigma nbsp kompakt Eine messbare Funktion f W C displaystyle f colon Omega to mathbb C nbsp heisst lokal p integrierbar falls der Ausdruck K f x p d x displaystyle int K f x p mathrm d x nbsp fur p 1 displaystyle p geq 1 nbsp und fur alle Kompakta K W displaystyle K subset Omega nbsp existiert 3 Eigenschaften BearbeitenEine regulare Distribution ist ein stetiges und lineares Funktional das durchϕ D R n R n f x ϕ x d x displaystyle phi in mathcal D mathbb R n mapsto int mathbb R n f x phi x mathrm d x nbsp dd fur eine fixierte lokal integrierbare Funktion f L l o c 1 R n displaystyle f in L mathrm loc 1 mathbb R n nbsp definiert ist Daher identifiziert man den Raum L l o c 1 R n displaystyle L mathrm loc 1 mathbb R n nbsp mit der Menge der regularen Distributionen auf R n displaystyle mathbb R n nbsp Mit der Abbildung f L l o c 1 R n ϕ D R n R n f x ϕ x d x displaystyle textstyle f in L mathrm loc 1 mathbb R n mapsto left phi in mathcal D mathbb R n mapsto int mathbb R n f x phi x mathrm d x right nbsp erhalt man also eine stetige EinbettungL l o c 1 R n D R n displaystyle L mathrm loc 1 mathbb R n hookrightarrow mathcal D mathbb R n nbsp dd in den Raum der Distributionen Eine Funktion f L l o c p W displaystyle f in L mathrm loc p Omega nbsp ist im Allgemeinen kein Element von L p W displaystyle L p Omega nbsp Jedoch gilt L p W L l o c p W displaystyle L p Omega subset L mathrm loc p Omega nbsp fur alle 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp 4 Fur 1 p lt r displaystyle 1 leq p lt r leq infty nbsp giltL l o c r W L l o c p W displaystyle L mathrm loc r Omega subset L mathrm loc p Omega nbsp dd Dies gilt fur die L p W displaystyle L p Omega nbsp Raume im Allgemeinen nicht ausser wenn W displaystyle Omega nbsp endliches Mass hat 4 Sei W i i N displaystyle Omega i i in mathbb N nbsp eine beliebige Folge offener relativ kompakter Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp mit W i N W i displaystyle textstyle Omega bigcup i in mathbb N Omega i nbsp dann ist L p W i displaystyle cdot L p Omega i nbsp eine Folge von Halbnormen auf L l o c p W displaystyle L mathrm loc p Omega nbsp Mit dieser Halbnorm wird L l o c p W displaystyle L mathrm loc p Omega nbsp zu einem metrisierbaren lokalkonvexen Vektorraum Da bezuglich dieser Metrik alle Cauchy Folgen konvergieren der Raum also vollstandig ist ist er ein Frechet Raum 5 Lokal schwach differenzierbare Funktionen BearbeitenDie Raume der schwach differenzierbaren Funktionen sind die Sobolev Raume W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Da diese Unterraume der L p W displaystyle L p Omega nbsp sind definiert man auch fur diese ganz analog lokale Sobolev Raume Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp Eine Funktion f L l o c p W displaystyle f in L mathrm loc p Omega nbsp liegt im Raum W l o c k p W displaystyle W mathrm loc k p Omega nbsp wenn deren k displaystyle k nbsp te schwache Ableitung existiert 6 Diese Definition ist aquivalent zu W l o c k p W u D W ϕ u W k p R n ϕ D W displaystyle W mathrm loc k p Omega left u in mathcal D Omega mid phi u in W k p mathbb R n forall phi in mathcal D Omega right nbsp wobei D W displaystyle mathcal D Omega nbsp der Raum der Distributionen ist Diese Art von Sobolev Raumen ist ebenfalls ein Frechet Raum 7 Fur p displaystyle p infty nbsp entspricht der Sobolev Raum W l o c 1 W displaystyle W mathrm loc 1 infty Omega nbsp dem Raum der lokal Lipschitz stetigen Funktionen Schrankt man p displaystyle p nbsp auf n lt p displaystyle n lt p leq infty nbsp ein wobei n displaystyle n nbsp die Dimension des umgebenden R n displaystyle mathbb R n nbsp ist so ist f W l o c 1 p displaystyle f in W mathrm loc 1 p nbsp fast uberall differenzierbar in W displaystyle Omega nbsp und der Gradient von f displaystyle f nbsp stimmt mit dem Gradienten im Sinne der schwachen Ableitung uberein Da W l o c 1 W displaystyle W mathrm loc 1 infty Omega nbsp der Raum der lokal Lipschitz stetigen Funktionen ist folgt der Satz von Rademacher als Spezialfall 8 Einzelnachweise Bearbeiten Otto Forster Analysis Band 3 Mass und Integrationstheorie Integralsatze im Rn und Anwendungen 8 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 16745 5 Seite 58 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8 Seite 281 Juha Heinonen Lectures on analysis on metric spaces Springer 2001 ISBN 0387951040 Seite 5 a b Elliott H Lieb amp Michael Loss Analysis American Mathematical Society Second Edition 2001 ISBN 0 8218 2783 9 Seite 137 Herbert Amann Joachim Escher Analysis III 1 Auflage Birkhauser Verlag Basel Boston Berlin 2001 ISBN 3 7643 6613 3 Seite 129 Juha Heinonen Lectures on analysis on metric spaces Springer 2001 ISBN 0387951040 Seite 14 15 Alain Grigis amp Johannes Sjostrand Microlocal analysis for differential operators an introduction Cambridge University Press 1994 ISBN 0 521 44986 3 Seite 44 Lawrence Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society ISBN 0 8218 0772 2 Seite 280 281Weblinks BearbeitenMathworld Locally Integrable Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokal integrierbare Funktion amp oldid 213497944