www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Rademacher Der benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher ist ein Satz der Analysis über Lipschitz

Satz von Rademacher

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage Bearbeiten

Seien natürliche Zahlen, eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist fast überall (total) differenzierbar.

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen , wobei nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Dabei bezeichne die L1-Norm. Das heißt, ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis (PDF; 481 kB), Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (Satz von Rademacher inklusive eines Beweises: S. 18ff.) Abgerufen am 12. Juni 2012.
  2. Bernd Kirchheim: Rectifiable metric spaces: Local structure and regularity of the Hausdorff measure; zitiert nach: Proceedings of the American Mathematical Society: Volume 121, Number 1, May 1994. Abgerufen am 12. Juni 2012.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Rademacher benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher ist ein Satz der Analysis uber Lipschitz stetige Funktionen Aussage BearbeitenSeien n m N displaystyle n m in mathbb N nbsp naturliche Zahlen U R n displaystyle U subseteq mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schliesslich f U R m displaystyle f colon U to mathbb R m nbsp eine Lipschitz stetige Funktion Dann ist f displaystyle f nbsp fast uberall total differenzierbar 1 Das heisst die Menge aller Punkte in denen f displaystyle f nbsp nicht differenzierbar ist ist eine Lebesgue Nullmenge Verallgemeinerung BearbeitenEs gibt eine Verallgemeinerung fur Funktionen f U X d X displaystyle f colon U to X d X nbsp wobei X displaystyle X nbsp nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne Zunachst ist jedoch nicht klar wie sich obiger Satz auf diesen Fall ubertragen lasst denn ein metrischer Raum tragt nicht a priori auch eine lineare Struktur Fasst man f displaystyle f nbsp als Funktion zwischen normierten Raumen auf und legt die Frechet Differenzierbarkeit zu Grunde dann wird der Satz sogar falsch Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion F 0 1 L 1 0 1 t x 0 t displaystyle Phi colon 0 1 to L 1 0 1 t mapsto chi 0 t nbsp Wobei x 0 t displaystyle chi 0 t nbsp die charakteristische Funktion des Teilintervalls 0 t displaystyle 0 t nbsp bezeichne Es gilt fur beliebige 1 y x 0 displaystyle 1 geq y geq x geq 0 nbsp F y F x L 1 0 1 x 0 y t x 0 x t d t x y 1 d t y x displaystyle Phi y Phi x L 1 int 0 1 chi 0 y t chi 0 x t dt int x y 1 dt y x nbsp dd Dabei bezeichne L 1 displaystyle L 1 nbsp die L1 Norm Das heisst F displaystyle Phi nbsp ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz stetig es lasst sich aber zeigen dass F displaystyle Phi nbsp nirgendwo Frechet differenzierbar ist Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern konnen 2 Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz stetig so ist sie fast uberall metrisch differenzierbar Einzelnachweise Bearbeiten Juha Heinonen Lectures on Lipschitz Analysis PDF 481 kB Lectures at the 14th Jyvaskyla Summer School in August 2004 Satz von Rademacher inklusive eines Beweises S 18ff Abgerufen am 12 Juni 2012 Bernd Kirchheim Rectifiable metric spaces Local structure and regularity of the Hausdorff measure zitiert nach Proceedings of the American Mathematical Society Volume 121 Number 1 May 1994 Abgerufen am 12 Juni 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Rademacher amp oldid 202558189