Dichtefunktion Dieser Artikel behandelt den allgemeinen maßtheoretischen Begriff der Für den Spezialfall in der Stochast

Dichtefunktion

Eine Dichtefunktion, kurz Dichte, ist eine spezielle reellwertige Funktion, die hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Maßtheorie vorkommt. Dort dienen Dichtefunktionen zur Konstruktion von Maßen oder signierten Maßen über Integrale.

Bekanntestes Beispiel von Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Wahrscheinlichkeitsmaße konstruieren, ohne auf tiefliegendere maßtheoretische Methoden und Strukturen zurückgreifen zu müssen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum sowie eine positive -quasiintegrierbare Funktion

Dann lässt sich durch

ein Maß definieren. Die Funktion heißt dann die Dichtefunktion des Maßes.

Sind umgekehrt und Maße auf und ist

so heißt die Dichtefunktion des Maßes bezüglich des Maßes . Die Funktion wird dann auch als Radon-Nikodým-Dichte oder Radon-Nikodým-Ableitung bezeichnet und als notiert.

Die Definition für signierte Maße ist in beiden Fällen identisch, lediglich die Positivität der quasiintegrierbaren Funktionen wird fallengelassen.

Beispiele Bearbeiten

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Bearbeiten

Typisches Beispiel von Dichtefunktionen sind Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen. Dies sind Dichtefunktionen bezüglich des Lebesgue-Maßes bzw. des Lebesgue-Integrals, bei denen das Maß des Grundraumes eins ist. Die Vorgabe solch einer Funktion ist eine einfache Möglichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaße über

zu definieren. Wahrscheinlichkeitsmaße, die sich so definieren lassen, werden absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße genannt. Sie ermöglichen einen elementaren Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie, häufig wird dann auch auf die Verwendung des Lebesgue-Integrals verzichtet und stattdessen das Riemann-Integral benutzt. Dann findet sich entsprechend die Notation anstelle von .

Zähldichten Bearbeiten

Ein weiteres Beispiel für Dichtefunktionen sind Zähldichten, auch Wahrscheinlichkeitsfunktionen genannt. Sie ordnen im einfachsten Fall jeder natürlichen Zahl eine positive Zahl zu:

Dabei summieren sich die Funktionswerte zu eins auf und definieren damit über

eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wählt man als Maß nun das Zählmaß auf , so ist

Zähldichten sind somit Dichtefunktionen bezüglich des Zählmaßes.

Existenz Bearbeiten

Per Definition lässt sich jede positive quasiintegrierbare Funktion in Kombination mit einem Maß zur Definition eines weiteren Maßes heranziehen und damit zur Dichtefunktion erklären.

Sind jedoch zwei Maße gegeben, so stellt sich die Frage, ob eine Dichtefunktion bezüglich besitzt oder umgekehrt. Diese Frage beantwortet der Satz von Radon-Nikodým:

Siehe auch Bearbeiten

Dichtebündel

Literatur Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise Bearbeiten

Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 159.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 27, 2023, 14:10 pm

Dieser Artikel behandelt den allgemeinen masstheoretischen Begriff der Dichtefunktion Fur den Spezialfall in der Stochastik siehe Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Zu physikalischen Dichtefunktionen siehe Dichtekurve und Massenverteilung Eine Dichtefunktion kurz Dichte 1 ist eine spezielle reellwertige Funktion die hauptsachlich in den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Masstheorie vorkommt Dort dienen Dichtefunktionen zur Konstruktion von Massen oder signierten Massen uber Integrale Bekanntestes Beispiel von Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Wahrscheinlichkeitsmasse konstruieren ohne auf tiefliegendere masstheoretische Methoden und Strukturen zuruckgreifen zu mussen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen 2 2 Zahldichten 3 Existenz 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu nbsp sowie eine positive m displaystyle mu nbsp quasiintegrierbare Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp Dann lasst sich durch m f A A f x d m x displaystyle mu f A int A f x mathrm d mu x nbsp fur alle A A displaystyle A in mathcal A nbsp ein Mass definieren Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst dann die Dichtefunktion des Masses Sind umgekehrt m displaystyle mu nbsp und n displaystyle nu nbsp Masse auf X A displaystyle X mathcal A nbsp und ist n A A f n x d m x displaystyle nu A int A f nu x mathrm d mu x nbsp fur eine positive quasiintegrierbare Funktion f n displaystyle f nu nbsp und alle A A displaystyle A in mathcal A nbsp so heisst f n displaystyle f nu nbsp die Dichtefunktion des Masses n displaystyle nu nbsp bezuglich des Masses m displaystyle mu nbsp Die Funktion wird dann auch als Radon Nikodym Dichte oder Radon Nikodym Ableitung bezeichnet und als d n d m displaystyle tfrac mathrm d nu mathrm d mu nbsp notiert Die Definition fur signierte Masse ist in beiden Fallen identisch lediglich die Positivitat der quasiintegrierbaren Funktionen wird fallengelassen Beispiele BearbeitenWahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Bearbeiten Typisches Beispiel von Dichtefunktionen sind Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen Dies sind Dichtefunktionen bezuglich des Lebesgue Masses l displaystyle lambda nbsp bzw des Lebesgue Integrals bei denen das Mass des Grundraumes eins ist Die Vorgabe solch einer Funktion f P displaystyle f P nbsp ist eine einfache Moglichkeit Wahrscheinlichkeitsmasse uber P A A f P x d l x displaystyle P A int A f P x mathrm d lambda x nbsp zu definieren Wahrscheinlichkeitsmasse die sich so definieren lassen werden absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmasse genannt Sie ermoglichen einen elementaren Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie haufig wird dann auch auf die Verwendung des Lebesgue Integrals verzichtet und stattdessen das Riemann Integral benutzt Dann findet sich entsprechend die Notation d x displaystyle mathrm d x nbsp anstelle von d l x displaystyle mathrm d lambda x nbsp Zahldichten Bearbeiten Ein weiteres Beispiel fur Dichtefunktionen sind Zahldichten auch Wahrscheinlichkeitsfunktionen genannt Sie ordnen im einfachsten Fall jeder naturlichen Zahl eine positive Zahl zu f N 0 displaystyle f colon mathbb N to 0 infty nbsp Dabei summieren sich die Funktionswerte zu eins auf und definieren damit uber P k f k displaystyle P k f k nbsp eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahlt man als Mass nun das Zahlmass m displaystyle mu nbsp auf N displaystyle mathbb N nbsp so ist P A k A f k A f k d m k displaystyle P A sum k in A f k int A f k mathrm d mu k nbsp Zahldichten sind somit Dichtefunktionen bezuglich des Zahlmasses Existenz BearbeitenPer Definition lasst sich jede positive quasiintegrierbare Funktion in Kombination mit einem Mass zur Definition eines weiteren Masses heranziehen und damit zur Dichtefunktion erklaren Sind jedoch zwei Masse m n displaystyle mu nu nbsp gegeben so stellt sich die Frage ob n displaystyle nu nbsp eine Dichtefunktion bezuglich m displaystyle mu nbsp besitzt oder umgekehrt Diese Frage beantwortet der Satz von Radon Nikodym Ist m displaystyle mu nbsp s endlich und ist n displaystyle nu nbsp absolut stetig bezuglich m displaystyle mu nbsp so besitzt n displaystyle nu nbsp eine Dichtefunktion bezuglich m displaystyle mu nbsp Siehe auch BearbeitenDichtebundelLiteratur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Einzelnachweise Bearbeiten Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 159 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dichtefunktion amp oldid 233694916