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Dichtebündel Ein ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie

Dichtebündel

Ein Dichtebündel ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit Differentialformen einen Koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der Lp-Räume und der Distributionenräume auf Mannigfaltigkeiten.

Definition Bearbeiten

r-Dichte Bearbeiten

Sei ein reeller, -dimensionaler Vektorraum und mit wird die n-te äußere Potenz des Vektorraums notiert. Für jedes definiert man eine r-Dichte als eine Funktion , so dass

für alle und für alle gilt. Der Vektorraum der -Dichten wird mit notiert.

r-Dichtebündel Bearbeiten

Sei eine glatte, -dimensionale Mannigfaltigkeit und eine reelle Zahl. Mit wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbündel notiert.

Analog zur obigen Definition ist eine -Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung

mit

für alle und für alle glatten Funktionen .

Das Vektorbündel der -Dichten ist dann definiert durch

Mit wird das Tangentialbündel bezeichnet.

Pullback Bearbeiten

Für induziert eine glatte Abbildung zwischen zwei glatten -dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback

welcher für alle durch

definiert ist. Dabei ist der Pushforward von , sind und Untermannigfaltigkeiten so ist die Jacobi-Matrix von .

Dualraum Bearbeiten

  1. Sei wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
  2. Für gilt die Isomorphie
  3. Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt

    und daher ist der Dualraum von und man schreibt

Integration auf Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eins-Dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann.

Definition Bearbeiten

Sei also eine glatte Mannigfaltigkeit und sei eine 1-Dichte. Dann ist das Integral von über wie folgt definiert. Sei eine endliche Familie von Karten, welche überdecken. Und sei eine subordinierte Zerlegung der Eins. Dann setze

Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Das Integral ist invariant bezüglich Diffeomorphismen. Das heißt, für alle glatten Mannigfaltigkeit und der gleichen Dimension und jeden Diffeomorphismus und jede 1-Dichte gilt
  • Das Integral ist lokal, das heißt, für jede Teilmenge und jede 1-Dichte mit gilt
  • Für jedes gilt

    Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.

L1-Raum Bearbeiten

Sei eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral , so nennt man einen -Schnitt dessen Norm durch

gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.

Lp-Räume Bearbeiten

Seien nun und und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum und hat kompakten Träger. Somit ist integrierbar.

Ist integrierbar so spricht man analog von einem -Schnitt dessen Norm durch

gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum mit der Dualraum zu

Beispiele Bearbeiten

Dichtebündel über dem reellen Raum Bearbeiten

Sei die zu betrachtende Mannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel ist ein triviales Vektorbündel, daher existieren in und im Dichtebündel globale Schnitte. Sei die kanonische Basis von , dann ist eine Basis des eindimensionalen Raums . Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt , der durch

definiert ist. Für jede glatte Abbildung ist eine glatte 1-Dichte. Das Objekt kann als das Lebesgue-Maß verstanden werden.

Sei ein glatter Diffeomorphismus, dann gilt

Dabei bezeichnet die Jacobi-Matrix von . Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen. Vergleiche dazu auch Transformationssatz.

Riemannsche Dichte Bearbeiten

Sei eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, dann existiert für das Tangentialbündel ein orthonormaler Rahmen bezüglich der riemannschen Metrik. Der eindeutig bestimmte globale Schnitt mit

heißt riemannsche Dichte. Dieser Schnitt existiert ohne weitere Voraussetzungen immer.

Tensordichte Bearbeiten

Ersetze in der Definition von das Tangentialbündel durch das Tensorbündel Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel das -Tensordichtebündel. Im Fall heißen die Elemente Tensorfelder.

Distributionen Bearbeiten

Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger. So kann man eine von induzierte Distribution

definieren durch

Aus diesem Grund setzt man

Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also

Literatur Bearbeiten

  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3.
  • S. R. Simanca: Pseudo-differential operators (= Pitman Research Notes in Mathematics Series 236). Longman Scientific & Technical u. a., Harlow u. a. 1990, ISBN 0-582-06693-X.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 108.
  2. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 33.
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Ein Dichtebundel ist ein Spezialfall eines Vektorbundels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht Mit Hilfe dieser Bundel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern So kann man ahnlich wie mit Differentialformen einen Koordinaten invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren Man findet mit Hilfe dieser Bundel Verallgemeinerungen der Lp Raume und der Distributionenraume auf Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 r Dichte 1 2 r Dichtebundel 2 Pullback 3 Dualraum 4 Integration auf Mannigfaltigkeiten 4 1 Definition 4 2 Eigenschaften 4 3 L1 Raum 4 4 Lp Raume 5 Beispiele 5 1 Dichtebundel uber dem reellen Raum 5 2 Riemannsche Dichte 5 3 Tensordichte 5 4 Distributionen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition Bearbeitenr Dichte Bearbeiten Sei V displaystyle V nbsp ein reeller n displaystyle n nbsp dimensionaler Vektorraum und mit L n V displaystyle Lambda n V nbsp wird die n te aussere Potenz des Vektorraums V displaystyle V nbsp notiert Fur jedes r R displaystyle r in mathbb R nbsp definiert man eine r Dichte als eine Funktion f L n V R displaystyle f colon Lambda n V to mathbb R nbsp so dass f l u l r f u displaystyle f lambda u lambda r f u nbsp fur alle u L n V 0 displaystyle u in Lambda n V backslash 0 nbsp und fur alle l 0 displaystyle lambda neq 0 nbsp gilt Der Vektorraum der r displaystyle r nbsp Dichten wird mit V r displaystyle V r nbsp notiert r Dichtebundel Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine glatte n displaystyle n nbsp dimensionale Mannigfaltigkeit und r R displaystyle r in mathbb R nbsp eine reelle Zahl Mit G displaystyle Gamma infty nbsp wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbundel notiert Analog zur obigen Definition ist eine r displaystyle r nbsp Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung m G L n M C M displaystyle mu colon Gamma infty Lambda n M to C infty M nbsp mit m l u l r m u displaystyle mu lambda u lambda r mu u nbsp fur alle u L n T M 0 displaystyle u in Lambda n TM backslash 0 nbsp und fur alle glatten Funktionen l M R 0 displaystyle lambda colon M to mathbb R backslash 0 nbsp Das Vektorbundel der r displaystyle r nbsp Dichten ist dann definiert durch L n M r L n T M r displaystyle Lambda n M r Lambda n TM r nbsp Mit T M displaystyle TM nbsp wird das Tangentialbundel bezeichnet Pullback Bearbeiten Hauptartikel Rucktransport Fur r 0 displaystyle r geq 0 nbsp induziert eine glatte Abbildung ϕ M N displaystyle phi colon M to N nbsp zwischen zwei glatten n displaystyle n nbsp dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback ϕ G L n N r G L n M r displaystyle phi colon Gamma infty Lambda n N r to Gamma infty Lambda n M r nbsp welcher fur alle e C L n T M displaystyle e in C infty Lambda n TM nbsp durch ϕ m e m det ϕ e det ϕ r m e displaystyle phi mu e mu det phi cdot e det phi r mu e nbsp definiert ist Dabei ist ϕ displaystyle phi nbsp der Pushforward von ϕ displaystyle phi nbsp sind M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp Untermannigfaltigkeiten so ist ϕ displaystyle phi nbsp die Jacobi Matrix von ϕ displaystyle phi nbsp Dualraum BearbeitenSei M displaystyle M nbsp wieder eine glatte Mannigfaltigkeit Da der Vektorraum der 0 Dichten L n T p M 0 displaystyle Lambda n T p M 0 nbsp nur aus den konstanten Funktionen besteht gilt fur das entsprechende Dichtebundel L n M 0 M R displaystyle Lambda n M 0 cong M times mathbb R nbsp Fur a b R displaystyle alpha beta in mathbb R nbsp gilt die Isomorphie L n M a L n M b L n M a b displaystyle Lambda n M alpha otimes Lambda n M beta cong Lambda n M alpha beta nbsp Aus den Eigenschaften 1 und 2 folgt L n M a L n M a M R displaystyle Lambda n M alpha otimes Lambda n M alpha cong M times mathbb R nbsp und daher ist L n M a displaystyle Lambda n M alpha nbsp der Dualraum von L n M a displaystyle Lambda n M alpha nbsp und man schreibt L n M a L n M a displaystyle Lambda n M alpha cong Lambda n M alpha nbsp Integration auf Mannigfaltigkeiten BearbeitenEins Dichten sind insbesondere deshalb wichtig weil sie koordinatenunabhangig auf Mannigfaltigkeiten integriert werden konnen Ihr Vorteil gegenuber Differentialformen welche auch diese Eigenschaft haben ist dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann Definition Bearbeiten Sei also M displaystyle M nbsp eine glatte Mannigfaltigkeit und sei m G c L n M 1 displaystyle mu in Gamma c infty Lambda n M 1 nbsp eine 1 Dichte Dann ist das Integral M m displaystyle textstyle int M mu nbsp von m displaystyle mu nbsp uber M displaystyle M nbsp wie folgt definiert Sei U i k i i I displaystyle U i kappa i i in I nbsp eine endliche Familie von Karten welche supp m displaystyle operatorname supp mu nbsp uberdecken Und sei ϕ i i I displaystyle phi i i in I nbsp eine subordinierte Zerlegung der Eins Dann setze M m i k i U k i ϕ i m displaystyle int M mu sum i int kappa i U kappa i phi i mu nbsp Die rechte Seite ist unabhangig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins Eigenschaften Bearbeiten Das Integral ist invariant bezuglich Diffeomorphismen Das heisst fur alle glatten Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp der gleichen Dimension n displaystyle n nbsp und jeden Diffeomorphismus ϕ M N displaystyle phi colon M to N nbsp und jede 1 Dichte m G c L n N 1 displaystyle mu in Gamma c infty Lambda n N 1 nbsp gilt M ϕ m N m displaystyle int M phi mu int N mu nbsp Das Integral ist lokal das heisst fur jede Teilmenge U M displaystyle U subset M nbsp und jede 1 Dichte m G c L n M 1 displaystyle mu in Gamma c infty Lambda n M 1 nbsp mit supp m U displaystyle operatorname supp mu subset U nbsp gilt M m U m displaystyle int M mu int U mu nbsp Fur jedes r C c R n displaystyle rho in C c infty mathbb R n nbsp gilt R n r d v R n r d x displaystyle int mathbb R n rho mathrm d v int mathbb R n rho mathrm d x nbsp Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Trager L1 Raum Bearbeiten Sei m L n M 1 displaystyle mu in Lambda n M 1 nbsp eine messbare 1 Dichte mit kompaktem Trager Existiert das Integral M m displaystyle textstyle int M mu nbsp so nennt man m displaystyle mu nbsp einen L 1 displaystyle L 1 nbsp Schnitt dessen Norm durch m L 1 M m displaystyle mu L 1 int M mu nbsp gegeben ist Die Vervollstandigung dieser Menge bezuglich der gegebenen Norm liefert den Raum L 1 M L n M 1 displaystyle L 1 M Lambda n M 1 nbsp Ist die Mannigfaltigkeit kompakt so bewirkt die Vervollstandigung nichts Lp Raume Bearbeiten Seien nun m L n M r displaystyle mu in Lambda n M r nbsp und n L n M 1 r displaystyle nu in Lambda n M 1 r nbsp und eine der beiden Dichten habe kompakten Trager Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum m n m n L n M 1 displaystyle mu otimes nu mu cdot nu in Lambda n M 1 nbsp und hat kompakten Trager Somit ist m n displaystyle mu cdot nu nbsp integrierbar Ist M m p displaystyle int M mu p nbsp integrierbar so spricht man analog von einem L p displaystyle L p nbsp Schnitt dessen Norm durch m L p M m p displaystyle mu L p int M mu p nbsp gegeben ist Die Vervollstandigung liefert den Raum L p M L n M 1 p displaystyle L p M Lambda n M frac 1 p nbsp Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum L q M L n M 1 q displaystyle L q M Lambda n M frac 1 q nbsp mit 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp der Dualraum zu L p M L n M 1 p displaystyle L p M Lambda n M frac 1 p nbsp Beispiele BearbeitenDichtebundel uber dem reellen Raum Bearbeiten Sei M R n displaystyle M mathbb R n nbsp die zu betrachtende Mannigfaltigkeit Das Tangentialbundel T R n displaystyle T mathbb R n nbsp ist ein triviales Vektorbundel daher existieren in T R n displaystyle T mathbb R n nbsp und im Dichtebundel L n R n displaystyle Lambda n mathbb R n nbsp globale Schnitte Sei e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp die kanonische Basis von R n displaystyle mathbb R n nbsp dann ist e 1 e n displaystyle e 1 wedge cdots wedge e n nbsp eine Basis des eindimensionalen Raums L n R n displaystyle Lambda n mathbb R n nbsp Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt d n n L n R n 1 displaystyle textstyle mathrm d nu n in Lambda n mathbb R n 1 nbsp der durch d n n e 1 e n 1 displaystyle mathrm d nu n e 1 wedge cdots wedge e n 1 nbsp definiert ist Fur jede glatte Abbildung f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp ist m f d n n displaystyle mu f mathrm d nu n nbsp eine glatte 1 Dichte Das Objekt d n n displaystyle mathrm d nu n nbsp kann als das Lebesgue Mass verstanden werden 1 Sei ϕ ϕ 1 ϕ n R n R n displaystyle phi phi 1 ldots phi n colon mathbb R n to mathbb R n nbsp ein glatter Diffeomorphismus dann gilt ϕ d n n det ϕ i x j d n n displaystyle phi mathrm d nu n left det left frac partial phi i partial x j right right cdot mathrm d nu n nbsp Dabei bezeichnet ϕ i x j displaystyle textstyle left frac partial phi i partial x j right nbsp die Jacobi Matrix von ϕ displaystyle phi nbsp 1 Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen Vergleiche dazu auch Transformationssatz Riemannsche Dichte Bearbeiten Sei M g displaystyle M g nbsp eine n dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit dann existiert fur das Tangentialbundel ein orthonormaler Rahmen e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp bezuglich der riemannschen Metrik Der eindeutig bestimmte globale Schnitt d x G M L n M displaystyle mathrm d x in Gamma M Lambda n M nbsp mit d x e 1 e n 1 displaystyle mathrm d x e 1 wedge cdots wedge e n 1 nbsp heisst riemannsche Dichte Dieser Schnitt existiert ohne weitere Voraussetzungen immer 2 Tensordichte Bearbeiten Hauptartikel Tensordichte Ersetze in der Definition von L n M r L n T M r displaystyle Lambda n M r Lambda n TM r nbsp das Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp durch das Tensorbundel T s r T M displaystyle T s r TM nbsp Dann heisst das davon induzierte Dichtebundel L n T s r T M r displaystyle Lambda n T s r TM r nbsp das r displaystyle r nbsp Tensordichtebundel Im Fall r 0 displaystyle r 0 nbsp heissen die Elemente Tensorfelder Distributionen Bearbeiten Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1 Dichten uber Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren Sei G c L n M 1 displaystyle Gamma c infty Lambda n M 1 nbsp der Raum der glatten Schnitte M L n M 1 displaystyle M to Lambda n M 1 nbsp mit kompaktem Trager So kann man eine von f displaystyle f nbsp induzierte Distribution T f G c L n M 1 C R displaystyle T f colon Gamma c infty Lambda n M 1 to C infty mathbb R nbsp definieren durch w f w displaystyle omega mapsto int f omega nbsp Aus diesem Grund setzt man D M L n M 1 G c L n M 1 displaystyle mathcal D M Lambda n M 1 Gamma c infty Lambda n M 1 nbsp Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Trager welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Trager definiert ist Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert Man setzt also D M D M L n M 1 displaystyle mathcal D M mathcal D M Lambda n M 1 nbsp Literatur BearbeitenLiviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds 2nd edition World Scientific Pub Co Singapore u a 2007 ISBN 978 981 270 853 3 S R Simanca Pseudo differential operators Pitman Research Notes in Mathematics Series 236 Longman Scientific amp Technical u a Harlow u a 1990 ISBN 0 582 06693 X Einzelnachweise Bearbeiten a b Liviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds 2nd edition World Scientific Pub Co Singapore u a 2007 ISBN 978 981 270 853 3 S 108 Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat kernels and Dirac operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Berlin u a Springer 1992 ISBN 0 387 53340 0 S 33 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dichtebundel amp oldid 206529977