Dieser Artikel behandelt den Pushforward einer differenzierbaren Abbildung als Abbildung zwischen Tangentialraumen Fur den Pushforward eines Faserbundels in der Kohomologie siehe Gysin Sequenz Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialraumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet die die im euklidischen Raum definierte Richtungsableitung verallgemeinert Das duale Konzept heisst meist Rucktransport Pullback Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Bezeichnungen und Schreibweisen 2 Bedeutung fur Tangentialvektoren von Kurven 3 Darstellung in Koordinaten 4 Pushforward im euklidischen Raum 5 Eigenschaften 6 LiteraturDefinition BearbeitenSind M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp glatte Mannigfaltigkeiten und ist F M N displaystyle F colon M rightarrow N nbsp eine glatte Abbildung so definiert man den Pushforward F T p M T F p N displaystyle F ast colon T p M rightarrow T F p N nbsp dd von F displaystyle F nbsp am Punkt p M displaystyle p in M nbsp durch F v f v f F displaystyle F v f v f circ F nbsp dd fur v T p M displaystyle v in T p M nbsp und jede glatte Funktion f C N displaystyle f in mathcal C infty N nbsp auf der Mannigfaltigkeit N displaystyle N nbsp Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen Derivationen aufgefasst vgl Tangentialraum Auf diese Weise wird eine Abbildung F T M T N displaystyle F ast colon TM to TN nbsp definiert Bezeichnungen und Schreibweisen Bearbeiten Andere Bezeichnungen fur den Pushforward sind Ableitung Differential und Tangentialabbildung von F displaystyle F nbsp Andere Schreibweisen sind F p v displaystyle F p v nbsp D F p v displaystyle DF p v nbsp D p F v displaystyle D p F v nbsp d F p v displaystyle dF p v nbsp d p F v displaystyle d p F v nbsp und T p F v displaystyle T p F v nbsp Oft werden die Klammern um das Argument v displaystyle v nbsp auch weggelassen Bedeutung fur Tangentialvektoren von Kurven BearbeitenIst v c t T p M displaystyle v dot c t in T p M nbsp der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve c I M displaystyle c colon I to M nbsp hierbei ist I displaystyle I nbsp ein Intervall in R displaystyle mathbb R nbsp im Punkt p c t displaystyle p c t nbsp so ist F v displaystyle F v nbsp der Tangentialvektor der Bildkurve c F c I N displaystyle tilde c F circ c colon I to N nbsp im Bildpunkt F p c t displaystyle F p tilde c t nbsp also F v c t F c t displaystyle F v dot tilde c t F circ c cdot t nbsp dd Darstellung in Koordinaten BearbeitenSind x 1 x m displaystyle x 1 dots x m nbsp lokale Koordinaten auf M displaystyle M nbsp um p displaystyle p nbsp und y 1 y n displaystyle y 1 dots y n nbsp lokale Koordinaten auf N displaystyle N nbsp um den Bildpunkt F p displaystyle F p nbsp so haben die Vektoren v T p M displaystyle v in T p M nbsp und w F v T F p N displaystyle w F v in T F p N nbsp die Darstellungen v j v j x j displaystyle v sum j v j frac partial partial x j nbsp bzw w i w i y i displaystyle w sum i w i frac partial partial y i nbsp dd Wird weiter die Abbildung F M N displaystyle F colon M to N nbsp durch die Funktionen f 1 x 1 x m f n x 1 x m displaystyle f 1 x 1 dots x m dots f n x 1 dots x m nbsp dargestellt so gilt w i j f i x j v j displaystyle w i sum j frac partial f i partial x j v j nbsp dd Pushforward im euklidischen Raum BearbeitenLiegt der Spezialfall F R m R n displaystyle F colon mathbb R m rightarrow mathbb R n nbsp vor so stellt F displaystyle F nbsp nichts anderes als die totale Ableitung D F p R m R n displaystyle DF p colon mathbb R m rightarrow mathbb R n nbsp dar wobei der euklidische Raum in naturlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird die Unterscheidung zwischen Richtungsableitung und totaler Ableitung spielt hier keine Rolle da die Funktion bereits als hinreichend glatt vorausgesetzt ist Oft wird der Tangentialraum T p R m displaystyle T p mathbb R m nbsp des euklidischen Raums R m displaystyle mathbb R m nbsp im Punkt p R m displaystyle p in mathbb R m nbsp mit p R m displaystyle p times mathbb R m nbsp identifiziert das Tangentialbundel T R m displaystyle T mathbb R m nbsp also mit R m R m displaystyle mathbb R m times mathbb R m nbsp In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung F p v F p D F p v displaystyle F ast colon p v mapsto F p DF p v nbsp Eigenschaften BearbeitenFur den Pushforward einer Verkettung G F M P displaystyle G circ F colon M to P nbsp zweier Abbildungen F M N displaystyle F colon M to N nbsp und G N P displaystyle G colon N to P nbsp gilt die Kettenregel G F G F displaystyle G circ F ast G ast circ F ast nbsp bzw punktweise G F p G F p F p displaystyle G circ F ast p G ast F p circ F ast p nbsp Literatur BearbeitenJohn M Lee Introduction to Smooth Manifolds Graduate Texts in Mathematics 218 Springer Verlag New York NY u a 2003 ISBN 0 387 95448 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pushforward amp oldid 199532880
