In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, bezeichnet man Abbildungen als Derivationen, wenn sie eine bestimmte Funktionalgleichung erfüllen. Diese Gleichung wird als Leibniz-Regel bezeichnet und erinnert an die Produktregel aus der Differentialrechnung. Tatsächlich ist der Begriff der Derivation eine Abstraktion der Ableitung in den Kontext der Algebra. Eine Algebra über einem kommutativen Ring zusammen mit einer Derivation wird auch Differentialalgebra genannt.
Definition Bearbeiten
Es sei ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise ein Körper wie oder . Außerdem sei eine -Algebra. Eine (-lineare) Derivation (auch -Derivation) von ist eine -lineare Abbildung , die
erfüllt. Die Eigenschaft -linear besagt, dass für alle und die Gleichungen
und
gelten. Eine Algebra zusammen mit einer Derivation wird Differentialalgebra genannt. Die Definition schließt Ringe ein, indem man sie als -Algebren auffasst.
Bildet in einen Modul oder Bimodul ab, so kann man die Definition analog angeben.
Eigenschaften Bearbeiten
Im Folgenden sei weiterhin eine Derivation.
- Ist eine Algebra mit Einselement , so gilt . Damit gilt auch für alle .
- Der Kern einer Derivation ist eine Unteralgebra.
- Die Menge der Derivationen von mit Werten in bildet mit dem Kommutator eine Lie-Algebra: Sind und Derivationen, so auch
- Die Verkettung einer Derivation mit sich selbst ist keine Derivation. Die Abbildung
- Für ein Element ist , , eine Derivation. Derivationen dieses Typs heißen innere Derivationen. Die Hochschild-Kohomologie ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.
- In einer kommutativen Algebra gilt für alle und alle nichtnegativen ganzen Zahlen .
Beispiele Bearbeiten
- Die Ableitung reeller Funktionen ist eine Derivation. Dies besagt die Produktregel. Aus der Definition der Derivation und aus dem Abschnitt über die Eigenschaften von Derivationen sieht man, dass sich auch die Faktorregel, die Summenregel, die Potenzregel und die Produktregel für höhere Ableitungen einer Funktion auf Derivationen übertragen.
- Sei die Algebra der formalen Potenzreihen. Dann ist die formale Ableitung
- Sei eine Mannigfaltigkeit. Dann ist die Cartan-Ableitung eine -lineare Derivation von mit Werten im Raum der 1-Formen auf .
- Eine der Umformulierungen der Jacobi-Identität für Lie-Algebren besagt, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert:
Derivationen und Kähler-Differentiale Bearbeiten
Per definitionem werden -lineare Derivationen einer kommutativen Algebra durch den Modul der Kähler-Differentiale klassifiziert, d. h., es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den -linearen Derivationen von mit Werten in einem -Modul und den -linearen Abbildungen . Jede Derivation entsteht als Verkettung der universellen Derivation mit einer -linearen Abbildung .
Antiderivationen Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Ist eine - oder -graduierte -Algebra, so heißt eine -lineare graduierte Abbildung eine Antiderivation, wenn
für alle homogenen Elemente gilt; dabei bezeichnet den Grad von .
Beispiele Bearbeiten
- Die äußere Ableitung von Differentialformen ist eine Antiderivation:
Literatur Bearbeiten
- Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-40388-3, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Robert Berger: Differentiale höherer Ordnung und Körpererweiterungen bei Primzahlcharakteristik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-99905-5, S. 4. (books.google.com)
- Thierry Vialar. Handbook of Mathematics. BoD - Books on Demand, 2016, ISBN 978-2-9551990-0-8, S. 714. (books.google.com)
- Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules. Cambridge University Press, 2006, ISBN 0-521-68860-4, S. 147. (books.google.com)
- Nathan Jacobson: Lie Algebras. Courier Corporation, 1979, ISBN 0-486-63832-4, S. 8. (books.google.com)