Adjungierte Darstellung In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie Gruppen und Lie Algebren eine w

Adjungierte Darstellung

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren Bearbeiten

Eine Lie-Gruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe identifiziert werden:

Adjungierte Darstellungen Bearbeiten

Sei eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra .

Konjugation Bearbeiten

Definiere die Konjugation mit einem Element durch

und definiere außerdem

Ad-Funktion Bearbeiten

Definition Ad(g)

Für jedes definieren wir die Ableitung von im Punkt , dem neutralen Element der Gruppe, durch

bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle .

Das ist eine lineare Abbildung vom Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elementes in sich selber

da und somit ist ein Element aus .

Definition Ad

Die adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe

welche ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird.

ad-Funktion Bearbeiten

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von

welche ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Dies entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer

für alle .

Häufig nützt man auch folgende Notation

und

Weil es nach den Lie’schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite Beschreibung Bearbeiten

Für Matrizengruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von , lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von mit einer Teilmenge von gilt

für alle .

Literatur Bearbeiten

Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. ISBN 0-8176-4259-5

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 09:44 am

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie Gruppen und Lie Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie Darstellungstheorie und Mathematischer Physik Inhaltsverzeichnis 1 Lie Gruppen und Lie Algebren 2 Adjungierte Darstellungen 2 1 Konjugation 2 2 Ad Funktion 2 3 ad Funktion 3 Explizite Beschreibung 4 LiteraturLie Gruppen und Lie Algebren Bearbeiten Hauptartikel Lie Gruppe Eine Lie Gruppe G displaystyle G nbsp ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit die zusatzlich die Struktur einer Gruppe besitzt so dass die Gruppenverknupfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind Die Lie Algebra einer Lie Gruppe ist der Vektorraum der links invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie Klammer Die Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie Gruppe G displaystyle G nbsp identifiziert werden g T e G displaystyle mathfrak g simeq T e G nbsp Adjungierte Darstellungen BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine Lie Gruppe mit Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp Konjugation Bearbeiten Definiere die Konjugation mit einem Element g G displaystyle g in G nbsp durch c g G G h g h g 1 h G displaystyle begin aligned c g colon G amp to G h amp mapsto ghg 1 quad forall h in G end aligned nbsp und definiere ausserdem C G Aut G g c g displaystyle begin aligned C colon G amp to operatorname Aut G g amp mapsto c g end aligned nbsp Ad Funktion Bearbeiten Definition Ad g Fur jedes g G displaystyle g in G nbsp definieren wir die Ableitung von c g displaystyle c g nbsp im Punkt e displaystyle e nbsp dem neutralen Element der Gruppe durch Ad g T e G T c g e G x Ad g x D e c g x x T e G displaystyle begin aligned operatorname Ad g T e G amp to T c g e G x amp mapsto operatorname Ad g x D e c g x quad x in T e G end aligned nbsp D e displaystyle D e nbsp bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle e displaystyle e nbsp Das ist eine lineare Abbildung vom Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elementes in sich selber g T e G T c g e G T e G g displaystyle mathfrak g T e G rightarrow T c g e G T e G mathfrak g nbsp da c g e e displaystyle c g e e nbsp und somit ist Ad g displaystyle operatorname Ad g nbsp ein Element aus GL g displaystyle operatorname GL mathfrak g nbsp Definition AdDie adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe Ad G GL g g Ad g g G displaystyle begin aligned operatorname Ad colon G amp rightarrow operatorname GL mathfrak g g amp mapsto operatorname Ad g quad forall g in G end aligned nbsp welche ein Lie Gruppen Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird ad Funktion Bearbeiten Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von Ad displaystyle operatorname Ad nbsp ad g g l g x ad x D e Ad x displaystyle begin aligned operatorname ad colon mathfrak g amp to mathfrak gl mathfrak g x amp mapsto operatorname ad x D e operatorname Ad x end aligned nbsp welche ein Lie Algebren Homomorphismus ist Dies entspricht dem Anwenden der Lie Klammer ad X Y X Y displaystyle operatorname ad X Y left X Y right nbsp fur alle X Y g displaystyle X Y in mathfrak g nbsp Haufig nutzt man auch folgende Notation ad x ad x displaystyle operatorname ad colon x mapsto operatorname ad x nbsp und ad X Y X Y X Y g displaystyle operatorname ad X Y left X Y right qquad X Y in mathfrak g nbsp Weil es nach den Lie schen Satzen zu jeder endlich dimensionalen reellen Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhangende Lie Gruppe G displaystyle G nbsp mit T e G g displaystyle T e G mathfrak g nbsp gibt lasst sich die adjungierte Darstellung ad displaystyle operatorname ad nbsp fur jede solche Lie Algebra definieren Explizite Beschreibung BearbeitenFur Matrizengruppen d h abgeschlossene Untergruppen von GL n C displaystyle operatorname GL n mathbb C nbsp lasst sich auch die adjungierte Darstellung der Lie Gruppe explizit beschreiben nach der kanonischen Identifizierung von g displaystyle mathfrak g nbsp mit einer Teilmenge von g l n C Mat n C displaystyle mathfrak gl n mathbb C simeq operatorname Mat n mathbb C nbsp gilt Ad g X g X g 1 displaystyle operatorname Ad g X gXg 1 nbsp fur alle g G X g displaystyle g in G X in mathfrak g nbsp Literatur BearbeitenArvanitoyeorgos Andreas An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces Translated from the 1999 Greek original and revised by the author Student Mathematical Library 22 American Mathematical Society Providence RI 2003 ISBN 0 8218 2778 2 Hall Brian C Lie groups Lie algebras and representations An elementary introduction Graduate Texts in Mathematics 222 Springer Verlag New York 2003 ISBN 0 387 40122 9 Knapp Anthony W Lie groups beyond an introduction Second edition Progress in Mathematics 140 Birkhauser Boston Inc Boston MA 2002 ISBN 0 8176 4259 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjungierte Darstellung amp oldid 238765698