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Konjugation Gruppentheorie Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation die eine Gruppe in Konjugationsklassen ze

Konjugation (Gruppentheorie)

Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.

Konjugationsoperation Bearbeiten

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

oder als Rechtsoperation

definiert ist.

Für die Rechtsoperation ist die exponentielle Schreibweise üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung . Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente und einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element gibt, sodass ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

  • Jedes Element ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
  • Ist konjugiert zu , so ist auch konjugiert zu (Symmetrie).
  • Ist konjugiert zu und konjugiert zu , dann ist auch konjugiert zu (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von :

Dabei kann als ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

eines Elementes ist der Zentralisator von .

Zwei Untergruppen und einer Gruppe heißen konjugiert zueinander, wenn es ein gibt mit .

Eine Untergruppe einer Gruppe ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente aus und alle Elemente aus das Produkt wieder in liegt:

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

Zwei Gruppenwirkungen und heißen konjugiert zueinander, wenn und als Untergruppen der Automorphismengruppe konjugiert zueinander sind.

Konjugation Bearbeiten

Die Konjugation mit ist die Abbildung

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von . Automorphismen von , die als Konjugation mit einem Element von geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung , bei der das „int“ für „interior“ steht. Die inneren Automorphismen bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von . Als Kern des Gruppenhomomorphismus

erhält man das Zentrum von . Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung also einen Isomorphismus von nach .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239
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Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten sodass eine nahere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht abelscher Gruppen ermoglicht Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensachlich da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet Konjugationsoperation BearbeitenDie Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst die entweder als Linksoperation g h g h g 1 displaystyle g h mapsto ghg 1 nbsp oder als Rechtsoperation g h h 1 g h displaystyle g h mapsto h 1 gh nbsp definiert ist Fur die Rechtsoperation g h h 1 g h displaystyle g h mapsto h 1 gh nbsp ist die exponentielle Schreibweise h 1 g h g h displaystyle h 1 gh g h nbsp ublich In dieser Notation erfullt die Konjugationsoperation die Beziehung x g h x g h displaystyle x g h x gh nbsp Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert Zwei Elemente h 1 displaystyle h 1 nbsp und h 2 displaystyle h 2 nbsp einer Gruppe G heissen zueinander konjugiert wenn es ein Element g G displaystyle g in G nbsp gibt sodass h 1 g h 2 g 1 displaystyle h 1 gh 2 g 1 nbsp ist Die Konjugiertheit ist eine Aquivalenzrelation Sie besitzt also folgende Eigenschaften Jedes Element h displaystyle h nbsp ist konjugiert zu sich selbst Reflexivitat Ist h 1 displaystyle h 1 nbsp konjugiert zu h 2 displaystyle h 2 nbsp so ist auch h 2 displaystyle h 2 nbsp konjugiert zu h 1 displaystyle h 1 nbsp Symmetrie Ist h 1 displaystyle h 1 nbsp konjugiert zu h 2 displaystyle h 2 nbsp und h 2 displaystyle h 2 nbsp konjugiert zu h 3 displaystyle h 3 nbsp dann ist auch h 1 displaystyle h 1 nbsp konjugiert zu h 3 displaystyle h 3 nbsp Transitivitat Alle Elemente die zueinander konjugiert sind bilden jeweils eine Aquivalenzklasse die sogenannte Konjugationsklasse von h displaystyle h nbsp G h g h g 1 g G displaystyle G cdot h left ghg 1 mid g in G right nbsp Dabei kann als h displaystyle h nbsp ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewahlt werden Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation Der Stabilisator Z G x g G x g x g 1 displaystyle Z G x left g in G mid x gxg 1 right nbsp eines Elementes x displaystyle x nbsp ist der Zentralisator von x displaystyle x nbsp Zwei Untergruppen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp heissen konjugiert zueinander wenn es ein g G displaystyle g in G nbsp gibt mit V g U g 1 displaystyle V gUg 1 nbsp Eine Untergruppe N displaystyle N nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp ist invariant unter Konjugation wenn fur alle Elemente h displaystyle h nbsp aus N displaystyle N nbsp und alle Elemente g displaystyle g nbsp aus G displaystyle G nbsp das Produkt g h g 1 displaystyle ghg 1 nbsp wieder in N displaystyle N nbsp liegt g N g 1 N displaystyle gNg 1 N nbsp Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe Zwei Gruppenwirkungen G 1 X X displaystyle G 1 times X to X nbsp und G 2 X X displaystyle G 2 times X to X nbsp heissen konjugiert zueinander wenn G 1 displaystyle G 1 nbsp und G 2 displaystyle G 2 nbsp als Untergruppen der Automorphismengruppe A u t X displaystyle Aut X nbsp konjugiert zueinander sind Konjugation BearbeitenDie Konjugation mit g displaystyle g nbsp ist die Abbildung int g G G h g h g 1 displaystyle operatorname int g colon G rightarrow G quad h mapsto ghg 1 nbsp Sie entsteht aus der Konjugationsoperation indem g displaystyle g nbsp festgehalten wird Die Konjugation ist ein Automorphismus von G displaystyle G nbsp Automorphismen von G displaystyle G nbsp die als Konjugation mit einem Element von G displaystyle G nbsp geschrieben werden konnen werden als innere Automorphismen bezeichnet Daher kommt auch die Bezeichnung int g displaystyle operatorname int g nbsp bei der das int fur interior steht 1 Die inneren Automorphismen Inn G displaystyle operatorname Inn G nbsp bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von G displaystyle G nbsp Als Kern des Gruppenhomomorphismus T G Inn G g int g displaystyle T colon G rightarrow operatorname Inn G quad g mapsto operatorname int g nbsp erhalt man das Zentrum Z G displaystyle Z G nbsp von G displaystyle G nbsp Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung T displaystyle T nbsp also einen Isomorphismus von G Z G displaystyle G Z G nbsp nach Inn G displaystyle operatorname Inn G nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Algebra Springer 2004 ISBN 3 540 40388 4 S 239 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konjugation Gruppentheorie amp oldid 226536437