Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch.
Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation.
Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Formale Definition Bearbeiten
Ist eine Menge und eine zweistellige Relation auf , dann heißt symmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:
Beispiele Bearbeiten
Gleichheit der reellen Zahlen Bearbeiten
Die gewöhnliche Gleichheit auf den reellen Zahlen ist symmetrisch, denn aus folgt . Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
Die Ungleichheitsrelation auf den reellen Zahlen ist zwar keine Äquivalenzrelation, aber ebenfalls symmetrisch, denn aus folgt .
Ähnlichkeit von Dreiecken Bearbeiten
Ist das Dreieck ABC zum Dreieck DEF ähnlich, so ist das Dreieck DEF zum Dreieck ABC ähnlich. Die Relation der Ähnlichkeit von Dreiecken ist also symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
Kongruenz modulo m Bearbeiten
Eine ganze Zahl a heißt zu der ganzen Zahl b kongruent modulo m (mit der ganzen Zahl m ≠ 0, Modul genannt), wenn sowohl a als auch b bei der Division durch m denselben Rest haben. Beispielsweise ist die Zahl 11 zur Zahl 18 kongruent modulo 7, da sich bei der Division dieser beiden Zahlen durch 7 jeweils der Rest 4 ergibt. Diese Relation ist symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
Ordnung der reellen Zahlen Bearbeiten
Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist nicht symmetrisch, denn aus folgt nicht . Gleiches gilt für die Kleiner-Gleich-Relation.
Darstellung als gerichteter Graph Bearbeiten
Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn a R b gilt.
Die Symmetrie von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil zwischen verschiedenen Knoten a und b des Graphen gibt, dann gibt es gleichzeitig einen Pfeil . (Einen Graphen mit dieser Eigenschaft nennt man auch einen symmetrischen Graphen.)
Pfeile erfüllen dieses Kriterium automatisch.
Eigenschaften Bearbeiten
- Mit Hilfe der konversen Relation lässt sich die Symmetrie einer Relation charakterisieren durch
- Ist die Relation symmetrisch, dann gilt dies auch für die komplementäre Relation . Diese ist definiert durch
- Sind die Relationen und symmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge und ihre Vereinigungsmenge . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt und die Vereinigung einer beliebigen (nichtleeren) Familie von symmetrischen Relationen verallgemeinern. Damit bildet einen topologischen Raum mit den symmetrischen Relationen als offenen Mengen. Darüber hinaus ist die Menge der symmetrischen Relationen dann auch eine Mengenalgebra über .
- Die kleinste symmetrische Relation , die eine gegebene Relation umfasst, wird der symmetrische Abschluss von genannt. Dieser lässt sich leicht angeben als
- Zu einer beliebigen zweistelligen Relation auf einer Menge lassen sich die Potenzen bezüglich der Verkettung von Relationen bilden. Ist nun symmetrisch, dann gilt dies auch für alle Potenzen .
- Eine Relation (auf einer endlichen Menge) ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem Graphen zugeordnete Adjazenzmatrix symmetrisch (zur Hauptdiagonale) ist.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Michaela Geierhos: Merkblatt zur Vorlesung „Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik“ SoSe 2010. LMU, Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung Studiengang Computerlinguistik, abgerufen am 21. November 2022.