In der Mathematik ist Mengen Algebra ein Grundbegriff der Masstheorie Er beschreibt ein nicht leeres Mengensystem das vereinigungs und komplementstabil ist Auch das Teilgebiet der Mathematik das vom Rechnen mit Mengen handelt wird als Mengenalgebra bezeichnet Ahnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra der fur ein Teilgebiet der Mathematik und auch fur eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra also einer anderen speziellen algebraischen Struktur Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Aquivalente Definitionen 5 Operationen mit Algebren 5 1 Schnitte von Algebren 5 2 Vereinigungen von Algebren 5 3 Produkte von Algebren 5 4 Abweichende Notationen 5 5 Spur einer Algebra 6 Die erzeugte Algebra 7 Beziehung zu verwandten Strukturen 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei W displaystyle Omega nbsp eine beliebige Menge Ein System A displaystyle mathcal A nbsp von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp heisst eine Mengenalgebra oder Algebra uber W displaystyle Omega nbsp wenn folgende Eigenschaften erfullt sind A displaystyle mathcal A neq emptyset nbsp A displaystyle mathcal A nbsp ist nicht leer A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A cup B in mathcal A nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Vereinigung A A A c A displaystyle A in mathcal A Rightarrow A mathrm c in mathcal A nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Komplementbildung A c W A displaystyle A mathrm c Omega setminus A nbsp Beispiele BearbeitenFur jede beliebige Menge W displaystyle Omega nbsp ist W displaystyle emptyset Omega nbsp die kleinste und die Potenzmenge P W displaystyle mathcal P Omega nbsp die grosste mogliche Mengenalgebra Jede s Algebra ist eine Mengenalgebra Fur jede Menge W displaystyle Omega nbsp ist das Mengensystem A A W A e n d l i c h o d e r A c e n d l i c h displaystyle mathcal A A subseteq Omega mid A mathrm endlich oder A mathsf c mathrm endlich nbsp eine Mengenalgebra Wenn W displaystyle Omega nbsp unendlich ist dann ist A displaystyle mathcal A nbsp keine s Algebra Eigenschaften Bearbeiten nbsp Dieser Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Es fehlt ein Beleg fur W displaystyle bigcap emptyset Omega nbsp Jede Mengenalgebra A displaystyle mathcal A nbsp uber W displaystyle Omega nbsp enthalt immer W displaystyle Omega nbsp und auch die leere Menge displaystyle emptyset nbsp denn A displaystyle mathcal A nbsp enthalt mindestens ein Element A displaystyle A nbsp und damit sind W A W A A A c A displaystyle Omega A cup Omega setminus A A cup A mathrm c in mathcal A nbsp sowie W W W c A displaystyle emptyset Omega setminus Omega Omega mathrm c in mathcal A nbsp Das 6 Tupel A W c displaystyle mathcal A cup emptyset cap Omega mathrm c nbsp mit der Mengenalgebra A P W displaystyle mathcal A subseteq mathcal P Omega nbsp ist eine boolesche Algebra im Sinne der Verbandstheorie wobei A B A c B c c A displaystyle A cap B A mathrm c cup B mathrm c mathrm c in mathcal A nbsp fur alle A B A displaystyle A B in mathcal A nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Durchschnitt Die leere Menge displaystyle emptyset nbsp entspricht dabei dem Nullelement und W displaystyle Omega nbsp dem Einselement Ist umgekehrt A P W displaystyle mathcal A subseteq mathcal P Omega nbsp ein Mengensystem so dass A W c displaystyle mathcal A cup emptyset cap Omega mathrm c nbsp eine boolesche Algebra ist dann ist A displaystyle mathcal A nbsp offensichtlich auch eine Mengenalgebra Aus der Vereinigungs sowie Durchschnittsstabilitat folgt jeweils induktiv dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra A displaystyle mathcal A nbsp in ihr enthalten ist d h fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt A 1 A n A A 1 A n A displaystyle A 1 dots A n in mathcal A Rightarrow A 1 cup dots cup A n in mathcal A nbsp und A 1 A n A displaystyle A 1 cap dots cap A n in mathcal A nbsp A displaystyle bigcup emptyset emptyset in mathcal A nbsp und W A displaystyle bigcap emptyset Omega in mathcal A nbsp Aquivalente Definitionen BearbeitenWenn A displaystyle mathcal A nbsp ein System von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp ist und wenn A B displaystyle A B nbsp Mengen sind dann sind wegen A B A A B displaystyle A cap B A setminus A setminus B nbsp und A B A A B displaystyle A setminus B A setminus A cap B nbsp folgende zwei Aussagen aquivalent A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A setminus B in mathcal A nbsp A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A cap B in mathcal A nbsp und falls B A displaystyle B subseteq A nbsp auch A B A displaystyle A setminus B in mathcal A nbsp Bezeichnet daruber hinaus A B A B B A displaystyle A triangle B A setminus B cup B setminus A nbsp die symmetrische Differenz von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp so sind wegen A B A B c displaystyle A setminus B A cap B mathrm c nbsp und A B A A B displaystyle A setminus B A triangle A cap B nbsp sowie A B A c B c c displaystyle A cup B A mathrm c cap B mathrm c mathrm c nbsp aquivalent A displaystyle mathcal A nbsp ist eine Mengenalgebra A displaystyle mathcal A nbsp ist ein Mengenverband und es gilt A A A c A displaystyle A in mathcal A Rightarrow A mathrm c in mathcal A nbsp A W c displaystyle mathcal A cup emptyset cap Omega mathrm c nbsp ist eine boolesche Algebra A displaystyle mathcal A nbsp ist ein Mengenring und W A displaystyle Omega in mathcal A nbsp A displaystyle mathcal A nbsp ist ein Mengenhalbring mit W A displaystyle Omega in mathcal A nbsp und es gilt A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A cup B in mathcal A nbsp A W displaystyle mathcal A triangle cap Omega nbsp ist ein unitarer Ring im Sinne der Algebra mit Addition displaystyle triangle nbsp Multiplikation displaystyle cap nbsp und Eins W displaystyle Omega nbsp A W displaystyle mathcal A triangle cap Omega nbsp ist ein boolescher Ring A W displaystyle mathcal A triangle odot cap Omega nbsp mit der Skalarmultiplikation F 2 A A 0 A 1 A A displaystyle odot colon mathbb F 2 times mathcal A to mathcal A 0 A mapsto emptyset 1 A mapsto A nbsp ist eine unitare Algebra im Sinne der Algebra uber dem Korper F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp W A displaystyle Omega in mathcal A nbsp und es gilt A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A setminus B in mathcal A nbsp A displaystyle mathcal A neq emptyset nbsp und es gilt A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A setminus B in mathcal A nbsp und A c A displaystyle A mathrm c in mathcal A nbsp A displaystyle mathcal A neq emptyset nbsp und es gilt A B A A B A displaystyle A B in mathcal A Rightarrow A cap B in mathcal A nbsp und A c A displaystyle A mathrm c in mathcal A nbsp Operationen mit Algebren BearbeitenSchnitte von Algebren Bearbeiten Schnitte von zwei Algebren A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp und A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp also das Mengensystem A 1 A 2 A W A A 1 und A A 2 displaystyle mathcal A 1 cap mathcal A 2 A subseteq Omega A in mathcal A 1 text und A in mathcal A 2 nbsp sind stets wieder eine Algebra Denn ist exemplarisch A A 1 A 2 displaystyle A in mathcal A 1 cap mathcal A 2 nbsp so ist W A displaystyle mathcal Omega setminus A nbsp in A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp da A displaystyle A nbsp auch in A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp ist W A displaystyle mathcal Omega setminus A nbsp in A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp da A displaystyle A nbsp auch in A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp ist Somit ist W A displaystyle mathcal Omega setminus A nbsp auch in A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 cap mathcal A 2 nbsp der Schnitt der Mengensysteme ist also komplementstabil Die Stabilitat bezuglich der anderen Mengenoperationen folgt analog Die Aussage gilt ebenso fur den Schnitt einer beliebigen Anzahl von Algebren da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser Algebren ausweiten lasst Somit gilt ist I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge und sind A i displaystyle mathcal A i nbsp Algebren die alle auf derselben Grundmenge W displaystyle Omega nbsp definiert sind so ist der Schnitt aller dieser Algebren wieder eine Algebra A I displaystyle mathcal A I nbsp A I i I A i displaystyle A I bigcap i in I mathcal A i nbsp Vereinigungen von Algebren Bearbeiten Die Vereinigung zweier Algebren A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp und A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp also das Mengensystem A 1 A 2 A W A A 1 oder A A 2 displaystyle mathcal A 1 cup mathcal A 2 A subseteq Omega A in mathcal A 1 text oder A in mathcal A 2 nbsp ist im Allgemeinen keine Algebra mehr Betrachtet man beispielsweise die beiden Algebren A 1 1 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal A 1 emptyset 1 2 3 1 2 3 nbsp sowie A 2 1 2 3 3 1 2 displaystyle mathcal A 2 emptyset 1 2 3 3 1 2 nbsp auf W 1 2 3 displaystyle Omega 1 2 3 nbsp so ist A 1 A 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 displaystyle mathcal A 1 cup mathcal A 2 emptyset 1 2 3 1 2 2 3 1 3 nbsp Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil da es 1 3 1 3 displaystyle 1 cup 3 1 3 nbsp nicht enthalt und somit auch keine Algebra Produkte von Algebren Bearbeiten nbsp Dieser Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Die Definition von M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 boxtimes mathcal M 2 nbsp ist unbelegt und unvollstandig Siehe auch Diskussion Sind M 1 displaystyle mathcal M 1 nbsp und M 2 displaystyle mathcal M 2 nbsp Mengensysteme auf W 1 displaystyle Omega 1 nbsp und W 2 displaystyle Omega 2 nbsp und wird das Produkt von M 1 displaystyle mathcal M 1 nbsp und M 2 displaystyle mathcal M 2 nbsp definiert als M 1 M 2 A B W 1 W 2 A M 1 B M 2 displaystyle mathcal M 1 star mathcal M 2 A times B subseteq Omega 1 times Omega 2 A in mathcal M 1 B in mathcal M 2 nbsp so ist das Produkt von zwei Algebren im Allgemeinen keine Algebra auf W 1 W 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 nbsp mehr sondern lediglich ein Halbring Denn betrachtet man die Algebra A 1 2 1 2 displaystyle mathcal A emptyset 1 2 1 2 nbsp uber W 1 2 displaystyle Omega 1 2 nbsp so enthalt das Mengensystem A A displaystyle mathcal A star mathcal A nbsp sowohl die Mengen M 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 displaystyle M 1 1 2 times 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 nbsp als auch M 2 2 2 2 2 displaystyle M 2 2 times 2 2 2 nbsp Die Menge M 1 M 2 M 2 c 1 1 1 2 2 1 displaystyle M 1 setminus M 2 M 2 mathrm c 1 1 1 2 2 1 nbsp ist jedoch nicht in enthalten da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus A displaystyle mathcal A nbsp darstellen lasst Somit ist das Produkt der Mengensysteme nicht komplementstabil kann folglich auch keine Algebra sein Definiert man das Produkt von zwei Mengensystemen jedoch als M 1 M 2 i 1 n A i B i A i M 1 B i M 2 displaystyle mathcal M 1 boxtimes mathcal M 2 Biggl bigcup i 1 n A i times B i A i in mathcal M 1 B i in mathcal M 2 Biggl nbsp so ist das Produkt zweier Algebren wieder eine Algebra Sie wird unter anderem auch dazu verwendet die Produkt s Algebra zu definieren Zu beachten ist dass M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 star mathcal M 2 nbsp hier nicht das gewohnliche kartesische Produkt M 1 M 2 A B A M 1 B M 2 displaystyle mathcal M 1 times mathcal M 2 A B mid A in mathcal M 1 B in mathcal M 2 nbsp sondern ein Mengensystem kartesischer Produkte A B displaystyle A times B nbsp bezeichnet In der Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die vom Mengensystem M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 star mathcal M 2 nbsp erzeugte s displaystyle sigma nbsp Algebra s M 1 M 2 displaystyle sigma mathcal M 1 star mathcal M 2 nbsp benotigt die meistens mit M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 otimes mathcal M 2 nbsp bezeichnet wird und Produkt s Algebra genannt wird 1 2 3 Abweichende Notationen Bearbeiten Abweichend von dieser Notation wird die Produkt s Algebra M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 otimes mathcal M 2 nbsp auch mit M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 times mathcal M 2 nbsp bezeichnet 4 5 6 Auch wird manchmal das Mengensystem M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 star mathcal M 2 nbsp in abweichender Notation mit M 1 M 2 displaystyle mathcal M 1 times mathcal M 2 nbsp bezeichnet 7 In diesen beiden Fallen besteht eine Verwechselungsmoglichkeit mit dem gewohnlichen kartesischen Produkt Spur einer Algebra Bearbeiten Die Spur einer Algebra A displaystyle mathcal A nbsp bezuglich einer Menge U displaystyle U nbsp also das Mengensystem A U A U A A displaystyle mathcal A U A cap U A in mathcal A nbsp ist immer eine Algebra unabhangig von der Wahl von U displaystyle U nbsp Die erzeugte Algebra BearbeitenDa beliebige Schnitte von Algebren wieder Algebren sind lasst sich der Hullenoperator A E E A i A i Algebra A i displaystyle mathcal A mathcal E bigcap mathcal E subseteq mathcal A i atop mathcal A i text Algebra mathcal A i nbsp definieren Sie ist per Definition die bezuglich Mengeninklusion kleinste Algebra die das Mengensystem E displaystyle mathcal E nbsp enthalt und wird die von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte Algebra genannt 8 Beziehung zu verwandten Strukturen Bearbeiten nbsp Hierarchie der in der Masstheorie verwendeten MengensystemeDie Mengenalgebren sind genau die Mengenringe die die Grundmenge W displaystyle Omega nbsp enthalten Fasst man Mengenringe als Ring im Sinne der Algebra mit der symmetrischen Differenz als Addition und dem Durchschnitt als Multiplikation auf so sind die Mengenalgebren gerade die unitaren Ringe d h mit Eins Element dieser Gestalt Da Mengenalgebren Ringe sind sind sie automatisch auch Mengenverbande und Halbringe Wenn eine Mengenalgebra sogar bezuglich der Vereinigung abzahlbar unendlich vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist dann erhalt man eine s Mengen Algebra Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten s displaystyle sigma nbsp Algebra Jede Algebra ist eine Semialgebra sowohl im engeren als auch im weiteren Sinn Literatur BearbeitenHeinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 uberarb Auflage De Gruyter Berlin New York 1992 ISBN 3 11 013626 0 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Ernst Henze Einfuhrung in die Masstheorie 2 uberarb Auflage Bibliographisches Institut Mannheim Zurich 1985 ISBN 3 411 03102 6 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie Achte erweiterte und aktualisierte Auflage Springer Spektrum Berlin 2018 ISBN 978 3 662 57938 1 S 164 doi 10 1007 978 3 662 57939 8 Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability Probability Theory and Stochastic Modelling Band 99 3 Auflage Springer Cham 2021 ISBN 978 3 03061870 4 S 2 doi 10 1007 978 3 030 61871 1 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 39 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Patrick Billingsley Probability and Measure 3 Auflage Wiley New York 1995 ISBN 0 471 00710 2 S 231 Galen R Shorack Probability for Statisticians Springer Texts in Statistics 2 Auflage Springer Cham 2017 ISBN 978 3 319 52206 7 S 25 doi 10 1007 978 3 319 52207 4 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Produktmass 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 S 310 A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit Hochschulbucher fur Mathematik Band 91 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00195 9 S 158 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebra Mengensystem amp oldid 239507456
