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Monotone Klasse Eine monotone Klasse 1 auch monotones System genannt 2 ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften

Monotone Klasse

Eine monotone Klasse, auch monotones System genannt, ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften, welches in der Maßtheorie verwendet wird, um darauf weitere, komplexere Mengensysteme aufzubauen.

Definition Bearbeiten

Sei eine nicht leere Menge. Eine nicht leere Teilmenge von heißt monotone Klasse,

wenn der Grenzwert jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus wieder in enthalten ist.

Voll ausgeschrieben bedeutet dies:

  • sind Mengen aus mit
  • sind Mengen aus mit

Erzeugte monotone Klasse Bearbeiten

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

Schnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen. Somit lässt sich für ein beliebiges Mengensystem die durch erzeugte monotone Klasse definieren als

Dies lässt sich als Hüllenoperator interpretieren.

Beziehung zu anderen Mengensystemen Bearbeiten

  • Jede monotone Klasse, die die Obermenge enthält und für die gilt: sind in der monotonen Klasse enthalten, so ist auch in der monotonen Klasse enthalten, ist ein Dynkin-System.
  • Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten σ-Algebra.

Ringe und σ-Ringe Bearbeiten

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen im Ring enthalten, so ist auch

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten, dieses ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 23.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 21.

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine monotone Klasse 1 auch monotones System genannt 2 ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften welches in der Masstheorie verwendet wird um darauf weitere komplexere Mengensysteme aufzubauen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erzeugte monotone Klasse 3 Beziehung zu anderen Mengensystemen 3 1 Ringe und s Ringe 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 Siehe auchDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine nicht leere Menge Eine nicht leere Teilmenge M displaystyle mathcal M nbsp von P X displaystyle P X nbsp heisst monotone Klasse wenn der Grenzwert jeder monoton auf oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus M displaystyle mathcal M nbsp wieder in M displaystyle mathcal M nbsp enthalten ist Voll ausgeschrieben bedeutet dies sind A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp Mengen aus M displaystyle mathcal M nbsp mitA 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 subset A 2 subset A 3 subset cdots nbsp dann ist auch lim n A n n 1 A n displaystyle lim n to infty A n bigcup n 1 infty A n nbsp in M displaystyle mathcal M nbsp sind A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp Mengen aus M displaystyle mathcal M nbsp mitA 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 supset A 2 supset A 3 supset cdots nbsp dann ist auch lim n A n n 1 A n displaystyle lim n to infty A n bigcap n 1 infty A n nbsp in M displaystyle mathcal M nbsp Erzeugte monotone Klasse Bearbeiten nbsp Hierarchie der in der Masstheorie verwendeten MengensystemeSchnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen Somit lasst sich fur ein beliebiges Mengensystem K displaystyle K nbsp die durch K displaystyle K nbsp erzeugte monotone Klasse definieren als M K M ist Monotone Klasse K M M displaystyle mathcal M K bigcap mathcal M text ist Monotone Klasse atop K subset mathcal M mathcal M nbsp Dies lasst sich als Hullenoperator interpretieren Beziehung zu anderen Mengensystemen BearbeitenJede monotone Klasse die die Obermenge X displaystyle X nbsp enthalt und fur die gilt sind B A displaystyle B subset A nbsp in der monotonen Klasse enthalten so ist auch A B displaystyle A backslash B nbsp in der monotonen Klasse enthalten ist ein Dynkin System Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten s Algebra Ringe und s Ringe Bearbeiten Jeder Ring der eine monotone Klasse ist ist ein s Ring und damit auch ein d Ring Denn sind die Mengen A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 dots nbsp im Ring enthalten so ist auch B n i 1 n A i displaystyle B n bigcup i 1 n A i nbsp aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten Die Mengen B n displaystyle B n nbsp bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge daher ist ihr Grenzwert lim n B n n 1 A n displaystyle lim n to infty B n bigcup n 1 infty A n nbsp aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten dieses ist also abgeschlossen bezuglich abzahlbaren Vereinigungen Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein s Ring Umgekehrt ist jeder s Ring aufgrund seiner Stabilitat unter abzahlbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 23 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 21 Siehe auch BearbeitenSatz uber monotone Klassen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Monotone Klasse amp oldid 187519820