Eine konvergente Mengenfolge ist eine Mengenfolge fur die der Limes superior und der Limes inferior der Mengenfolge ubereinstimmen Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Masstheorie auf Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Konvergenz monotoner Mengenfolgen 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp aus einer Grundmenge W displaystyle Omega nbsp Der Limes superior der Mengenfolge lim sup n A n n 1 m n A m displaystyle limsup n to infty A n bigcap n 1 infty left bigcup m n infty A m right nbsp ist die Menge aller Elemente aus W displaystyle Omega nbsp die in unendlich vielen A n displaystyle A n nbsp liegen Der Limes inferior der Mengenfolge lim inf n A n n 1 m n A m displaystyle liminf n to infty A n bigcup n 1 infty left bigcap m n infty A m right nbsp ist die Menge aller Elemente aus W displaystyle Omega nbsp die in fast allen d h in allen bis auf endlich vielen A n displaystyle A n nbsp liegen Die Mengenfolge heisst dann konvergent wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior ubereinstimmen also lim sup n A n lim inf n A n displaystyle limsup n to infty A n liminf n to infty A n nbsp ist lim n A n lim sup n A n lim inf n A n displaystyle lim n to infty A n limsup n to infty A n liminf n to infty A n nbsp heisst dann der Limes der Mengenfolge oder Grenzwert der Mengenfolge Man sagt dann dass die Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp gegen lim n A n displaystyle lim n to infty A n nbsp konvergiert Beispiele BearbeitenAls Beispiel betrachten wir die Mengenfolge A n 0 1 5 0 5 1 n displaystyle A n 0 1 5 0 5 1 n nbsp Fur beliebiges n displaystyle n nbsp ist immer m n A m 0 1 und m n A m 0 2 displaystyle bigcap m n infty A m 0 1 text und bigcup m n infty A m 0 2 nbsp Somit ist lim inf n A n n 1 0 1 0 1 0 2 n 1 0 2 lim sup n A n displaystyle liminf n to infty A n bigcup n 1 infty 0 1 0 1 neq 0 2 bigcap n 1 infty 0 2 limsup n to infty A n nbsp Somit stimmen Limes superior und Limes Inferior nicht uberein die Mengenfolge konvergiert also nicht Konvergenz monotoner Mengenfolgen BearbeitenMonoton fallende Mengenfolgen also solche mit A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 supset A 2 supset A 3 cdots nbsp und monoton wachsende Mengenfolgen also solche mit A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 subset A 2 subset A 3 cdots nbsp konvergieren immer Eine Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp konvergiert gegen lim n A n n 1 A n displaystyle lim n to infty A n bigcap n 1 infty A n nbsp wenn sie monoton fallend ist und gegen lim n A n n 1 A n displaystyle lim n to infty A n bigcup n 1 infty A n nbsp wenn sie monoton wachsend ist Ist A displaystyle A nbsp der Grenzwert einer monoton fallende Folge so schreibt man auch A n A displaystyle A n downarrow A nbsp Ist A displaystyle A nbsp der Grenzwert einer monoton wachsenden Folge so schreibt man auch A n A displaystyle A n uparrow A nbsp Siehe auch BearbeitenHausdorff KonvergenzLiteratur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konvergente Mengenfolge amp oldid 209171046
