In der Mathematik sind der Limes superior und der Limes inferior einer Mengenfolge Begriffe aus der Masstheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie die die Begriffe des Limes superior und Limes inferior von Zahlenfolgen und Funktionenfolgen fur Mengenfolgen verallgemeinern Sie dienen beispielsweise in der Stochastik zur Modellierung von Ereignissen die unendlich oft auftreten oder zur Definition von konvergenten Mengenfolgen Der Begriff geht auf Emile Borel zuruck Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Interpretation 4 Zusammenhang mit charakteristischen Funktionen 5 Verwendung 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp in der Obermenge W displaystyle Omega nbsp Dann heisst lim inf n A n n 1 m n A m displaystyle liminf n rightarrow infty A n bigcup n 1 infty left bigcap m n infty A m right nbsp der Limes inferior der Mengenfolge und lim sup n A n n 1 m n A m displaystyle limsup n rightarrow infty A n bigcap n 1 infty left bigcup m n infty A m right nbsp der Limes superior der Mengenfolge Alternative Schreibweisen sind lim n displaystyle varliminf n to infty nbsp fur den Limes inferior oder lim n displaystyle varlimsup n to infty nbsp fur den Limes superior Beispiel BearbeitenBetrachte als Beispiel die Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp mit A n 1 n displaystyle A n 1 n nbsp auf der Grundmenge W R displaystyle Omega mathbb R nbsp Es ist nun B n m n A m 1 n displaystyle B n bigcap m n infty A m 1 n nbsp Daraus folgt direkt lim inf n A n n 1 B n n 1 1 n 1 displaystyle liminf n rightarrow infty A n bigcup n 1 infty B n bigcup n 1 infty 1 n 1 infty nbsp Analog folgt fur den Limes superior C n m n A m 1 displaystyle C n bigcup m n infty A m 1 infty nbsp und damit lim sup n A n n 1 C n n 1 1 1 displaystyle limsup n rightarrow infty A n bigcap n 1 infty C n bigcap n 1 infty 1 infty 1 infty nbsp Interpretation BearbeitenDer Limes superior und inferior lasst sich wie folgt interpretieren lim sup n A n w W w ist in unendlich vielen der Mengen A n enthalten displaystyle limsup n to infty A n omega in Omega omega text ist in unendlich vielen der Mengen A n text enthalten nbsp lim inf n A n w W w ist in allen bis auf endlich viele der Mengen A n enthalten displaystyle liminf n to infty A n omega in Omega omega text ist in allen bis auf endlich viele der Mengen A n text enthalten nbsp Man kann sich dies an den Formeln klarmachen wenn man die aussere Mengenoperation ausschreibt Es ist dann lim inf n A n m 1 A m m 2 A m m 3 A m displaystyle liminf n to infty A n bigcap m 1 infty A m cup bigcap m 2 infty A m cup bigcap m 3 infty A m dots nbsp Dabei ist jede der Mengen ausgeschrieben C N m N A m w W w A n fur alle n N displaystyle C N bigcap m N infty A m omega in Omega omega in A n text fur alle n geq N nbsp Vereinigt man nun alle der C N displaystyle C N nbsp um den Limes inferior zu bilden so enthalt die Vereinigungsmenge alle Elemente der Obermenge die in mindestens einem C N displaystyle C N nbsp enthalten sind Dies ist aquivalent dazu dass zu jedem Element w displaystyle omega nbsp ein Index N displaystyle N nbsp existiert so dass w displaystyle omega nbsp in jedem A n displaystyle A n nbsp enthalten ist wenn n N displaystyle n geq N nbsp ist Dies kann aber nur der Fall sein wenn w displaystyle omega nbsp in allen bis auf endlich vielen A n displaystyle A n nbsp enthalten ist also nur endlich viele A n displaystyle A n nbsp das Element nicht enthalten Analog ergibt sich fur den Limes superior lim sup n A n m 1 A m m 2 A m m 3 A m displaystyle limsup n to infty A n bigcup m 1 infty A m cap bigcup m 2 infty A m cap bigcup m 3 infty A m dots nbsp Dann sind die einzelnen Vereinigungsmengen D N m N A m w W Es gibt ein n N so dass w A n ist displaystyle D N bigcup m N infty A m omega in Omega text Es gibt ein n geq N text so dass omega in A n text ist nbsp Schneidet man nun alle D N displaystyle D N nbsp um den Limes superior zu bilden so enthalt die Schnittmenge alle w displaystyle omega nbsp die in jedem D N displaystyle D N nbsp liegen Dies sind dann aber genau die Elemente die in unendlich vielen A n displaystyle A n nbsp liegen Der Schluss lasst sich veranschaulichen mit der Aussage es gibt keine Grenze N ab der das Element in keiner folgenden Menge mehr vorkommt Zusammenhang mit charakteristischen Funktionen BearbeitenDie charakteristischen Funktionen des Limes inferior bzw Limes superior von Mengen sind der punktweise Limes inferior bzw Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen Aus x A x sup n x A n x displaystyle chi A x sup n chi A n x nbsp fur A n A n displaystyle A bigcup n A n nbsp und x A x inf n x A n x displaystyle chi A x inf n chi A n x nbsp fur A n A n displaystyle A bigcap n A n nbsp folgt x n m n A m x sup n x m n A m x sup n inf m n x A m x displaystyle chi bigcup n bigcap m geq n A m x sup n chi bigcap m geq n A m x sup n inf m geq n chi A m x nbsp analog fur lim sup Insgesamt gilt also x lim sup n A n lim sup n x A n displaystyle chi limsup limits n to infty A n limsup n to infty chi A n nbsp und x lim inf n A n lim inf n x A n displaystyle chi liminf limits n to infty A n liminf n to infty chi A n nbsp Verwendung BearbeitenDer Limes superior von Mengenfolgen wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie beispielsweise im Borel Cantelli Lemma oder im Kolmogorowschen Null Eins Gesetz verwendet wo sie typische Beispiele von terminalen Ereignissen sind Allgemeiner werden Limes superior und inferior dazu genutzt um Konvergenz von Mengenfolgen zu definieren Eine Mengenfolge konvergiert wenn Limes inferior und superior ubereinstimmen Dies ist beispielsweise der Fall wenn es zu jedem w displaystyle omega nbsp einen Index N N w displaystyle N N omega nbsp gibt so dass entweder w A n displaystyle omega in A n nbsp fur alle n N displaystyle n geq N nbsp oder w A n displaystyle omega notin A n nbsp fur alle n N displaystyle n geq N nbsp gilt Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Masstheorie auf Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen amp oldid 235619401
